- TI 89
Error: Dependent limit, 적분 변수 중복에 의한 에러
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- 2024.10.12 - 15:04 2024.10.11 - 23:09 485 2
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Error # |
Dependent limit The same variable can't be used as both an integration variable and a bound. For example, ∫(sin(x),x,0,x) wouldn't be allowed. |
http://tibasicdev.wikidot.com/68k:errors
적분할 때 적분 변수(dx) 를 적분 구간에 넣을 수 없습니다.
따라서 둘 중 하나는 변수명을 다르게 변경해야 에러를 해결할 수 있습니다.
에러 예시)
ㄴ 적분 구간 상단을 X에서 Y로 변경하면 문제가 해결됩니다.
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댓글2
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세상의모든계산기
TI-Nspire CX 와 비교
ㄴ 적분변수(dx)와 같은 문자를 적분구간에 넣더라도 에러는 발생하지 않습니다.
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세상의모든계산기
수학적 정의
적분 변수와 동일한 변수를 적분 구간에 미지수로 사용하는 것은 일반적으로 정의상 문제가 됩니다.
즉, \( \int_1^x f(x) \, dx \)처럼 적분 변수와 상한 또는 하한에 같은 변수를 사용하는 것은 수학적으로 잘못된 표현입니다.
이유:
적분 과정에서 적분 변수는 일시적인 더미 변수로 사용되며, 구간과 함수의 미지수와는 구별되어야 합니다. 만약 적분 변수와 구간의 변수가 같다면, 혼란이 생길 수 있으며 일관된 계산을 할 수 없습니다.이러한 구별은 단순히 표기법의 문제가 아니라 적분의 본질적인 의미와 연관되어 있습니다. 적분 변수는 함수의 정의역을 "스캔"하는 역할을 하며, 구간의 끝점은 그 스캔의 범위를 정의합니다. 이 두 가지 역할은 분명히 구별되어야 합니다.
올바른 접근:
올바르게 사용하려면 적분 변수를 다른 기호로 바꾸어야 합니다.예를 들어, 다음과 같이 적분 변수를 \( t \)로 정의하고, 구간의 변수는 \( x \)로 남겨두는 것이 일반적입니다:
\[
\int_1^x f(t) \, dt
\]
여기서 \( t \)는 적분 변수이고, \( x \)는 적분 구간의 미지수입니다.
예시:
만약 \( f(t) = t^2 \)라면, 아래와 같은 적분을 계산할 수 있습니다:
\[
\int_1^x t^2 \, dt = \frac{x^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3}
\]
이 적분 결과는 \( x \)에 대한 함수가 되고, 상한에서 \( x \)가 변화함에 따라 적분 결과도 달라집니다.
결론적으로, 적분 변수와 구간 변수는 명확하게 구분되어야 하며, 동일한 변수를 구간에 사용하는 것은 부적절합니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
3×3 이상인 행렬의 행렬식 determinant https://allcalc.org/50536 2025 12.30 답에 이상한 숫자 14.2857142857가 들어간 것은 조건식에 소숫점(.) 이 들어가 있기 때문에 발생한 현상이구요. 100÷7 = 14.285714285714285714285714285714 소숫점 없이 분수로 식이 주어졌을 때와 결과적으로는 동일합니다. 2025 12.30 그럼 해가 무한히 많은지 아닌지 어떻게 아느냐? 고등학교 수학 교과과정에 나오는 행렬의 판별식(d, determinant)을 이용하면 알 수 있습니다. ㄴ 고교과정에서는 2x2 행렬만 다루던가요? 연립방정식의 계수들로 행렬을 만들고 그 행렬식(determinant)을 계산하여야 합니다. 행렬식이 d≠0 이면 유일한 해가 존재하고, d=0 이면 해가 없거나 무수히 많습니다. * 정상적인 경우 (`2y + 8z = 115`)의 계수 행렬: 1 | 1 1 0 | 2 | 1 0 -3.5 | 3 | 0 2 8 | 행렬식 값 = 1(0 - (-7)) - 1(8 - 0) = 7 - 8 = -1 (0이 아니므로 유일한 해 존재) * 문제가 된 경우 (`2y + 7z = 100`)의 계수 행렬: 1 | 1 1 0 | 2 | 1 0 -3.5 | 3 | 0 2 7 | 행렬식 값 = 1(0 - (-7)) - 1(7 - 0) = 7 - 7 = 0 (0이므로 유일한 해가 존재하지 않음) 2025 12.30 좀 더 수학적으로 말씀드리면 (AI Gemini 참고) 수학적 핵심 원리: 선형 독립성(Linear Independence) 3원 1차 연립방정식에서 미지수 x, y, z에 대한 단 하나의 해(a unique solution)가 존재하기 위한 필수 조건은 주어진 세 개의 방정식이 서로 선형 독립(linearly independent) 관계에 있어야 한다는 것입니다. * 선형 독립 (Linearly Independent): 어떤 방정식도 다른 방정식들의 조합(상수배를 더하거나 빼는 등)으로 만들어질 수 없는 상태입니다. 기하학적으로 이는 3개의 평면(각 방정식은 3D 공간의 평면을 나타냄)이 단 한 개의 점(해)에서 만나는 것을 의미합니다. * 선형 종속 (Linearly Dependent): 하나 이상의 방정식이 다른 방정식들의 조합으로 표현될 수 있는 상태입니다. 이 경우, 새로운 정보를 제공하지 못하는 '잉여' 방정식이 존재하는 것입니다. 기하학적으로 이는 3개의 평면이 하나의 선에서 만나거나(무수히 많은 해), 완전히 겹치거나, 혹은 평행하여 만나지 않는(해가 없음) 상태를 의미합니다. 질문자님의 사례는 '선형 종속'이 되어 무수히 많은 해가 발생하는 경우입니다. 2025 12.30 질문하신 연립 방정식은 미지수가 3개이고 모두 1차인 3원 1차 연립방정식입니다. 이상적으로 문제가 없다면 {x,y,z} 에 대한 좌표가 하나 나오게 됩니다. 원하는 답 {52.5, -2.5, 15} 그런데 두개 조건(식)을 그대로 두고 나머지 하나를 변형하다 보니 원하는 답이 나오지 않는 상황이 발생하였다고 질문하신 상황입니다. 3개의 조건식이 주어진 3원 1차 연립방정식은 조건을 변형해서 하나의 변수를 제거할 수 있습니다. 그러면 2개의 조건식으로 주어지는 2원 1차 연립방정식으로 변형할 수 있습니다. (알아보기 더 쉬워서 변형하는 겁니다) 변경하지 않은 조건의 식(con1) 을 이용해 하나의 y & z 1차 방정식을 유도할 수 있는데요. 나머지 방정식이 con1에서 유도된 방정식과 동일해지면 하나의 답이 구해지지 않는 것입니다. 계산기(ti-nspire)는 {x,y,z} 의 답이 하나가 아니고 무수히 많음을 c1 을 이용해서 표현해 준 것입니다. linear_independence_cond12.tns 2025 12.30