- TI nspire
[TI-nspire CAS] Function - cSolve : 복소수 해 찾기
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- 2024.10.17 - 15:37 2017.11.23 - 11:12 9096 2
1. cSolve 란?
- cSolve 는 '복소수가 포함된 수식'이나 '복소수가 해인 수식'의 해를 찾는 함수입니다.
- 찾아진 해는 실수꼴일 수도 있고, 실수꼴이 아닐 수도 있습니다.
- cSolve 는 도메인이 real 로 설정된 상태이더라도, 일시적으로 도메인을 복소수로 지정합니다.
하지만, 복소수를 취급하실거면 rectangular 든 polar든 선택하시는 것이 좋습니다.
2. 사용 예 1 (방정식, 부등식)
- cSolve(Equation, Var) ⇒ Boolean expression
- cSolve(Equation, Var=Guess) ⇒ Boolean expression
- cSolve(Inequality, Var) ⇒ Boolean expression
3. 사용 예 2 (연립 방정식)
- cSolve(Eqn1 and Eqn2 [and…], VarOrGuess1, VarOrGuess2 [, … ]) ⇒ Boolean expression
- cSolve(SystemOfEqns, VarOrGuess1, VarOrGuess2 [, …]) ⇒ Boolean expression
- 모든 방정식(Eqn)이 다항식(polynomials)이고, 어떠한 초기 추정값도 지정되지 않았다면, cSolve 는 모든 복소수 해를 결정하기 위해 lexical Gröbner/Buchberger elimination method 를 사용합니다.
- 어떠한 방정식(Eqn)이라도 어떠한 변수에 대해 다항식이 아니(non-polynomial)고, 어떠한 초기 추정값도 지정되지 않았으며, 모든 방정식이 모든 해 변수들에 대해 리니어(linear)하다면, cSolve 는 모든 해를 결정하기 위해 Gaussian elimination 을 사용합니다.
- 계산 소요 시간이나 메모리 사용량은 해로 적어놓은 변수의 순서(order)에 매우 크게 영향을 받습니다. 만약 (무한 루프 등) 인내력의 한계에 도달하게 된다면, 방정식 내의 변수들이나 해로 지정한 변수 리스트를 재조정해보시는 것도 좋습니다.
- 연립 방정식 시스템이 모든 변수들에 대해 다항식도 아니고 해 변수들이 리니어하지도 않(non-linear)다면, cSolve는 최적의 해 하나를 찾기 위해 approximate iterative method 를 사용합니다.
조건 1 : '해 변수의 갯수' = '방정식의 갯수'
조건 2 : 방정식 내 모든 변수들이 숫자로 간소화될 수 있어야 함.
4. 주의사항
- cSolve 는 TI-nspire (non-CAS) 에서는 사용할 수 없습니다.
- OS 버전에 따라 cSolve 결과가 다를 수도 있습니다.
- Setting 에서
가급적(x)반드시(!) Angle=Radian 으로 바꿔두세요.
Degree 등일 때는 "Error: Domain error" 내지 "false" 오류가 발생할 수 있습니다. - 결과값의 표시 방법은 Document Setting - Real or Complex Format 에 영향을 받습니다.
x-y 직교좌표일 때는 Rectangular 를 선택하시는 것을 추천드리고,
r-θ 극좌표일 때는 Polar를 선택하시면 됩니다. 이 때는 Deg / Rad 에 또 영향을 받습니다. - solve와 비교하면 계산 시간이 오래 걸릴 수 있고, 재수가 없으면 무한 루프에 빠지기도 합니다.
이러한 사태를 방지하기 위해서는 초기값을 넣어주시면 해결될 수 있습니다.
approx로 계산해서 해결되기도 합니다.
5. 상세 설명
- solve와 달리 csolve는 실수해/복소수해 모두를 찾아줍니다.
- (이 예제에서) 'Solve 해집합' ⊂ 'cSolve 해집합' 성립
- 분모가 홀수인 분수 지수꼴에서는 'Solve 해집합' ⊂ 'cSolve 해집합'이 아닐 수 있음.
- cSolve 는 우선적으로 exact symbolic method 를 사용하지만, 경우에 따라 (알아서) 반복 근사법을 사용하기도 합니다.
- (복소수 연립방정식에서) 간혹 무한 루프에 빠지는 경우가 있습니다. (모래시계)
- 이 때는 【on】 버튼을 길게 눌러 연산을 강제로 멈추게(break, "Calculation Interrupted") 할 수 있습니다.
http://www.allcalc.org/4619 - 아니면 명령시부터 【ctrl】【enter】 를 이용해 반복 근사법만 계산하도록 강제할 수도 있습니다.
이 때 결과값은 소숫점 형태(Decimal Form)로만 표현됩니다. - 아니면 변수에 초기 추정값을 지정하는 방법을 사용할 수도 있습니다.
추정값은 실수나 복소수 모두 가능합니다.
- 변수(var)끝에 밑줄(underscore)을 붙이면, 변수_(var_) 는 복소수로 취급됩니다.
- 복소수해를 가질 가능성이 있는 수식에서는 모든 다른 변수들에도 밑줄을 붙여주는 편이 좋습니다.
그렇지 않으면 기대하지 않은 결과값을 찾을 가능성이 있습니다.
- 연립방정식은 값이 없는 추가 변수(c_)를 포함할 수 있고, 이것은 나중에 숫자로 치환될 수 있습니다.
- 수식에는 없는 변수(w_) 를 포함하는 해
- 여기서 c 는 constants 의 약자입니다. (뒤에 붙는 숫자는 1~255까지 순차적으로 결정됩니다.)
- Gaussian elimination
- Approximate iterative method
- 복소수 해를 결정하기 위해서, 종종 복소수 초기 추정값이 필요합니다.
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댓글2
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세상의모든계산기
csolve 와 무한 루프
[TI-nspire] 계산기 먹통(=무한 루프=모래 시계=무한 로딩) 강제종료 방법
https://allcalc.org/4619
무한루프 회피하려면?
ㄴ 초기값 입력 or approx 계산 【ctrl】【enter】하면 되는데,
이 경우에는 approx 계산방법으로는 해결되지 않네요.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
ChatGPT-5 기호(÷, /, :) 자체는 의미적으로 같은 “나눗셈”을 뜻하지만, 문맥(사람이 쓰는 수학 vs 컴퓨터/프로그래밍)에 따라 해석 우선순위가 달라질 수 있습니다. 🔹 1️⃣ 전통 수학 표기 — ÷, /, : 수학 교과서, 논문, 일반 문서 등에서는 셋 다 의미적으로 “나누기”로 간주됩니다. 즉, 48÷2(9+3), 48/2(9+3), 48:2(9+3) 은 같은 의미로 받아들여야 합니다. 모두 사람의 수학 관행적 해석이 적용되어 48 ÷ 2 × (9+3) = 288 로 처리되죠. 즉, 기호가 바뀌어도 결과는 바뀌지 않습니다. 🔹 2️⃣ 컴퓨터·프로그래밍 문맥에서 / 사용 시 컴퓨터는 “생략된 곱셈(implicit multiplication)”을 따로 구분하지 못합니다. 따라서 다음 두 식은 완전히 다르게 인식됩니다. 표현 파이썬 등에서 해석 결과 48 / 2*(9+3) ((48 / 2) * (9+3)) 288 48 / 2(9+3) ❌ 문법 오류 (생략된 곱셈 인식 불가) — 즉, 컴퓨터 언어에서는 생략된 곱셈이 허용되지 않기 때문에, /는 반드시 명시적 *와 함께 써야 합니다. 🔹 3️⃣ “:” 기호의 경우 현대 수학에서는 “비율”을 나타내는 기호로 쓰입니다. a:b = \frac{a}{b} 따라서 (27 : 3(1+2)3) 같은 표현은 모호하거나 비표준적으로 간주됩니다. 대부분의 경우 계산기로는 입력 자체가 불가능합니다. ✅ 정리 기호 의미 결과 변화 주로 쓰이는 문맥 ÷ 나누기 없음 초중등 수학, 일반 표기 / 나누기 없음 (단, 프로그래밍에서는 생략 곱 불허) 수학/컴퓨터 : 비율 (또는 나누기 의미로 혼용) 보통 계산식에서는 사용 안 함 비, 비율 표기 🔹 결론 48 ÷ 2(9+3), 48/2(9+3), 48:2(9+3) 는 “수학적 의미”로는 동일하게 81로 해석됩니다. 하지만 프로그래밍이나 수식 파서(context) 에서는 /만 유효하고, 생략된 곱은 허용되지 않으며, :는 아예 다른 의미(비율)로 인식됩니다. 2025 10.28 ChatGPT-5 💯 네, 정확히 그 지점을 짚으셨어요. 요약하면 이렇게 말할 수 있습니다: “생략된 곱하기(implicit multiplication)”는 문자에서는 강한 결합력을 인정하지만, 숫자나 괄호 사이에서는 일반 곱셈(×)과 동일한 우선순위로 취급된다. 즉, 문자에서는 더 강하게 결합, 숫자·괄호 사이에서는 그냥 ‘보통 곱셈’ 으로 본다는 것이 현대 수학 표기와 계산기의 관행적 규칙입니다. 🔹 두 경우의 구조적 차이 식 형태 실제 해석 결과 결합력 특징 ab ÷ ab 문자 붙음 ((a×b) ÷ (a×b)) 1 문자 간 결합이 강함 → 한 항으로 인식 3(1+2)3 숫자·괄호 혼합 (3 × (1+2) × 3) 27 생략된 ×는 보통 곱셈 → 좌→우 규칙 적용 🔹 왜 문자식은 결합력이 더 강한가? 기호적 표현의 안정성 (ab), (xy), (2x) 같은 표기는 수백 년 동안 “하나의 곱셈 항(term)”으로 인식되어 왔습니다. 그래서 수학자들은 이걸 암묵적으로 “괄호로 묶인 덩어리”로 봅니다. ab ÷ ab = (ab) ÷ (ab) 함수 표기와 구분 필요 예: (sinx ÷ x) 에서 sinx는 sin(x)로 묶여야 의미가 있습니다. 이런 이유로 “문자 옆에 붙은 기호나 문자”는 항상 먼저 결합되도록 하는 관행이 굳어졌습니다. 🔹 반면 숫자·괄호에서는 (3(1+2)) 는 단순히 “3 × (1+2)”의 약식 표현이고, 여기서 “생략된 곱셈”은 “명시적 곱셈”과 동일한 연산자로 간주됩니다. 따라서 27 ÷ 3(1+2)3 = 27 ÷ 3 × 3 × 3 = 81 처럼 좌→우 순서로 처리합니다. 🔹 결론 생략된 곱하기(implicit multiplication)의 결합력은 표기 맥락에 따라 다르다. 문자/기호와 함께 쓰일 때 → 강하게 결합 (하나의 항으로 인식) 숫자와 괄호 사이 → 일반 곱셈과 동일한 우선순위 (좌→우 계산) 이건 “규칙이 바뀐 것”이 아니라, 표기 문법(context) 이 달라서 ‘결합 단위(token)’이 달라진 결과라고 보는 게 가장 정확합니다. 2025 10.28 자게로 이동조치하였습니다. 그리고 이 글의 내용을 정리하여 HP 포럼에 올려두었습니다. https://allcalc.org/55774 [HP Prime] Solve 함수 사용법 2025 10.27 수치해석 방법 method 를 강제로 선택할 수 있으면 좋을텐데... 위의 스샷을 보면 되는 듯 하면서도 아래 스샷을 보면 안되는 것 같기도 합니다. solve(Expr,[Var]) csolve(LstEq,LstVar) nSolve(Expr,Var,[Guess or Interval],[Method]) deSolve(Eq,[TimeVar],FncVar) linsolve(LstLinEq,LstVar) fsolve(Expr,Var,[Guess or Interval],[Method]) 2025 10.17 종합해서 답변을 드리면 HP Prime 에 solve 에서 변수명에 구간을 입력하면 수치해석 방식으로 bisection 을 사용함. 이 bisection 방식은 해의 좌-우 부호가 서로 바뀌어야만 해를 인식하고 해의 좌-우 부호가 같으면 해를 인식하지 못합니다. 이 때문에 본문 sin 의 예나 아래 사진의 예에서는 해를 인식하지 못하는 것으로 보입니다. 2025 10.17