- TI nspire
[TI-nspire] 지수 회귀 방정식, Exponential Regression
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- 2024.10.24 - 19:42 2024.10.23 - 22:54 2006 5
1. 실험 DATA
특정 미생물의 농도는 이론적으로 시간에 따라 다음 식과 같이 변한다고 한다.
$$ C = a \cdot \exp(-b \cdot t) = a \cdot e^{-b \cdot t}$$
실험에서 시간 \( t = 1 \)부터 \( t = 2.5 \)까지의 4개의 데이터 포인트에 대해 미생물 농도 \( C \) 값은 다음과 같다:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t & C \\
\hline
1.0 & 6.05 \\
1.5 & 4.73 \\
2.0 & 3.69 \\
2.5 & 2.86 \\
\hline
\end{array}
\]
2. 회귀 방정식 (Regression)
주어진 식 \( C = a \cdot \exp(-b \cdot t) \)는 지수 함수 형태로, 지수적으로 감소하는 함수이기 때문에 이를 지수적 감소(exponential decay) 모델이라고 부르기도 합니다.
원래의 모형(공식)을 알고 있다면 그 모형과 가장 유사한 방식의 회귀 방정식을 선택하면 되고,
원래의 모형을 모르는 경우라면 데이터 값의 추세를 보고 결정해야 합니다.
위의 예에서는 (데이터 값이 적긴 하지만) 시간에 따라 자연적으로 감소하는 데이터의 형태를 보입니다.
예를 들어 방사성 붕괴나 미생물 성장/감소 등이 이러한 데이터 추세를 가집니다.
이러한 형태의 비선형 회귀 방정식을 지수 회귀 방정식(exponential regression)이라고 합니다.
실험 데이터를 바탕으로 지수 회귀 방정식의 \( a \)와 \( b \) 값을 추정하는 방법은 다음과 같은 단계를 따릅니다.
1. 양변에 자연 로그 취하기
주어진 식을 선형화하기 위해 양변에 자연 로그를 취합니다.
\[
\ln(C) = \ln(a) - b \cdot t
\]
즉, \( \ln(C) \)는 \( t \)에 대한 선형 함수가 됩니다:
\[
\ln(C) = -b \cdot t + \ln(a)
\]
이 식은 기울기가 \( -b \)이고, 절편이 \( \ln(a) \)인 직선 방정식입니다.
2. 데이터를 선형화
실험 데이터에서 \( t \)와 \( C \)의 값을 이용하여 \( \ln(C) \) 값을 계산합니다.
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
t & C & \ln(C) \\
\hline
1.0 & 6.05 & \ln(6.05) = 1.800 \\
1.5 & 4.73 & \ln(4.73) = 1.554 \\
2.0 & 3.69 & \ln(3.69) = 1.306 \\
2.5 & 2.86 & \ln(2.86) = 1.051 \\
\hline
\end{array}
\]
3. 선형 회귀 분석
이제 \( \ln(C) \)와 \( t \)의 관계를 나타내는 선형 방정식의 기울기와 절편을 구하기 위해 선형 회귀 분석을 수행합니다. 선형 회귀는 다음과 같은 방정식을 사용합니다:
- 기울기 \( m \) (즉, \( -b \))는 다음과 같이 계산됩니다:
\[
m = \frac{n \sum t_i \ln(C_i) - \sum t_i \sum \ln(C_i)}{n \sum t_i^2 - (\sum t_i)^2}
\]
여기서:
- \( n = 4 \) (데이터 포인트의 개수)
- \( t_i \)와 \( \ln(C_i) \)는 주어진 데이터에서 가져옵니다.
데이터를 정리
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
t_i & C_i & \ln(C_i) & t_i^2 & t_i \ln(C_i) \\
\hline
1.0 & 6.05 & 1.800 & 1.0 & 1.0 \cdot 1.800 = 1.800 \\
1.5 & 4.73 & 1.554 & 2.25 & 1.5 \cdot 1.554 = 2.331 \\
2.0 & 3.69 & 1.306 & 4.0 & 2.0 \cdot 1.306 = 2.612 \\
2.5 & 2.86 & 1.051 & 6.25 & 2.5 \cdot 1.051 = 2.628 \\
\hline
\end{array}
\]
각 합을 계산
이제 필요한 합들을 계산해보겠습니다:
1. \( \sum t_i = 1.0 + 1.5 + 2.0 + 2.5 = 7.0 \)
2. \( \sum \ln(C_i) = 1.800 + 1.554 + 1.306 + 1.051 = 5.711 \)
3. \( \sum t_i^2 = 1.0 + 2.25 + 4.0 + 6.25 = 13.5 \)
4. \( \sum t_i \ln(C_i) = 1.800 + 2.331 + 2.612 + 2.628 = 9.371 \)
기울기 \( m \) 계산
이제 이 값들을 공식에 대입해 \( m \)을 계산합니다.
\[
m = \dfrac{4 \cdot 9.371 - 7.0 \cdot 5.711}{4 \cdot 13.5 - 7.0^2} = -0.499
\]
- 절편 \( c \) 는 다음과 같이 계산됩니다:
\[
c = \frac{\sum \ln(C_i) - m \sum t_i}{n}
\]
여기에 이미 계산된 값을 대입해보겠습니다:
- \( \sum \ln(C_i) = 5.711 \)
- \( m = -0.499 \)
- \( \sum t_i = 7.0 \)
- \( n = 4 \)
$$ \text{절편 } c = \dfrac{5.711 - (-0.499 \times 7.0)}{4} = 2.301 $$
선형 회귀 방정식
$$ y = mx+c = -0.499 \cdot t + 2.301 $$
4. 지수 회귀 방정식으로 전환 : \( a \)와 \( b \) 구하기
선형 회귀 방정식에서 구한
기울기 \( m = -0.499\)이 \( -b \)이므로, 이를 이용해 \( b = 0.499\) 값을 구할 수 있고,
절편 \( c = ln(a \cdot e^{t})|_{t=0} = \ln(a) \)이므로, 이를 이용해 \( a \) 값을 구할 수 있습니다:
\( a \)는 이 값의 자연 로그 역함수이므로, \( a = \exp(2.301) \approx 9.98 \)입니다.
위 과정을 통해 최종적으로 지수 회귀 방정식을 구하였습니다.
$$ C = 9.98 \cdot \exp(-0.499 \cdot t) = 9.98 \cdot e^{-0.499 \cdot t} $$
3. TI-nspire 의 활용
기본 데이터 값의 입력 및 계산
ln(c) 의 선형 회귀 계산
ㄴ ∑ 함수를 말고 sum() 함수에 list 변수를 넣어서 계산하면 간단합니다.
ㄴ 여기서는 단지 공식을 표현하기 위해 사용한 것 뿐입니다.
지수 회귀 직접 계산
: 공학용 계산기에는 지수 회귀 방정식 기능이 있기 때문에 앞서 ln(c)를 선형회귀하는 과정이 불필요합니다.
그런데
구해진 TI-nspire 의 지수 회귀 방정식은 $ y = a \cdot e^{-b \cdot t} $ 꼴이 아니고,
$ y = a \cdot b^{t} $ 꼴이기 때문에 마지막으로 한번 더 계산이 필요합니다.
ㄴ solve 또는 ln() 으로 간단하게 찾을 수 있습니다.
한번에 찾을 방법은
(현재 기본 기능만으로는) DataQuest 앱을 이용하는 방법 뿐입니다. : 댓글 참고
불편하면 프로그램(라이브러리)를 만들어야겠죠.
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댓글5
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세상의모든계산기
최소자승법(최소 제곱법, Least Squares Method)을 행렬로 푸는 방법은 다음과 같은 수식을 사용합니다:
\[
\hat{\beta} = (A^T A)^{-1} A^T y
\]여기서:
- \( A \)는 독립 변수 \( t \)의 행렬
- \( y \)는 종속 변수 \( \ln(C) \)의 벡터
- \( \hat{\beta} \)는 구하려는 계수 벡터로, 기울기 \( b \)와 절편 \( \ln(a) \)가 들어갑니다.1. 행렬 \( A \), \( y \) 정의
주어진 데이터에서 \( t \)와 \( \ln(C) \) 값을 이용하여 다음과 같이 행렬 \( A \)와 벡터 \( y \)를 정의할 수 있습니다:# 데이터:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t & \ln(C) \\
\hline
1.0 & 1.800 \\
1.5 & 1.554 \\
2.0 & 1.306 \\
2.5 & 1.051 \\
\hline
\end{array}
\]행렬 \( A \)는 상수항(절편)을 포함하기 위해 \( 1 \)을 추가하여 다음과 같이 구성됩니다:
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1.0 \\
1 & 1.5 \\
1 & 2.0 \\
1 & 2.5
\end{pmatrix}
\]벡터 \( y \)는 종속 변수인 \( \ln(C) \) 값을 사용하여 구성됩니다:
\[
y = \begin{pmatrix}
1.800 \\
1.554 \\
1.306 \\
1.051
\end{pmatrix}
\]2. \( A^T A \) 계산
행렬 \( A^T \)는 \( A \)의 전치 행렬이므로 다음과 같습니다:\[
A^T = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1.0 & 1.5 & 2.0 & 2.5
\end{pmatrix}
\]이제 \( A^T A \)를 계산합니다:
\[
A^T A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1.0 & 1.5 & 2.0 & 2.5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1.0 \\
1 & 1.5 \\
1 & 2.0 \\
1 & 2.5
\end{pmatrix}
\]\[
A^T A = \begin{pmatrix}
4 & 7.0 \\
7.0 & 13.5
\end{pmatrix}
\]3. \( A^T y \) 계산
다음으로 \( A^T y \)를 계산합니다:\[
A^T y = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1.0 & 1.5 & 2.0 & 2.5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1.800 \\
1.554 \\
1.306 \\
1.051
\end{pmatrix}
\]\[
A^T y = \begin{pmatrix}
1.800 + 1.554 + 1.306 + 1.051 \\
1.0 \cdot 1.800 + 1.5 \cdot 1.554 + 2.0 \cdot 1.306 + 2.5 \cdot 1.051
\end{pmatrix}
\]\[
A^T y = \begin{pmatrix}
5.711 \\
9.371
\end{pmatrix}
\]4. 계수 벡터 \( \hat{\beta} \) 계산
이제 계수 벡터 \( \hat{\beta} \)는 다음과 같이 구할 수 있습니다:\[
\hat{\beta} = (A^T A)^{-1} A^T y
\]먼저 \( A^T A \)의 역행렬을 구합니다:
\[
(A^T A)^{-1} = \frac{1}{(4 \cdot 13.5 - 7.0^2)} \begin{pmatrix} 13.5 & -7.0 \\ -7.0 & 4 \end{pmatrix}
\]\[
(A^T A)^{-1} = \frac{1}{5.0} \begin{pmatrix} 13.5 & -7.0 \\ -7.0 & 4 \end{pmatrix}
\]\[
(A^T A)^{-1} = \begin{pmatrix} 2.7 & -1.4 \\ -1.4 & 0.8 \end{pmatrix}
\]이제 역행렬과 \( A^T y \)를 곱하여 \( \hat{\beta} \)를 구합니다:
\[
\hat{\beta} = \begin{pmatrix} 2.7 & -1.4 \\ -1.4 & 0.8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5.711 \\ 9.371 \end{pmatrix}
\]\[
\hat{\beta} = \begin{pmatrix} (2.7 \cdot 5.711) + (-1.4 \cdot 9.371) \\ (-1.4 \cdot 5.711) + (0.8 \cdot 9.371) \end{pmatrix}
\]계산하면:
\[
\hat{\beta} = \begin{pmatrix} 15.4197 - 13.1194 \\ -7.9954 + 7.4968 \end{pmatrix}
\]\[
\hat{\beta} = \begin{pmatrix} 2.3003 \\ -0.4986 \end{pmatrix}
\]5. 결과
따라서, \( \hat{\beta} = \begin{pmatrix} 2.3003 \\ -0.4986 \end{pmatrix} \), 이는 다음을 의미합니다:
- 절편 \( \ln(a) \approx 2.3003 \), 따라서 \( a = \exp(2.3003) \approx 10.0 \)
- 기울기 \( b \approx 0.4986 \)이 방법을 통해 \( a \)와 \( b \) 값을 행렬 계산을 사용하여 구할 수 있습니다.
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세상의모든계산기
fx-570 을 이용한 계산 방법
https://allcalc.org/51166
* fx-570 에는 e^X 꼴, A*B^X 꼴 둘 다 있어서 한번에 되는데...
왜 TI-nspire 에는 왜 하나만 있지?
있는데 방법을 모르는 것 뿐인가?
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세상의모든계산기
vernier DataQuest 앱에는 해당 기능이 있습니다. Natural exponential Regression
출처 : https://groups.google.com/g/tinspire/c/97sKKp8WVB0
보니까 직접 실험장치를 통해 얻은 데이터만 쓸 수 있는게 아니고,
계산기에 입력된 리스트값도 링크해서 쓸 수 있네요. Link from List
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세상의모든계산기 님의 최근 댓글
- claude AI는 l-c*r^2 을 1-c*r^2 으로 잘못 읽고 표시하고 있습니다. - TI-nspire CAS 계산기에 l-c*r^2 ≥0 을 조건에 추가해 계산해 보아도 결과는 바뀌지 않습니다. 2026 07.20 ⚠️ 경고가 바로 두 번째 방법이 "성공"한 이유와 정확히 연결되어 있습니다. 경고의 의미 "Domain of the result might be larger than the domain of the input"는 CAS가 절댓값(모듈러스)을 계산하는 과정에서 원래 식보다 정의역이 더 넓은 형태로 단순화했다는 뜻입니다. 구체적으로 이 계산은 내부적으로 대략 이런 과정을 거칩니다. $$\left|\frac{er}{e\cdot r}\right| = \sqrt{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)\cdot\overline{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)}}$$ 즉 원래 식(복소수)과 그 켤레복소수를 곱해서 실수부·허수부 제곱합을 만들고, 거기에 다시 제곱근을 씌우는 과정입니다. 이 과정에서 √(x²) → x 또는 √a·√b → √(ab) 같은 규칙들이 쓰이는데, 이런 규칙들은 x가 실수이고 0 이상일 때만 엄밀하게 성립합니다. CAS는 이 조건들을 일일이 다 추적하지 않고 넘어가면서, 원래는 (e≠0, r+l·ω·i ≠ 0 등) 복소수 특유의 좁은 정의역을 가진 식을, r, l, ω가 어떤 실수여도(부호 무관하게) 정의되는 1/√(r²+l²·ω²)라는 더 넓은 정의역의 식으로 바꿔버린 것입니다. CAS는 이 손실을 감지하고 경고를 띄운 것입니다. 이게 왜 조건 대입 성공과 연결되는가 정리하면, 이 경고는 사실상 이런 뜻입니다. "나는 이 결과를 만들면서 원래 식이 가지고 있던 정의역 제약 정보(부호 조건, i 관련 조건 등)를 이미 버렸다." 바로 이 "정의역 정보를 버린" 상태가 이후 con_1 대입을 매끄럽게 만드는 원인입니다. 첫 번째 시도에서는 i가 살아있는 원래 식에 조건을 대입했기 때문에, CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(정의역 조건: 1-c·r² ≥ 0) 계속 추적하려고 했고, 그 정보가 con에 없어서 더 이상 정리를 못 하고 멈췄습니다. 두 번째 시도에서는 절댓값 계산 단계에서 이미 그런 세밀한 정의역 추적을 CAS 스스로 포기(단순화)했기 때문에, 이후 ω에 무리식을 대입해도 "이게 실수가 맞나?" 하는 검증 절차 없이 그냥 대수적으로 치환·정리해 버립니다. 그래서 깔끔하게 √c/√l이 나온 겁니다. 한 줄 요약 절댓값 계산 시 뜬 "정의역이 넓어졌을 수 있다"는 경고는, CAS가 그 순간에 원래 식의 엄밀한 조건(정의역)을 놓쳤다는 신호이고, 바로 그 "조건을 놓친 상태"이기 때문에 뒤에 이어지는 조건식 대입이 막힘없이 진행된 것입니다. 다만 그 대가로, 결과인 1/√(r²+l²·ω²)이나 최종 √c/√l이 원래 회로 조건(i≠0이 되는 경계, 분모가 0이 되는 경우 등)에서는 엄밀히 성립하지 않을 수 있다는 점은 감안하셔야 합니다. 실제 물리적으로는 r, l, c > 0이고 결과도 물리적으로 타당한 형태라 문제없어 보이지만, 수학적 엄밀성 측면에서는 "정의역이 넓어진 근사적 결과"라는 꼬리표가 붙어있는 셈입니다. 2026 07.20 Claude AI 답변 TI-Nspire CAS의 | (such that / 조건대입) 연산자는 대입 시점의 수식 형태를 그대로 두고 기호만 치환하는 연산입니다. 대입 후에 처음부터 다시 "실수부/허수부 분리, 유리화" 같은 재간소화를 자동으로 수행하지 않습니다. 이 차이가 지금 보신 결과 차이의 핵심입니다. 첫 번째 경우 (|er/(e·r)| | con_1 and con → 실패) 이 시점의 식은 아직 r + l·ω·i 형태의 복소수 그대로입니다 (i가 살아있음). 여기에 con_1: ω = √(1-c·r²)/(√c·l)을 대입하면, 분모 안에 i · √(1-c·r²) 라는 항이 새로 생깁니다. 문제는 CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(즉 1-c·r² ≥ 0인지) 판단할 근거가 없다는 겁니다. 저장해 두신 con 조건은 c>0, l>0, r>0뿐이고, 1-c·r²≥0이라는 조건은 포함되어 있지 않습니다. 그래서 CAS는 i와 이 무리식을 더 정리(유리화, 실수부·허수부 재결합)하지 못하고 있는 그대로 남겨둡니다. 결과에 여전히 i가 보이는 이유입니다. 두 번째 경우 (결과값 1/√(r²+l²·ω²)에 대입 → 성공) |er/(e·r)| (절댓값/모듈러스) 연산은 그 자체로 이미 "복소수 → 실수" 변환을 완료한 결과입니다. 즉 1/√(r²+l²·ω²)에는 더 이상 i가 없고, 순수하게 r, l, ω로만 이루어진 실수식입니다. 이 식에 ω = con_1을 대입하는 것은 그냥 실수 대수식에 실수 대입하는 것이므로, i와 무리식이 뒤엉키는 문제 자체가 발생하지 않습니다. 그래서 바로 깔끔하게 √c/√l로 정리됩니다. 정리하면 절댓값(모듈러스) 계산은 "이 값들이 실수다"라는 가정을 이미 내부적으로 써서 i를 제거하는 연산입니다. 그 연산을 조건 대입 이전에 해두면, 이후 대입은 단순 실수 대입이라 문제없이 정리됩니다. 반대로 i가 남아있는 식에 무리식을 포함한 조건을 먼저 대입하면, 그 무리식의 실수성/부호에 대한 가정이 없어서 CAS가 i를 소거하는 재간소화를 못 하고 멈춰버립니다. 실용적 팁: 복소식에 조건을 대입해야 할 때는 가능하면 절댓값·실수화(유리화) 등을 먼저 끝내서 i를 없앤 뒤 조건을 대입하거나, 대입 후 결과에 다시 simplify/expand/combine 같은 명령을 한 번 더 걸어주면 (필요한 도메인 조건과 함께) 정리가 되는 경우가 많습니다. 2026 07.19 저도 어림잡아 추측할 뿐이지 정확한 이유를 알지는 못합니다. 질문하신 사진을 그대로 (Gemini 3.5 Flash / ChatGPT / Claude Sonnet 5) AI에 넣어 보니 claude AI 가 제일 합리적인 답변을 주어서 이를 붙여 넣습니다. 2026 07.19 아 그렇네요. 감사합니다. ^^ 2026 04.28