[일반 계산기] 세제곱근 구하기. 방법 #2, 로그 성질(근사)의 활용
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- 2025.09.28 - 03:33 2024.10.13 - 21:10 2175 6
ㄴ $ \sqrt[3]{a} $ 를 구하는 방법. 로그의 근사 활용
이 방법의 계산 순서
1. 초기 근사값 설정:
루트키 【√】를 이용해 $ a^{\frac{1}{4096}} $ 을 계산합니다. 이 값은 1에 매우 가깝습니다.
2. 델타(Δ) 정의:
$ Δ = \frac{a^{\frac{1}{4096}} - 1}{3} $ 를 구합니다.
앞선 결과에서 1을 빼고, 그걸 3으로 나누면 되겠죠.
이 Δ는 0에 가까운 매우 작은 값입니다.
3. 반복 제곱:
(1 + Δ)^4096 를 계산하면 $ a^{\frac{1}{3}} $ 에 매우 가까운 값이 됩니다.
(1 + Δ)^4096 를 4095회의 곱하기로 계산하는 것은 매우 비 효율적이기 때문에
((((((((((((1 + Δ)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2 로 결과를 반복해 제곱 계산하여 횟수를 줄여야 합니다.
일반 계산기에서는 【×】【=】 를 반복하여, 결과값을 계속 제곱할 수 있습니다. // K타입&non-K타입 무관함.
이 방법이 작동하는 수학적인 이유 (증명)
1. 로그의 성질 활용:
앞선 델타(Δ)의 정의에 의해
$$ \begin{gather} x = a^{\frac{1}{4096}} = 1 + 3Δ \text{ 라고 할 때,} \\ ln(x) = ln(a^{\frac{1}{4096}}) = \frac{1}{4096} * ln(a) \end{gather} $$
2. 작은 값에 대한 로그 근사:
매우 작은 값 Δ에 대해, 로그 근사가 성립 (댓글 참고)
$$ ln(x) = ln(1 + 3Δ) ≈ 3Δ $$
따라서,
$$ \frac{1}{4096} * ln(a) ≈ 3Δ $$
3. Δ 의 근사값 표현:
$$ Δ ≈ \frac{1}{4096×3} ×ln(a) $$
4. (1 + Δ) ^ 4096 의 의미:
$$ (1 + Δ)^{4096} ≈ e^{4096Δ} \text{ (지수함수의 성질 이용, 댓글 참고)} $$
$$ ≈ e^{\frac{1}{3} * ln(a)} \text{ (Δ 의 근사값 대입)} $$
$$ = (e^{ln(a)})^{\frac{1}{3}} $$
$$ = a^{\frac{1}{3}} $$
이 과정을 통해 (1 + Δ)^4096이 a^(1/3)에 매우 가깝게 근사(approximate)하는 것을 알 수 있습니다.
쌀집 계산기를 이용한 버튼 입력 순서 예시 : $ \sqrt[3]{125} = 5 $
【125】【√】 (√125 = 11.180339887499)
【√】 (√11.180339887499 = 3.3437015248821)
【√】 (√3.3437015248821 = 1.8285790999796)
【√】 (√1.8285790999796 = 1.3522496441041)
【√】 (√1.3522496441041 = 1.1628626935731)
【√】 (√1.1628626935731 = 1.0783611146425)
【√】 (√1.0783611146425 = 1.0384416760909)
【√】 (√1.0384416760909 = 1.0190395851442)
【√】 (√1.0190395851442 = 1.0094749056535)
【√】 (√1.0094749056535 = 1.0047262839468)
【√】 (√1.0047262839468 = 1.0023603563324)
【√】 (√1.0023603563324 = 1.0011794825766)
【－】【1】【÷】【3】【＋】【1】【=】 1.0011794825766 - 1 → 0.0011794825766 ÷ 3 → 0.00039316085886667 + 1 = 1.0003931608589
【×】【=】 1.0003931608589 × = 1.0007864762933
【×】【=】 1.0007864762933 × = 1.0015735711316
【×】【=】 1.0015735711316 × = 1.0031496183893
【×】【=】 1.0031496183893 × = 1.0063091568746
【×】【=】 1.0063091568746 × = 1.0126581192097
【×】【=】 1.0126581192097 × = 1.0254764664013
【×】【=】 1.0254764664013 × = 1.0516019831429
【×】【=】 1.0516019831429 × = 1.1058667309501
【×】【=】 1.1058667309501 × = 1.2229412266223
【×】【=】 1.2229412266223 × = 1.4955852437725
【×】【=】 1.4955852437725 × = 2.2367752213900
【×】【=】 2.2367752213900 × = 5.0031633910243
총 버튼 입력 횟수 : 3 + 12 + 7 + 2*12 = 46 회
응용
처음에 4096 제곱근을 구하고 마지막에 4096 제곱을 하였는데, 꼭 4096 만 되는 것은 아니고 앞 뒤 짝이 맞으면 됩니다.
만약, 2048 제곱근을 구하고 2048 제곱을 하면 버튼 입력횟수 ↓ 오차 ↑
만약, 8192 제곱근을 구하고 8192 제곱을 하면 버튼 입력횟수 ↑ 오차 ↓
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댓글6
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세상의모든계산기
로그 근사 및, $ (1 + Δ)^{4096} \approx e^{4096Δ} $ 근사가 성립하는 이유
지수함수와 로그함수의 중요한 성질에 기반합니다.
1. 지수함수의 정의:
\( e^x \)는 자연상수 \( e \) (약 2.71828...)를 밑으로 하는 지수함수입니다.2. 로그함수의 테일러 전개
로그 함수 \( \ln(1 + d) \)의 테일러 급수를 \( d = 0 \) 주변에서 전개하면 다음과 같습니다:\[
\ln(1 + d) = d - \frac{d^2}{2} + \frac{d^3}{3} - \frac{d^4}{4} + \cdots
\]따라서, 이 급수의 첫 번째 항은 \( d \), 두 번째 항은 \( -\frac{d^2}{2} \), 세 번째 항은 \( \frac{d^3}{3} \) 입니다.
3. (1 + Δ)에 대한 근사:
\( Δ \)가 매우 작아 0에 가까울 때, 테일러 급수의 두번째항부터는 기하급수적으로 0에 수렴합니다.
\[
\ln(1 + Δ) = Δ \cancel{- \frac{Δ^2}{2}} \cancel{+ \frac{Δ^3}{3}} \cancel{- \frac{Δ^4}{4}} + \cancel{\cdots}
\]오차를 조금 허용하여 \( \ln(1 + Δ) \approx Δ \) 이 성립하게 됩니다.
4. 지수함수와 로그함수의 관계:
\( e^{\ln(x)} = x \)입니다. 이는 지수함수와 로그함수가 서로의 역함수라는 성질 때문입니다.5. 이를 이용한 (1 + Δ)의 표현:
\( 1 + Δ \approx e^{Δ} \)입니다. (왜냐하면 \( e^{\ln(1+Δ)} = 1 + Δ \)이고, \( \ln(1+Δ) \approx Δ \)이므로)6. 지수법칙 적용:
\[
(1 + Δ)^{4096} \approx (e^{Δ})^{4096} = e^{4096\cdotΔ}
\]따라서, \( (1 + Δ)^{4096} \approx e^{4096\cdotΔ} \)라는 근사가 성립하게 됩니다.
이 근사는 \( Δ \)가 매우 작을 때 더 정확해집니다. 우리의 경우 \( Δ = \frac{a^{1/4096} - 1}{3} \)로 정의되었으므로, \( a \)가 크지 않은 양수일 때 \( Δ \)는 매우 작은 값이 되어 이 근사가 잘 작동하게 됩니다.
이 근사를 통해 우리는 거듭제곱 계산을 지수함수로 변환할 수 있게 되어, 이후 계산과 증명이 더 쉬워집니다.
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세상의모든계산기
정수제곱근법 & 뉴튼-랩슨법을 이용한 반복계산법과 차이는?
https://allcalc.org/2629
반복계산법은
- 반복할수록 오차가 없는 참값에 수렴해 갑니다. (마지막 1~2 자릿수 정도의 오차는 남을 수 있습니다)
- 완전숙달되지 않는 이상, 입력하기 어려워 실수가 나오기 쉽습니다.
- n제곱근의 n값에 따라 쉽게 되기도 하고, 어려워지기도 함.
반면, 본문의 방법은
- 오차를 어느 정도 감수할지를 결정(?)하고, 하나의 값만 구합니다.
- 원리를 정확히 이해하면, 계산기 입력은 쉬운 편입니다. (실수를 줄일 수 있습니다)
- n제곱근의 n값에 관계 없이 동일한 구조로 계산이 됩니다. 외우기 쉽습니다.
반복횟수(iter)를 적당히 늘리면 이 방법도 오차가 조금 줄어들 수는 있습니다.
하지만 iter를 무한정 늘린다고 참값에 수렴하는 것이 아니고, 어느 순간부터는 오히려 오차가 커지고 불안정해집니다.
계산기 내부 유효 자릿수 한계 때문에 발생하는 문제입니다.
ㄴ 루트를 많이 씌우다보면 1.0000000000000~~~ 이 되는데 뒤에 ~~~ 부분이 날라가 없어지고 정수 1 만 남음.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
교점이 2개 이상일때 모든 값을 구하는 법 계산기마다 가능/불가능이 갈릴 수도 있습니다. ㄴ fx-570 의 solve 는 무조건 한번에 하나씩 찾습니다. 따라서, 2차 3차 방정식처럼 규격화된 수식은 solve 대신 EQN 모드에서 답을 구하는게 좋습니다. ㄴ TI-nspire 같은 CAS 계산기의 solve 는 수식에 따라서 여러개가 한꺼번에 찾아지기도 합니다. https://allcalc.org/3448 ㄴ fx-9860G 의 solve는 무조건 1개, solveN 는 수식에 따라 여러개가 찾아질 수 있습니다. https://allcalc.org:443/board_casio/6005#comment_15889 가능하다면, 불확실할때는 그래프로 확인하세요. 2025 12.16 T가 410인 해를 찾는 방법 -> 초기값을 입력하세요. [공학용 계산기] 공학용 계산기의 꽃? solve (솔브) 기능 이해하기 (Newton-Raphson 법, 뉴튼법) https://allcalc.org/11532 2025 12.16 참고 - [공학용 계산기] 정적분 계산 속도 벤치마크 비교 https://allcalc.org/9677 2025 12.11 다른 계산기의 경우와 비교 1. TI-nspire CAS ㄴ CAS 계산기는 가능한 경우 부정적분을 먼저하고, 그 값에 구간을 대입해 최종값을 얻습니다. ㄴ 부정적분이 불가능할 때는 수치해석적 방법을 시도합니다. 2. CASIO fx-991 ES Plus ㄴ CASIO 계산기의 경우, 적분할 함수에 따라 시간이 달라지는 것으로 알고 있는데, 정밀도를 확보할 별도의 알고리즘을 채택하고 있는 것이 아닐까 생각되네요. 2025 12.11 일반 계산기는 보통 리셋기능이 따로 없기 때문에, 다른 요인에 영향을 받을 가능성은 없어 보이구요. '원래는 잘 되었는데, 지금은 설정 값이 날아간다'면 메모리 값을 유지할만큼 배터리가 꾸준하게 공급되지 않기 때문일 가능성이 높다고 봐야겠습니다. - 태양광이 있을 때는 계산은 가능하지만, 서랍등에 넣으면 배터리가 없어서 리셋 https://blog.naver.com/potatoyamyam/223053309120 (교체 사진 참조) 1. 배터리 준비: * 다이소 등에서 LR54 (LR1130) 배터리를 구매합니다. (보통 4개 들이 1,000원에 판매됩니다. LR44와 높이가 다르니 혼동하시면 안됩니다.) 2. 준비물: * 작은 십자드라이버 (계산기 뒷면 나사용. 이것도 없으시면 다이소에서...) 3. 커버 분해: * 계산기 뒷면의 나사를 풀고, 머리 부분(윗부분)의 커버를 조심스럽게 분해합니다. (참고해주신 블로그 사진을 보시면 이해가 빠르실 겁니다.) 4. 배터리 교체: * 기존 배터리를 빼냅니다. * 새 LR54 배터리의 '+'극 방향을 정확히 확인하여 제자리에 넣어줍니다. (대부분의 경우 '+'극이 위로 보이도록 넣습니다.) 5. 조립: * 커버를 다시 닫고 나사를 조여줍니다. * 블로그 사진을 보니 배터리 연결선 등이 눌려서 씹혀 있네요. 원래 씹히도록 설계를 안하는데, 원래 그렇게 만들어 놓은 건지? 모르겠네요. 여튼 씹히면 단선될 가능성이 있으니, 잘 보시고 플라스틱 틈새 등으로 적절히 배치해서 안씹히게 하는 것이 좋습니다. 6. TAX 재설정: * 계산기의 전원을 켜고 TAX 요율을 10%로 다시 설정합니다. 2025 12.10