[일반 계산기] 세제곱근 구하기. 방법#1, 정수제곱근법 & 뉴튼-랩슨법을 이용한 반복계산

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  세상의모든계산기

  2024.10.05 - 14:15 2015.01.18 - 01:08 #2664

  네제곱근법의 원리

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  K-196.png 3.6KB 228 daum_equation_1417580525885.png 7.5KB 247 daum_equation_1417576372675.png 2.8KB 216

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  세상의모든계산기

  2024.10.05 - 18:44 2015.01.18 - 01:13 #2671

  그 외 n제곱근의 계산

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  이 원리를 확대 적용하면 

  일반 계산기를 이용해서 (8-1)=7 제곱근 (16-1)=15제곱근... 등등을 비교적 쉽게 구할 수 있습니다. 

  3, 7, 15, 31, 63, 127, ... (2^n-1)

   

  그리고, 그 값을 활용해 그 외 제곱근도 (일부?) 구할 수 있죠.  

   

  제곱근 : 【√】

  3제곱근 : 본문 방법으로 구함. (4제곱근의 활용.【√】【√】)

  4제곱근 : 【√】【√】

  5제곱근 : 15제곱근(【√】【√】【√】【√】)의 3승. // 5 = 15 ÷ 3 (즉, 1/5 = 3 ÷ 15)

  6제곱근 : 제곱근 ÷ 3제곱근 

  7제곱근 : 본문 방법에서 【√】한번 더 추가. 

  8제곱근 : 【√】【√】【√】

  9제곱근 : 3제곱근의 ▶ 3제곱근 으로 구할 수는 있는데... 두번째 세제곱근 구할 때 오차가 커질 수 있음. 

  10제곱근 : 15제곱근의 ▶ 제곱근의 ▶ 3승

  11제곱근 : 1023제곱근(【√】【√】【√】【√】【√】【√】【√】【√】【√】【√】)의  ▶ 93승
  ㄴ 오히려 쉬울 수도? 

  12제곱근 : 3제곱근 ÷ 4제곱근 또는 6제곱근의 ▶ 제곱근

  13제곱근 : 4095제곱근 ▶ 315승

  ㄴ 그냥 근사값만 구한다면 64제곱근 ▶ 5승 으로 구할 수는 있음. 

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  세상의모든계산기

  2024.10.05 - 18:47 2015.01.18 - 14:44 #2721

  2^8=256 이니까 
   255제곱근을 구할 수가 있구요 
   255 = 3 * 5 * 17 
   $\therefore \sqrt[17]{a}={\left(\sqrt[255]{a}\right)}^{3\times 5}$

   

  같은 방식으로 
  2^10 - 1 = 11 * 93
  2^12 - 1 = 13 * 315
  2^18 - 1 = 19 * 13797
  2^22 - 1 = 23 * 182361
  2^28 - 1 = 29 * 9256395

   

  32 제곱근까지는 모두 일단 이론적으로는 구할 수가 있는 걸로 나오는데... 

  아무리 일반 계산기에 상수계산(반복계산) 기능이 있어서 수백번까지야 무리해서 한다고 하더라도 
  그 이상 반복횟수가 많아지면 계산기의 마지막 자릿수 탈락에 의한 오차가 커지고, 

  입력 횟수를 까먹는 등의 문제가 있어서 실질적으로 참값을 구하는건 불가능하겠습니다. 

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  세상의모든계산기

  2015.12.12 - 15:28 2015.01.18 - 15:15 #2728

  계산하다 보니까 소수 규칙성이 있네요. 

  
  (2를 제외한) 어떠한 소수 p에 대하여 2^(p-1) -1 은 p를 인수로 가지는 것 같습니다.
  (역도 대충은 맞는데, 아닌 것도 몇개 섞여 있네요. 341, 561, 645, 1105, ...)

  $p=1+{\log }_2\left(p\times k+1\right)$ 이게 뭘까...

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  세상의모든계산기

  2022.10.15 - 19:48 2015.01.19 - 17:09 #2922

  (이런 공식이 있었구만...)

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  http://mathworld.wolfram.com/FermatsLittleTheorem.html
  http://mathworld.wolfram.com/FermatPseudoprime.html

   

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  세상의모든계산기

  2015.01.19 - 14:42 2015.01.18 - 17:16 #2737

  위 방식으로 7의 17제곱근을 구해 봤습니다.

  
  

  	255제곱근	17제곱근
  공학용 계산기(비교)	1.0076602106307	1.1212737354259
  쌀집 계산기	1.00766021062	1.12127373515

  
  

  255제곱근 구하는 것도 생각보다 빠르고 (반복4회, 53버튼입력)

  그 값의 15승 구하는 것도 생각보다 빠릅니다. (15버튼입력)

  (총 68 버튼입력)

  오차도 생각보다 크지 않구요. 이정도면 만족스럽습니다. 

  
  

  하지만 그 이상은 버튼 입력 횟수가 급격히 늘어나서 

  직접 사용하기가 어려울 듯 하네요. 

  
  

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  세상의모든계산기

  2024.10.05 - 14:16 2015.01.18 - 01:17 #2675

  뉴튼 랩슨법 : 일반해를 구하는 방법

  ---

  http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method

  ---

  따라서 모든 n제곱근 값을 구할 수 있습니다. (초기값 설정에 따른 오차가능성은 있습니다만...)

  $x_{k+1}=\left\{{x_k}^n\times \left(n-1\right)+a\right\}÷n÷{x_k}^{n-1}$

       * 여기서 X_k는 k번째 결과, X_(k+1)은 k+1번째 결과입니다.

   

  제곱근 (초기값)

  1

  a

  2

  3제곱근

  ==

  2

  3

  ==

  4제곱근

  ===

  3

  4

  ===

  n제곱근

  =  (n-1)번

  n-1

  n

  =  (n-1)번

  ※ 카시오 계산기의 경우 상수 계산 방식이 달라서 입력 횟수와 방식이 약간 다릅니다.

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  세상의모든계산기

  2024.10.05 - 14:16 2015.10.07 - 17:21 #7842

  제곱근을 구하는 바빌로니아 (방)법

  ---

  https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%94%EB%B9%8C%EB%A1%9C%EB%8B%88%EC%95%84_%EB%B2%95

   

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  세상의모든계산기

  2024.10.05 - 14:16 2015.11.07 - 14:26 #9819

  세제곱근풀이(extraction of cubic root )

  ---

  http://www.scienceall.com/%EC%84%B8%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EA%B7%BC%ED%92%80%EC%9D%B4extraction-of-cubic-root/

   

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  2022.12.15 - 15:47 #37901

  좋은 글 감사합니다. 영상을 보니 【×】【a】【√】【√】【=】 가 아니라 【×】【a】【=】【√】【√】 이네요~^^

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  세상의모든계산기

  2024.01.23 - 12:23 2022.12.15 - 20:36 #37915

  그렇네요.
  오류 지적 감사드립니다. 

  본문 수정하겠습니다.

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  세상의모든계산기

  2024.10.16 - 00:55 2023.10.22 - 21:52 #39509

  예시 : 1.7055^(1/7) - 1 = ?

  ---

  ㄴ (링크) 지식인 질문 & 답변 

  ㄴ 지수가 1/7로 단순하니 로그 성질을 활용한 방법도 가능합니다. : https://allcalc.org/49753

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  세상의모든계산기

  2024.07.23 - 17:04 2024.01.23 - 12:13 #40072

  예시 : 수익률 기하평균 

  ---

  1.1^(1/3) -1 = ?

  https://kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=11&dirId=111303&docId=462808027&qb=6rOE7IKw6riw&enc=utf8§ion=kin.qna.all&rank=1&search_sort=3&spq=0

  

   

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  세상의모든계산기

  2024.07.23 - 17:01 2024.05.24 - 10:17 #40896

  뉴턴-랩슨 방법을 이용한 제곱근 계산

  ---

  $\text{뉴턴-랩슨 방법을 이용한 제곱근 계산}$

  뉴턴-랩슨 방법은 근을 구하는 반복적인 알고리즘입니다. 루트 값을 구하는데 매우 효과적입니다. 예를 들어, 

  $\sqrt{S}$를 구하려고 할 때 다음과 같은 단계를 따릅니다.

   

  1. 초기 추정값 $x_0$을 선택합니다. 보통 $S$의 절반 값이 괜찮은 초기값입니다.

  2. 다음 반복식을 사용하여 새로운 추정값을 계산합니다:

     $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right)$

  3. 원하는 정확도에 도달할 때까지 2단계를 반복합니다.

   

  예시를 들어보겠습니다. $\sqrt{10}$를 구하는 과정을 설명하겠습니다.

   

  1. 초기값 $x_0$을 5로 설정합니다 (10의 절반).

  2. 첫 번째 반복:

     $x_1 = \frac{1}{2} \left( 5 + \frac{10}{5} \right) = \frac{1}{2} (5 + 2) = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3.5$

  3. 두 번째 반복:

     $x_2 = \frac{1}{2} \left( 3.5 + \frac{10}{3.5} \right) = \frac{1}{2} \left( 3.5 + 2.857 \right) \approx \frac{1}{2} \cdot 6.357 = 3.1785$

  4. 세 번째 반복:

     $x_3 = \frac{1}{2} \left( 3.1785 + \frac{10}{3.1785} \right) \approx \frac{1}{2} \cdot 6.3167 = 3.1584$

  5. 네 번째 반복:

     $x_4 = \frac{1}{2} \left( 3.1584 + \frac{10}{3.1584} \right) \approx \frac{1}{2} \cdot 6.3246 = 3.1623$

   

  이 과정을 반복하면 원하는 정확도에 도달할 때까지 계속 계산할 수 있습니다. 일반적으로 4~5번 정도 반복하면 소수점 이하 몇 자리까지 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

   

  이 방법을 사용하면 일반 계산기에서도 루트 값을 구할 수 있습니다. 몇 번의 반복을 통해 상당히 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

   

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  세상의모든계산기

  2024.10.05 - 20:53 2024.10.05 - 14:19 #49152

  예시 : 5제곱근 구하기. $ \sqrt[5]{123} $ 

  ---

  계산 순서 ⓐ 15제곱근을 구하고, ⓑ 그 값을 3제곱

   

  ⓐ 15제곱근 값 구하기 (3회 반복, 루트 기능 이용)

  키 입력 : 【123】【√】【√】【√】【√】

   (√123 = 11.090536506409)
   (√11.090536506409 = 3.3302457126178)
   (√3.3302457126178 = 1.8248960826901)
   (√1.8248960826901 = 1.3508871465412)

   

  키 입력 : 【×】【123】【=】【√】【√】【√】【√】
  1.3508871465412 × 123 = 166.15911902457
   (√166.15911902457 = 12.890272263400)
   (√12.890272263400 = 3.5903025309018)
   (√3.5903025309018 = 1.8948093653193)
   (√1.8948093653193 = 1.3765207464180)

   

  키 입력 : 【×】【123】【=】【√】【√】【√】【√】

  1.3765207464180 × 123 = 169.31205180941
   (√169.31205180941 = 13.011996457478)
   (√13.011996457478 = 3.6072145011737)
   (√3.6072145011737 = 1.8992668325366)
   (√1.8992668325366 = 1.3781389017572)

   

  

  ㄴ 3회 반복하여 파란색 결과에서 멈추었습니다. 

  ㄴ 횟수가 반복될수록 더 정확한 값에 수렴합니다만, 득실관계(trade-off)를 따져야 합니다. 시간투자 + 버튼 입력 실수 가능성.

   

  ⓑ 3제곱 값 구하기 (상수계산 기능 이용)

  (Non-K 타입) 키 입력 : 【×】【=】【=】

  1.3781389017572 × = 1.8992668325365 // ⓐ의 제곱 값
   × 1.3781389017572 = 2.6174535067357 // ⓐ의 세제곱 값

   

  ⓒ 참값과 ⓑ의 결과 값 비교 (오차율 확인, 꼭 확인할 필요는 없음)

  

  0.02% 오차면 잘 구해졌죠.

  ---

  주의 : 키 입력 순서나 방법 그리고, 결과값의 오차수준은 계산기 모델에 따라 다를 수 있습니다. 

   

  - 실물 계산기로 적용한 결과

  

   

  

   

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