- 일반(쌀집) 계산기
[일반 계산기] 일반 계산기로 세제곱근 구할 수 있나? (정수제곱근법 & 뉴튼-랩슨법)
세제곱근 버튼이 없는 일반 계산기로 세제곱근을 구할 수 있을까요?
구할 방법이 없는 것은 아니지만, 누군가 물어본다면 "일반 계산기로는 세제곱근을 구할 수 없다"고 말하는게 좋겠습니다.
왜냐하면 직접 그 값을 구하는 것도 쉽지 않을 뿐 아니라, 상대방을 이해시키는 것도 쉽지 않기 때문입니다.
그래도 그 방법을 알고 싶으시다면... 계속 읽어보세요.
방법1 : 계산기 정수 제곱근법을 이용
1. 처음 1회만 입력할 버튼순서 : 【a】【√】【√】
2. 계속 반복하여 입력할 버튼 순서 : 【×】【a】【=】【√】【√】
- 반복입력하는 버튼의 순서는 계산기의 상수계산 방식에 따라 다를 수 있습니다. (Casio vs Sharp)
- 이 방법에는 계산기의 루트 기능이 반드시 필요합니다.
- 12자리 계산기로 대략 19회 ~ 20회 정도 반복하면 최종 결과가 얻어집니다.
총 버튼 입력 횟수 = 3+(5×20) = 103회 - 위의 방식을 확장하면, 7제곱근(7=2^3-1)이나, 15제곱근(=2^4-1) 등을 구할 수도 있습니다.
제곱이 반복될수록 반복해 입력할 버튼횟수는 반대로 줄어듭니다.
예제 동영상) 0.1의 세제곱근
방법2 : 뉴튼 랩슨법 Newton-Raphson Method 을 이용
1. 초기값 (대략 추정하여) 입력 【CM】【M+】
2. 이후에 반복 : 【=】【=】【×】【2】【+】【a】【÷】【3】【÷】【RM】【=】【=】【CM】【M+】
└ 위 반복입력식은 (일반)계산기의 "상수계산" 방식에 따라 달라질 수 있습니다. (Casio vs Sharp)
- 이 방법은 루트 버튼은 필요 없지만, 메모리 M 기능이 필요합니다.
- 반복 순서를 외우는게 좀 복잡하지만
방법1보다는 입력횟수가 조금 적습니다.
대략 5~6회 정도 반복하면 최종 결과가 얻어집니다.
(6회 반복시 총 버튼 입력 횟수 = 1 + 15*6 = 91회)
이게 정말 될까?
예제 동영상) 7의 세제곱근을 구하는 동영상입니다.
근데... 이걸 왜 하고 있는거죠??
댓글 14
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이 원리를 계속 적용하면 일반 계산기를 이용해서
(8-1)=7 제곱근 (16-1)=15제곱근... 등등도 구할 수 있고,
이미 구해진 제곱근, 세제곱근, ... 등등의 다른 제곱근 값을 이용하여
일부의 n(정수) 제곱근을 구할 수 있습니다.* 비어 있는 것은 구할 수 있는지 없는지 확신이 없습니다. 아시는 분 제보 바랍니다.
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2^8=256 이니까
255제곱근을 구할 수가 있구요
255 = 3 * 5 * 17
같은 방식으로
2^10 - 1 = 11 * 93
2^12 - 1 = 13 * 315
2^18 - 1 = 19 * 13797
2^22 - 1 = 23 * 182361
2^28 - 1 = 29 * 925639532까지는 일단 이론적으로는 구할 수가 있는 걸로 나오는데...
계산기의 마지막 자릿수 탈락에 의한 오차 등으로 실제로 구해질지는 모르겠습니다.
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계산하다 보니까 소수 규칙성이 있네요.
(2를 제외한) 어떠한 소수 p에 대하여 2^(p-1) -1 은 p를 인수로 가지는 것 같습니다.
(역도 대충은 맞는데, 아닌 것도 몇개 섞여 있네요. 341, 561, 645, 1105, ...)이게 뭘까...
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(이런 공식이 있었구만...)
http://mathworld.wolfram.com/FermatsLittleTheorem.html
http://mathworld.wolfram.com/FermatPseudoprime.html
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위 방식으로 7의 17제곱근을 구해 봤습니다.
255제곱근
17제곱근
공학용 계산기(비교)
1.0076602106307
1.1212737354259
쌀집 계산기
1.00766021062
1.12127373515
255제곱근 구하는 것도 생각보다 빠르고 (반복4회, 53버튼입력)그 값의 15승 구하는 것도 생각보다 빠릅니다. (15버튼입력)(총 68 버튼입력)오차도 생각보다 크지 않구요. 이정도면 만족스럽습니다.하지만 그 이상은 버튼 입력 횟수가 급격히 늘어나서직접 사용하기가 어려울 듯 하네요.
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뉴튼 랩슨법은 일반해를 구하는 방법으로 널리 이용되고 있습니다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method
따라서 모든 n제곱근 값을 구할 수 있습니다. (초기값 설정에 따른 오차가능성은 있습니다만...)
* 여기서 Xk는 k번째 결과, X(k+1)은 k+1번째 결과입니다.
제곱근
(초기값)1
a
2
3제곱근
==
2
3
==
4제곱근
===
3
4
===
n제곱근
=
(n-1)번
n-1
n
=
(n-1)번
※ 카시오 계산기의 경우 상수 계산 방식이 달라서 입력 횟수와 방식이 약간 다릅니다.
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제곱근을 구하는 바빌로니아 (방)법
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%94%EB%B9%8C%EB%A1%9C%EB%8B%88%EC%95%84_%EB%B2%95
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세제곱근풀이(extraction of cubic root )
http://www.scienceall.com/%EC%84%B8%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EA%B7%BC%ED%92%80%EC%9D%B4extraction-of-cubic-root/
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좋은 글 감사합니다. 영상을 보니 【×】【a】【√】【√】【=】 가 아니라 【×】【a】【=】【√】【√】 이네요~^^
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그렇네요.
오류 지적 감사드립니다.본문 수정하겠습니다.
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예시
1.7055^(1/7) - 1 = ?
https://kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=1&dirId=1040103&docId=457083430&qb=6rOE7IKw6riw&enc=utf8§ion=kin.qna.all&rank=5&search_sort=3&spq=0
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예시 : 수익률 기하평균
1.1^(1/3) -1 = ?
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뉴턴-랩슨 방법을 이용한 제곱근 계산
뉴턴-랩슨 방법은 근을 구하는 반복적인 알고리즘입니다. 루트 값을 구하는데 매우 효과적입니다. 예를 들어,
를 구하려고 할 때 다음과 같은 단계를 따릅니다.
1. 초기 추정값 을 선택합니다. 보통 의 절반 값이 괜찮은 초기값입니다.
2. 다음 반복식을 사용하여 새로운 추정값을 계산합니다:
3. 원하는 정확도에 도달할 때까지 2단계를 반복합니다.
예시를 들어보겠습니다. 를 구하는 과정을 설명하겠습니다.
1. 초기값 을 5로 설정합니다 (10의 절반).
2. 첫 번째 반복:
3. 두 번째 반복:
4. 세 번째 반복:
5. 네 번째 반복:
이 과정을 반복하면 원하는 정확도에 도달할 때까지 계속 계산할 수 있습니다. 일반적으로 4~5번 정도 반복하면 소수점 이하 몇 자리까지 정확한 값을 얻을 수 있습니다.
이 방법을 사용하면 일반 계산기에서도 루트 값을 구할 수 있습니다. 몇 번의 반복을 통해 상당히 정확한 값을 얻을 수 있습니다.
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네제곱근법의 원리는 이렇습니다.