[일반 계산기] 세제곱근 구하기. 방법 #2, 로그 성질(근사)의 활용
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- 2024.11.30 - 16:08 2024.10.13 - 21:10 1411 6
ㄴ $ \sqrt[3]{a} $ 를 구하는 방법. 로그의 근사 활용
이 방법의 계산 순서
1. 초기 근사값 설정:
루트키 【√】를 이용해 $ a^{\frac{1}{4096}} $ 을 계산합니다. 이 값은 1에 매우 가깝습니다.
2. 델타(Δ) 정의:
$ Δ = \frac{a^{\frac{1}{4096}} - 1}{3} $ 를 구합니다.
앞선 결과에서 1을 빼고, 그걸 3으로 나누면 되겠죠.
이 Δ는 0에 가까운 매우 작은 값입니다.
3. 반복 제곱:
(1 + Δ)^4096 를 계산하면 $ a^{\frac{1}{3}} $ 에 매우 가까운 값이 됩니다.
(1 + Δ)^4096 를 4095회의 곱하기로 계산하는 것은 매우 비 효율적이기 때문에
((((((((((((1 + Δ)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2 로 결과를 제곱계산해 횟수를 줄여야 합니다.
일반 계산기에서 계산 결과를 제곱하려면 【×】【=】 를 반복하면 됩니다.
이 방법이 작동하는 수학적인 이유 (증명)
1. 로그의 성질 활용:
앞선 델타(Δ)의 정의에 의해
$$ \begin{gather} x = a^{\frac{1}{4096}} = 1 + 3Δ \text{ 라고 할 때,} \\ ln(x) = ln(a^{\frac{1}{4096}}) = \frac{1}{4096} * ln(a) \end{gather} $$
2. 작은 값에 대한 로그 근사:
매우 작은 값 Δ에 대해, 로그 근사가 성립 (댓글 참고)
$$ ln(x) = ln(1 + 3Δ) ≈ 3Δ $$
따라서,
$$ \frac{1}{4096} * ln(a) ≈ 3Δ $$
3. Δ 의 근사값 표현:
$$ Δ ≈ \frac{1}{4096×3} ×ln(a) $$
4. (1 + Δ) ^ 4096 의 의미:
$$ (1 + Δ)^{4096} ≈ e^{4096Δ} \text{ (지수함수의 성질 이용, 댓글 참고)} $$
$$ ≈ e^{\frac{1}{3} * ln(a)} \text{ (Δ 의 근사값 대입)} $$
$$ = (e^{ln(a)})^{\frac{1}{3}} $$
$$ = a^{\frac{1}{3}} $$
이 과정을 통해 (1 + Δ)^4096이 a^(1/3)에 매우 가깝게 근사(approximate)하는 것을 알 수 있습니다.
쌀집 계산기를 이용한 버튼 입력 순서 예시 : $ \sqrt[3]{125} = 5 $
【125】【√】 (√125 = 11.180339887499)
【√】 (√11.180339887499 = 3.3437015248821)
【√】 (√3.3437015248821 = 1.8285790999796)
【√】 (√1.8285790999796 = 1.3522496441041)
【√】 (√1.3522496441041 = 1.1628626935731)
【√】 (√1.1628626935731 = 1.0783611146425)
【√】 (√1.0783611146425 = 1.0384416760909)
【√】 (√1.0384416760909 = 1.0190395851442)
【√】 (√1.0190395851442 = 1.0094749056535)
【√】 (√1.0094749056535 = 1.0047262839468)
【√】 (√1.0047262839468 = 1.0023603563324)
【√】 (√1.0023603563324 = 1.0011794825766)
【－】【1】【÷】【3】【＋】【1】【=】 1.0011794825766 - 1 → 0.0011794825766 ÷ 3 → 0.00039316085886667 + 1 = 1.0003931608589
【×】【=】 1.0003931608589 × = 1.0007864762933
【×】【=】 1.0007864762933 × = 1.0015735711316
【×】【=】 1.0015735711316 × = 1.0031496183893
【×】【=】 1.0031496183893 × = 1.0063091568746
【×】【=】 1.0063091568746 × = 1.0126581192097
【×】【=】 1.0126581192097 × = 1.0254764664013
【×】【=】 1.0254764664013 × = 1.0516019831429
【×】【=】 1.0516019831429 × = 1.1058667309501
【×】【=】 1.1058667309501 × = 1.2229412266223
【×】【=】 1.2229412266223 × = 1.4955852437725
【×】【=】 1.4955852437725 × = 2.2367752213900
【×】【=】 2.2367752213900 × = 5.0031633910243
총 버튼 입력 횟수 : 3 + 12 + 7 + 2*12 = 46 회
응용
처음에 4096 제곱근을 구하고 마지막에 4096 제곱을 하였는데, 꼭 4096 만 되는 것은 아니고 앞 뒤 짝이 맞으면 됩니다.
2048 제곱근을 구하고 2048 제곱을 하면 버튼 입력횟수 ↓ 오차 ↑
8192 제곱근을 구하고 8192 제곱을 하면 버튼 입력횟수 ↑ 오차 ↓
댓글 6
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그래프로 확인. 오차=f3(x)
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125^(1/5) 를 구할 때는?
본문에서 3으로 나누는 과정을 5로 나누는 과정으로 바꾸면 됩니다.
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정수제곱근법 & 뉴튼-랩슨법을 이용한 반복계산법과 차이는?
https://allcalc.org/2629
반복계산법은
- 반복할수록 오차가 없는 참값에 수렴해 갑니다. (마지막 1~2 자릿수 정도의 오차는 남을 수 있습니다)
- 완전숙달되지 않는 이상, 입력하기 어려워 실수가 나오기 쉽습니다.
- n제곱근의 n값에 따라 쉽게 되기도 하고, 어려워지기도 함.
반면, 본문의 방법은
- 오차를 어느 정도 감수할지를 결정(?)하고, 하나의 값만 구합니다.
- 원리를 정확히 이해하면, 계산기 입력은 쉬운 편입니다. (실수를 줄일 수 있습니다)
- n제곱근의 n값에 관계 없이 동일한 구조로 계산이 됩니다. 외우기 쉽습니다.
반복횟수(iter)를 적당히 늘리면 이 방법도 오차가 조금 줄어들 수는 있습니다.
하지만 iter를 무한정 늘린다고 참값에 수렴하는 것이 아니고, 어느 순간부터는 오히려 오차가 커지고 불안정해집니다.
계산기 내부 유효 자릿수 한계 때문에 발생하는 문제입니다.
ㄴ 루트를 많이 씌우다보면 1.0000000000000~~~ 이 되는데 뒤에 ~~~ 부분이 날라가 없어지고 정수 1 만 남음.
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예시 : {1,3,5,7,9} 의 기하평균 $\sqrt[5]{1×3×5×7×9} $ ?
https://kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=11&dirId=11030303&docId=476615967
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감사합니다 낼모레 시험인데 절 살리셨어요
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로그 근사 및, $ (1 + Δ)^{4096} \approx e^{4096Δ} $ 근사가 성립하는 이유
지수함수와 로그함수의 중요한 성질에 기반합니다.
1. 지수함수의 정의:
\( e^x \)는 자연상수 \( e \) (약 2.71828...)를 밑으로 하는 지수함수입니다.
2. 로그함수의 테일러 전개
로그 함수 \( \ln(1 + d) \)의 테일러 급수를 \( d = 0 \) 주변에서 전개하면 다음과 같습니다:
\[
\ln(1 + d) = d - \frac{d^2}{2} + \frac{d^3}{3} - \frac{d^4}{4} + \cdots
\]
따라서, 이 급수의 첫 번째 항은 \( d \), 두 번째 항은 \( -\frac{d^2}{2} \), 세 번째 항은 \( \frac{d^3}{3} \) 입니다.
3. (1 + Δ)에 대한 근사:
\( Δ \)가 매우 작아 0에 가까울 때, 테일러 급수의 두번째항부터는 기하급수적으로 0에 수렴합니다.
\[
\ln(1 + Δ) = Δ \cancel{- \frac{Δ^2}{2}} \cancel{+ \frac{Δ^3}{3}} \cancel{- \frac{Δ^4}{4}} + \cancel{\cdots}
\]
오차를 조금 허용하여 \( \ln(1 + Δ) \approx Δ \) 이 성립하게 됩니다.
4. 지수함수와 로그함수의 관계:
\( e^{\ln(x)} = x \)입니다. 이는 지수함수와 로그함수가 서로의 역함수라는 성질 때문입니다.
5. 이를 이용한 (1 + Δ)의 표현:
\( 1 + Δ \approx e^{Δ} \)입니다. (왜냐하면 \( e^{\ln(1+Δ)} = 1 + Δ \)이고, \( \ln(1+Δ) \approx Δ \)이므로)
6. 지수법칙 적용:
\[
(1 + Δ)^{4096} \approx (e^{Δ})^{4096} = e^{4096\cdotΔ}
\]
따라서, \( (1 + Δ)^{4096} \approx e^{4096\cdotΔ} \)라는 근사가 성립하게 됩니다.
이 근사는 \( Δ \)가 매우 작을 때 더 정확해집니다. 우리의 경우 \( Δ = \frac{a^{1/4096} - 1}{3} \)로 정의되었으므로, \( a \)가 크지 않은 양수일 때 \( Δ \)는 매우 작은 값이 되어 이 근사가 잘 작동하게 됩니다.
이 근사를 통해 우리는 거듭제곱 계산을 지수함수로 변환할 수 있게 되어, 이후 계산과 증명이 더 쉬워집니다.