- TI nspire
[TI-nspire] 행렬 eigVL 고유값, eigVC 고유벡터 구하기
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- 2024.10.29 - 15:14 2015.10.24 - 18:43 8327 7
1. 자동으로 고유값 & 고유벡터 찾는 방법
고유값 함수(eigVL())와, 고유벡터(eigVC()) 함수는 [TI-nspire]에 내장되어 있으므로, 손쉽게 구할 수 있습니다.
- 행렬 a = 라고 하면
- eigVl()로 구한 고유값의 순서와, eigvc()로 구한 고유벡터는 그 순서가 서로 매칭됩니다.
- eigVc()로 구한 고유벡터는 정규화(=크기가 1) 된 값입니다.
2. 수동으로 고유값(Eigen Value) 찾는 방법
- 3×3 행렬을 변수 a 에 저장하고, 행렬식을 이용해 고유 방정식(p(λ))을 찾습니다.
- solve 로 고유값을 찾습니다. 2(중근)와 4가 나왔습니다.
└ 보기 좋으라고 그리스 문자 λ 를 찾아서 넣었습니다만, 그냥 알파벳 a~z 를 써도됩니다.
3. 수동으로 고유벡터(Eigen Vector) 찾는 방법
- rref(a-고유값) 으로 벡터 성분(v1, v2, v3)간의 관계식을 구할 수 있습니다.
- 벡터 성분간 관계식을 만족하는 벡터를 구하면 고유벡터가 됩니다.
(따라서 고유벡터는 유일(unique)한 값을 가지지 않습니다.)
ㄴ 고유값이 중근이므로 두개의 고유 벡터를 찾아보았습니다.
- 이번엔 고유값 4에 대한 고유벡터를 구해봅니다.
├ 이번에는 하나의 고유벡터만을 찾았습니다.
└ eigVc(a) 의 결과값은 정규화된 값임을 확인할 수 있습니다.
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댓글7
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세상의모든계산기
행렬a-λ 를 하게되면 자동으로 λ에 Identity Matrix 가 강제로 곱해져 계산됩니다.
행렬a 모든 원소값에 스칼라값을 빼려면 빼기부호 앞에 .(dot) 을 붙여 주어야 합니다.
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세상의모든계산기
symmetric 한 행렬에 a대해 eigvc(a) 를 구했을 때...
서로 직교하는 3개의 벡터가 되면 좋겠지만... 그렇게 구해주진 않네요.
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세상의모든계산기
행렬의 대각화 diagonalization 예제
eigvl 값을 찾았다면 대각행렬(diag)을 만들 수 있고,
대각행렬은 요소가 간단해서 역행렬을 매우 쉽게 찾을 수 있음.
p 와 p의 역행렬 그리고 d의 역행렬을 이용해 a의 역행렬을 계산할 수 있음.
ㄴ 다만, TI-nspire 에서는 정규화된 p를 찾아줘서 복잡하게 보이는 경향이 있음.
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세상의모든계산기
2×2 (대칭) 행렬의 예
1. 고유값 {3,1} 찾기
2. 대각행렬 da 정의
3. 고유값을 이용해 고유 벡터 찾기
4. 고유벡터로 p 행렬 정의 p:=[[1 1][1 -1]]
5. da 와 p 를 이용해 a의 역함수 계산
6. 최종적으로 하나의 해를 찾을 수 있는데...
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세상의모든계산기
대칭 행렬 \( a \)의 고유값과 고유벡터를 이용하여 해를 구하는 과정에서 굳이 \( D^{-1} \), \( P \), \( P^{-1} \)를 모두 계산하지 않고도, 고유값 분해와 고유벡터를 이용해 연립방정식을 더 간단하게 풀 수 있습니다.
1. 고유값 분해: 행렬 \( a \)의 고유값이 3과 1로 주어졌고, 각각의 고유벡터가 \( x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)와 \( x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)입니다.
2. 벡터 \( b \)를 고유벡터로 분해:
우선, \( b = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} \)를 두 고유벡터 \( x_1 \)과 \( x_2 \)의 선형 결합으로 표현합니다.
즉, \( b = c_1 x_1 + c_2 x_2 \)를 만족하는 \( c_1 \)과 \( c_2 \)를 구합니다.
- \( x_1 \)과 \( x_2 \)가 직교하므로, 내적을 통해 \( c_1 \)과 \( c_2 \)를 쉽게 구할 수 있습니다.
- \( c_1 = \dfrac{b \cdot x_1}{x_1 \cdot x_1} = \dfrac{4 \times 1 + 3 \times 1}{1^2 + 1^2} = \dfrac{4 + 3}{2} = \dfrac{7}{2} = 3.5 \)
- \( c_2 = \dfrac{b \cdot x_2}{x_2 \cdot x_2} = \dfrac{4 \times 1 + 3 \times (-1)}{1^2 + (-1)^2} = \dfrac{4 - 3}{2} = \dfrac{1}{2} = 0.5 \)
3. 해 \( x \) 구하기:
이제 고유값을 사용하여 \( x = \dfrac{c_1}{\lambda_1} x_1 + \dfrac{c_2}{\lambda_2} x_2 \)를 계산합니다.
- \( x = \dfrac{3.5}{3} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 0.5 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)
- 이를 계산하면:
$ x = \begin{bmatrix} \dfrac{3.5}{3} + 0.5 \\ \dfrac{3.5}{3} - 0.5 \end{bmatrix} $
따라서 연립방정식의 해는 \( x = \begin{bmatrix} \dfrac{5}{3} \\ \dfrac{2}{3} \end{bmatrix} \)입니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
3×3 이상인 행렬의 행렬식 determinant https://allcalc.org/50536 2025 12.30 답에 이상한 숫자 14.2857142857가 들어간 것은 조건식에 소숫점(.) 이 들어가 있기 때문에 발생한 현상이구요. 100÷7 = 14.285714285714285714285714285714 소숫점 없이 분수로 식이 주어졌을 때와 결과적으로는 동일합니다. 2025 12.30 그럼 해가 무한히 많은지 아닌지 어떻게 아느냐? 고등학교 수학 교과과정에 나오는 행렬의 판별식(d, determinant)을 이용하면 알 수 있습니다. ㄴ 고교과정에서는 2x2 행렬만 다루던가요? 연립방정식의 계수들로 행렬을 만들고 그 행렬식(determinant)을 계산하여야 합니다. 행렬식이 d≠0 이면 유일한 해가 존재하고, d=0 이면 해가 없거나 무수히 많습니다. * 정상적인 경우 (`2y + 8z = 115`)의 계수 행렬: 1 | 1 1 0 | 2 | 1 0 -3.5 | 3 | 0 2 8 | 행렬식 값 = 1(0 - (-7)) - 1(8 - 0) = 7 - 8 = -1 (0이 아니므로 유일한 해 존재) * 문제가 된 경우 (`2y + 7z = 100`)의 계수 행렬: 1 | 1 1 0 | 2 | 1 0 -3.5 | 3 | 0 2 7 | 행렬식 값 = 1(0 - (-7)) - 1(7 - 0) = 7 - 7 = 0 (0이므로 유일한 해가 존재하지 않음) 2025 12.30 좀 더 수학적으로 말씀드리면 (AI Gemini 참고) 수학적 핵심 원리: 선형 독립성(Linear Independence) 3원 1차 연립방정식에서 미지수 x, y, z에 대한 단 하나의 해(a unique solution)가 존재하기 위한 필수 조건은 주어진 세 개의 방정식이 서로 선형 독립(linearly independent) 관계에 있어야 한다는 것입니다. * 선형 독립 (Linearly Independent): 어떤 방정식도 다른 방정식들의 조합(상수배를 더하거나 빼는 등)으로 만들어질 수 없는 상태입니다. 기하학적으로 이는 3개의 평면(각 방정식은 3D 공간의 평면을 나타냄)이 단 한 개의 점(해)에서 만나는 것을 의미합니다. * 선형 종속 (Linearly Dependent): 하나 이상의 방정식이 다른 방정식들의 조합으로 표현될 수 있는 상태입니다. 이 경우, 새로운 정보를 제공하지 못하는 '잉여' 방정식이 존재하는 것입니다. 기하학적으로 이는 3개의 평면이 하나의 선에서 만나거나(무수히 많은 해), 완전히 겹치거나, 혹은 평행하여 만나지 않는(해가 없음) 상태를 의미합니다. 질문자님의 사례는 '선형 종속'이 되어 무수히 많은 해가 발생하는 경우입니다. 2025 12.30 질문하신 연립 방정식은 미지수가 3개이고 모두 1차인 3원 1차 연립방정식입니다. 이상적으로 문제가 없다면 {x,y,z} 에 대한 좌표가 하나 나오게 됩니다. 원하는 답 {52.5, -2.5, 15} 그런데 두개 조건(식)을 그대로 두고 나머지 하나를 변형하다 보니 원하는 답이 나오지 않는 상황이 발생하였다고 질문하신 상황입니다. 3개의 조건식이 주어진 3원 1차 연립방정식은 조건을 변형해서 하나의 변수를 제거할 수 있습니다. 그러면 2개의 조건식으로 주어지는 2원 1차 연립방정식으로 변형할 수 있습니다. (알아보기 더 쉬워서 변형하는 겁니다) 변경하지 않은 조건의 식(con1) 을 이용해 하나의 y & z 1차 방정식을 유도할 수 있는데요. 나머지 방정식이 con1에서 유도된 방정식과 동일해지면 하나의 답이 구해지지 않는 것입니다. 계산기(ti-nspire)는 {x,y,z} 의 답이 하나가 아니고 무수히 많음을 c1 을 이용해서 표현해 준 것입니다. linear_independence_cond12.tns 2025 12.30