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[TI-nspire] 계산 결과의 분모에 허수(i) or 무리수(√)를 그대로 남겨두는 방법
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- 2025.01.13 - 09:52 2015.11.15 - 21:01 6225 5
1. 분모의 유리화(Rationalisation) or 실수화(?)
[TI-nspire] 계산기는 '분자/분모 꼴'인 결과의 분모에 무리수(√)나 복소수(i)가 남아 있는 것을 싫어합니다.
ㄴ 다른 공학용 계산기들도 비슷합니다.
그래서 어지간하면 강제로 분모의 유리화 or 실수화를 진행합니다.
ㄴ 문자가 들어 있거나 해서 실수/허수 판단이 안되는 경우 등에는 진행되지 않습니다.
2. 문제의 발생
그 결과값이 상수인 경우에는 큰 문제가 되지 않으나, 미지수를 포함한 식인 경우에는 경우에 따라 아래처럼 문제가 될 수도 있습니다.
강제적인 유리화 또는 실수화 과정에서 (x-α)가 분모, 분자에 각각 곱해졌는데, 그 다음 계산에서 x=α 를 대입해야 하는 경우에는 분모가 0이 되고, 의도치 않게 결과값으로 undef 이 나옵니다.
결과적으로 쓸데없이 분모분자에 0을 곱해서 0/0 꼴을 만든 것과 같습니다.
3. 해결 방안
factor(Expr1[, Var]) ⇒ expression
cfactor(Expr1[, Var]) ⇒ expression
- 옵션인 ,var 값을 생략해도 괜찮을 수 있지만, 가급적 입력하는 것을 추천합니다.
- 무리수에서는 factor, 복소수에서는 cfactor를 사용하는게 모양상 바람직합니다.
복소수 변수일 경우에는 변수 뒤에 언더스코어바(_)를 붙여주는 것이 바람직합니다. - 위 명령으로 최종 수식을 감싸주면 분모가 더이상 유리화 또는 실수화되지 않고 그대로 출력됩니다.
- 위처럼 분모 위치에 묶여있는 상태에서 |x=α 조건을 붙여서 사용하거나, 결과값에 조건을 붙여서 계산하면 undef 문제를 해결할 수 있습니다.
☆ 반대로 유리화가 진행되지 않은 채 남은 다항식을 강제로 통분하려면 comDenom( ) 명령을 사용하시면 됩니다.
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댓글5
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세상의모든계산기
ㄴ "Var 값의 입력여부"에 따라 결과의 차이가 발생할 수 있습니다. -
세상의모든계산기
cfactor 함수와 ,var 변수의 조합에 따라 다양한 결과가 나옴을 알 수 있습니다.
눈에 보이는 계산에서는 실수를 바로 파악할 수 있지만, 결과값이 외부로 즉시 드러나지 않는 프로그램 내부에서 이런 문제가 발생하면 문제 파악이 어려울 수 있습니다. 여러가지 경우를 가정해서 미리 테스트 해보는 일이 필요합니다.
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세상의모든계산기
cfactor의 도움으로 원하는 결과식이 구해지긴 하지만, x=α 를 결과식이 아닌 처음의 수식에 집어넣으면 답이 안나올 수 있습니다.
이런 경우에는 어쩔 수 없이 계산을 2단계로 나누어서 해야 합니다. (다른 방법이 있으면 제보 바랍니다)
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세상의모든계산기 님의 최근 댓글
3×3 이상인 행렬의 행렬식 determinant https://allcalc.org/50536 2025 12.30 답에 이상한 숫자 14.2857142857가 들어간 것은 조건식에 소숫점(.) 이 들어가 있기 때문에 발생한 현상이구요. 100÷7 = 14.285714285714285714285714285714 소숫점 없이 분수로 식이 주어졌을 때와 결과적으로는 동일합니다. 2025 12.30 그럼 해가 무한히 많은지 아닌지 어떻게 아느냐? 고등학교 수학 교과과정에 나오는 행렬의 판별식(d, determinant)을 이용하면 알 수 있습니다. ㄴ 고교과정에서는 2x2 행렬만 다루던가요? 연립방정식의 계수들로 행렬을 만들고 그 행렬식(determinant)을 계산하여야 합니다. 행렬식이 d≠0 이면 유일한 해가 존재하고, d=0 이면 해가 없거나 무수히 많습니다. * 정상적인 경우 (`2y + 8z = 115`)의 계수 행렬: 1 | 1 1 0 | 2 | 1 0 -3.5 | 3 | 0 2 8 | 행렬식 값 = 1(0 - (-7)) - 1(8 - 0) = 7 - 8 = -1 (0이 아니므로 유일한 해 존재) * 문제가 된 경우 (`2y + 7z = 100`)의 계수 행렬: 1 | 1 1 0 | 2 | 1 0 -3.5 | 3 | 0 2 7 | 행렬식 값 = 1(0 - (-7)) - 1(7 - 0) = 7 - 7 = 0 (0이므로 유일한 해가 존재하지 않음) 2025 12.30 좀 더 수학적으로 말씀드리면 (AI Gemini 참고) 수학적 핵심 원리: 선형 독립성(Linear Independence) 3원 1차 연립방정식에서 미지수 x, y, z에 대한 단 하나의 해(a unique solution)가 존재하기 위한 필수 조건은 주어진 세 개의 방정식이 서로 선형 독립(linearly independent) 관계에 있어야 한다는 것입니다. * 선형 독립 (Linearly Independent): 어떤 방정식도 다른 방정식들의 조합(상수배를 더하거나 빼는 등)으로 만들어질 수 없는 상태입니다. 기하학적으로 이는 3개의 평면(각 방정식은 3D 공간의 평면을 나타냄)이 단 한 개의 점(해)에서 만나는 것을 의미합니다. * 선형 종속 (Linearly Dependent): 하나 이상의 방정식이 다른 방정식들의 조합으로 표현될 수 있는 상태입니다. 이 경우, 새로운 정보를 제공하지 못하는 '잉여' 방정식이 존재하는 것입니다. 기하학적으로 이는 3개의 평면이 하나의 선에서 만나거나(무수히 많은 해), 완전히 겹치거나, 혹은 평행하여 만나지 않는(해가 없음) 상태를 의미합니다. 질문자님의 사례는 '선형 종속'이 되어 무수히 많은 해가 발생하는 경우입니다. 2025 12.30 질문하신 연립 방정식은 미지수가 3개이고 모두 1차인 3원 1차 연립방정식입니다. 이상적으로 문제가 없다면 {x,y,z} 에 대한 좌표가 하나 나오게 됩니다. 원하는 답 {52.5, -2.5, 15} 그런데 두개 조건(식)을 그대로 두고 나머지 하나를 변형하다 보니 원하는 답이 나오지 않는 상황이 발생하였다고 질문하신 상황입니다. 3개의 조건식이 주어진 3원 1차 연립방정식은 조건을 변형해서 하나의 변수를 제거할 수 있습니다. 그러면 2개의 조건식으로 주어지는 2원 1차 연립방정식으로 변형할 수 있습니다. (알아보기 더 쉬워서 변형하는 겁니다) 변경하지 않은 조건의 식(con1) 을 이용해 하나의 y & z 1차 방정식을 유도할 수 있는데요. 나머지 방정식이 con1에서 유도된 방정식과 동일해지면 하나의 답이 구해지지 않는 것입니다. 계산기(ti-nspire)는 {x,y,z} 의 답이 하나가 아니고 무수히 많음을 c1 을 이용해서 표현해 준 것입니다. linear_independence_cond12.tns 2025 12.30