- TI nspire
[TI-nspire] 행렬 LU 분해 = LU Decomposition = LU fatorization
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- 2025.04.20 - 15:35 2015.11.02 - 15:55 8651 7
1. LU 분해란?
행렬 A 를 Lower 행렬과 Upper 행렬의 곱으로 분해하는 것을 의미합니다.
A = L×U 를 만족하는 행렬 L과 행렬 U를 찾는 과정이라고 할 수 있습니다.
2. TI-nspire 에서의 LU 명령어
분명 책에서는 A를 그냥 L*U 로 분해하라고 했는데...
nspire 에서는 P*A = L*U 꼴로 지맘대로 변형하여 분해하기 때문에 답안지와 다른 풀이를 보여줄 수도 있습니다.
원하는 L × U = A
nspire 에서 바뀌어버린 1행과 2행
LU Matrix,lMatrix,uMatrix,pMatrix[,Tol]
ㄴ permutation matrix 를 보면 1행과 2행이 바뀐 상황
3. 
팁 : 행이 섞이지 않게 만드는 방법
행렬을 LU 꼴로 분해하기 위해 반드시 P(Permutation)를 곱해서 행의 순서를 바꾸어야만 하는 경우도 있습니다만, 바꾸지 않고도 L*U 분해를 할 수 있음에도 TI 계산기에서 P를 이용해 행의 순서를 바꾸는 경우가 있습니다.
P를 활용한 LU분해도 틀린 답은 아니지만... 우리가 원하는 형태의 답은 아닐 수 있기 때문에 (필수적이지 않은!) Permutation 을 피해서, L*U 분해하는 방법을 찾아보겠습니다.
먼저 "TI의 LU명령에서 행이 바뀌는 원인"을 알아야 합니다. TI-nspire 에서는 LU 명령시에 계수의 절대값을 비교하여 큰 순서로 재배치합니다. (반드시 Permutation 이 일어나야 하는 경우도 결합하여 실행됩니다)
* 1행 기준은 아니고, 2행 기준으로 하기도 하고... 그렇네요.
따라서, 행이 바뀌지 않기를 바란다면 특정 행의 요소 전부에 어떤 값을 곱하여 1열의 계수 절대값을 (원하는 순서대로) 내림차순으로 만들어야 합니다.
위의 예에서는 1행 1열의 계수와 2행 1열의 계수가 각각 2와 4로서 2행*1열의 절대값이 더 큰 상태입니다. 따라서 1행 전체를 3이상의 수를 곱하여 주면 크기순으로 정리가 됩니다. 그 다음에 LU 명령으로 분해하고 ⇒ 분해된 L'과 U'를 다시 적당히 가공하면 우리가 원하는 답이 도출됩니다.
<과정 1>
A행렬의 1행만을 10배로 만드는 행렬을 M 행렬이라고 하면, M × A = L' × U' 꼴로 분해
ㄴ 일단 순서가 바뀌지 않게 하는 것은 성공함.
<과정 2>
<과정1>은 M × A = L' × U' 꼴로 분해되었으니, 
이를 A = L×U 로 재가공
A = (M-1 × L' × M) × (M-1 × U')
L = M-1 × L' × M
U = M-1 × U'
※ A= M-1 × L' × U' 의 간단한 꼴이 아닌 A= (M-1 × L' × M) × (M-1 × U') 와 같은 복잡한 식으로 만든 이유는 L의 대각성분을 1로 만들기 위함입니다.
그런데, 계수의 비교는 1열에서 끝나는 것이 아니고, 1열을 꼴로 만든 후, 2열의 계수를 다시 비교하게 됩니다. 따라서 (2행과 3행의) 2열끼리 계수도 내림차순이 되도록 m배 행렬을 잘 만들 필요가 있습니다.
위의 예제에서는 다행히도 문제가 발생하지는 않았습니다.
이 방법은 중간에 Pivot 이 0 이 되어서 반드시 Permutation 을 하여야 하는 경우까지 해결해 주진 않습니다.
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댓글7
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세상의모든계산기
아래 링크의 행렬을 분해하여 보겠습니다.
http://blog.naver.com/mykepzzang/220147195141
1행, 2행, 3행의 1열 계수가 완전 역순으로 배열되어 있습니다.
1행과 3행을 각각 m1배, m3배 하여줍니다.
분해된 U와 M을 가공하여 원래의 Lower, Upper Matrix를 뽑아냅니다.
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세상의모든계산기
1. 크라우트법
A=L×U 로 분해하는 또 다른 방법은 크라우트법(=Crout Method)이라고 불리는데, 위의 분해와 반대로 U의 대각행렬의 값에 1을 넣고, L의 대각행렬에 1이 아닌 값을 넣는 것입니다.
이 방법은 nspire 내부 기능으로 구현되어 있지 않으므로, 프로그램을 새로 만들어서 실행하거나, nspire의 LU 기능으로 구해진 값을 가공하여 얻어야 합니다.
2. 가공 방법
Nspire에 의한 분해를 A=L×U라고 하고, Crout Method 에 의한 분해를 A=L'×U' 라고 하면
- LU 명령으로 L과 U 를 구하고, U에서 대각행렬 D 를 찾아냄
주의 : A의 대각행렬이 아니고 U의 대각행렬임 - L' = L×D
- U' = D-1×U
ㄴ diag(diag(U)) 함수를 두번 돌린 이유는.... 해보시면 압니다. - LU 명령으로 L과 U 를 구하고, U에서 대각행렬 D 를 찾아냄
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세상의모든계산기
예시
https://kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=11&dirId=111301&docId=484354094&qb=6rOE7IKw6riw&enc=utf8&answerNo=1 -
세상의모든계산기
LU 프로그램 (TI nspire의 LU 기능 사용하지 않음)
LU 분해는 주어진 정방행렬 A를 하삼각행렬 L(Lower triangular matrix)과 상삼각행렬 U(Upper triangular matrix)의 곱으로 분해하는 과정입니다.
즉, A = LU를 만족하는 L과 U를 찾는 것입니다.
알고리즘의 주요 단계는 다음과 같습니다:
1. 초기화:
- n x n 크기의 단위행렬 L을 생성합니다.
- n x n 크기의 0행렬 U를 생성합니다.2. 행렬 분해:
- i = 1부터 n까지 반복:
- j = 1부터 n까지 반복:
- U의 원소(i ≤ j인 경우)와 L의 원소(i > j인 경우)를 계산합니다.3. U 행렬 계산 (i ≤ j):
u[i,j] = a[i,j] - Σ(k=1 to i-1) l[i,k] * u[k,j]4. L 행렬 계산 (i > j):
l[i,j] = (a[i,j] - Σ(k=1 to j-1) l[i,k] * u[k,j]) / u[j,j]이 알고리즘을 코드에 적용하면 다음과 같습니다:
Define LibPub lunp(matrix)= Prgm :Local n,i,j,k,summ : :n:=dim(matrix)[1] :l:=identity(n) :u:=newMat(n,n) : :For i,1,n : For j,1,n : summ:=0 : For k,1,i-1 : summ:=summ+l[i,k]*u[k,j] : EndFor : If i≤j Then : u[i,j]:=matrix[i,j]-summ : Else : l[i,j]:=((matrix[i,j]-summ)/(u[j,j])) : EndIf : EndFor :EndFor : : :Disp "l=",l :Disp "u=",u :EndPrgm
이 과정을 통해:
1. U 행렬의 대각선 및 상삼각 부분이 채워집니다.
2. L 행렬의 하삼각 부분이 채워집니다 (대각선은 이미 1로 초기화되어 있음).각 단계에서 이전에 계산된 L과 U의 원소들을 사용하여 새로운 원소를 계산합니다. 이 과정이 모든 원소에 대해 반복되면, 최종적으로 A = LU를 만족하는 L과 U 행렬이 생성됩니다.
이 알고리즘의 핵심은 가우스 소거법과 유사하지만, 원래 행렬의 원소들을 L과 U에 적절히 분배하는 것입니다.
별도의 라이브러리로 만드는 것보다는
matrix 확장 라이브러리에 추가해 두는게 좋겠네요.
https://allcalc.org/1843
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세상의모든계산기
LU 분해는 조건에 따라 답이 여러 개가 나올 수 있습니다.
🎯 핵심 개념 요약
LU 분해란 어떤 행렬 AA를 두 개의 행렬 L (Lower triangular)과 U (Upper triangular)로 나누는 것인데요, 다음과 같은 형태예요:
A=L*U
하지만 이 분해가 "유일한 해를 갖는가?" 에 대해서는 다음과 같은 조건들이 영향을 줍니다.
💡 LU 분해의 유일성 여부는?
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Pivoting(피벗팅) 없이 LU 분해할 때
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모든 주대각선 원소들이 0이 아니고 (즉, 행 교환 없이도 가능한 경우)
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L의 대각 원소를 모두 1로 제한하면
→ LU 분해는 유일합니다.
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Pivoting을 허용하거나, L에 1이 아닌 대각선 값을 허용하면
→ LU 분해는 여러 개가 가능합니다.
즉, 어떤 조건을 주느냐에 따라 하나로 정해지거나, 여러 개가 될 수 있어요.
예를 들어
아래와 같은 A에 대해:
\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ \end{bmatrix}
이걸 LU로 분해할 때:
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Pivot 없이 L의 대각을 1로 고정하면, LU는 유일함.
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다른 방식으로 분해하거나, Partial Pivoting을 사용하면 P, L, U의 조합은 여러 가지가 나올 수 있어요.
결론
LU 분해는 조건을 명확히 지정하지 않으면, 일반적으로 유일하지 않을 수 있습니다.
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세상의모든계산기
피벗 없이, L의 대각선을 모두 1로 고정한 LU 분해 예제를 같이 해볼게요.
🎯 예제 행렬
$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ \end{bmatrix} $$
이걸 다음과 같이 분해할 거예요:
A=LU
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L: 단위 하삼각행렬 (대각선이 1)
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U: 상삼각행렬
🧩 Step 1: 초기 형태 설정
$$ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \\ \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \\ \end{bmatrix} $$
🧮 Step 2: 곱셈해서 좌변과 우변 비교
$$ LU = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \\ \end{bmatrix} $$
이걸 원래 A와 비교:
$$ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ \end{bmatrix} $$
항목별 비교해봅시다.
🔍 Step 3: 항목별 대입
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첫 행:
$$ u_{11} = 2,\quad u_{12} = 4,\quad u_{13} = 6 $$ -
두 번째 행:
$$ l_{21} \cdot 2 = 1 \Rightarrow l_{21} = \frac{1}{2} $$
$$ l_{21} \cdot 4 + u_{22} = 3 \Rightarrow 2 + u_{22} = 3 \Rightarrow u_{22} = 1 $$
$$ l_{21} \cdot 6 + u_{23} = 5 \Rightarrow 3 + u_{23} = 5 \Rightarrow u_{23} = 2 $$ -
세 번째 행:
$$ l_{31} \cdot 2 = 0 \Rightarrow l_{31} = 0 $$
$$ l_{31} \cdot 4 + l_{32} \cdot 1 = 2 \Rightarrow 0 + l_{32} = 2 \Rightarrow l_{32} = 2 $$
$$ l_{31} \cdot 6 + l_{32} \cdot 2 + u_{33} = 4 \Rightarrow 4 + u_{33} = 4 \Rightarrow u_{33} = 0 $$
✅ 결과
$$ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix},\quad U = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$
⚠️ 참고사항
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UU의 마지막 대각 원소가 0 → 이건 A가 가역행렬이 아님을 의미해요 (즉, det(A) = 0).
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그래도 LU 분해는 가능함! 단, 유일성은 위와 같이 조건을 명확히 해야 해요.
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세상의모든계산기
LU 기능 이용 :
ㄴ 퍼뮤테이션 있음.
퍼뮤테이션 없애려면 계수행렬(m) 곱해야 함.
프로그램(라이브러리) 이용
ㄴ 라이브러리 : https://allcalc.org/1843
nspire 에서 기본 기능(함수)인 LU 만을 이용하는 경우,
하삼각행렬의 대각행렬이 1이 아닌 L*U 로 분해할 방법은 없는 듯 합니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
- claude AI는 l-c*r^2 을 1-c*r^2 으로 잘못 읽고 표시하고 있습니다. - TI-nspire CAS 계산기에 l-c*r^2 ≥0 을 조건에 추가해 계산해 보아도 결과는 바뀌지 않습니다. 2026 07.20 ⚠️ 경고가 바로 두 번째 방법이 "성공"한 이유와 정확히 연결되어 있습니다. 경고의 의미 "Domain of the result might be larger than the domain of the input"는 CAS가 절댓값(모듈러스)을 계산하는 과정에서 원래 식보다 정의역이 더 넓은 형태로 단순화했다는 뜻입니다. 구체적으로 이 계산은 내부적으로 대략 이런 과정을 거칩니다. $$\left|\frac{er}{e\cdot r}\right| = \sqrt{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)\cdot\overline{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)}}$$ 즉 원래 식(복소수)과 그 켤레복소수를 곱해서 실수부·허수부 제곱합을 만들고, 거기에 다시 제곱근을 씌우는 과정입니다. 이 과정에서 √(x²) → x 또는 √a·√b → √(ab) 같은 규칙들이 쓰이는데, 이런 규칙들은 x가 실수이고 0 이상일 때만 엄밀하게 성립합니다. CAS는 이 조건들을 일일이 다 추적하지 않고 넘어가면서, 원래는 (e≠0, r+l·ω·i ≠ 0 등) 복소수 특유의 좁은 정의역을 가진 식을, r, l, ω가 어떤 실수여도(부호 무관하게) 정의되는 1/√(r²+l²·ω²)라는 더 넓은 정의역의 식으로 바꿔버린 것입니다. CAS는 이 손실을 감지하고 경고를 띄운 것입니다. 이게 왜 조건 대입 성공과 연결되는가 정리하면, 이 경고는 사실상 이런 뜻입니다. "나는 이 결과를 만들면서 원래 식이 가지고 있던 정의역 제약 정보(부호 조건, i 관련 조건 등)를 이미 버렸다." 바로 이 "정의역 정보를 버린" 상태가 이후 con_1 대입을 매끄럽게 만드는 원인입니다. 첫 번째 시도에서는 i가 살아있는 원래 식에 조건을 대입했기 때문에, CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(정의역 조건: 1-c·r² ≥ 0) 계속 추적하려고 했고, 그 정보가 con에 없어서 더 이상 정리를 못 하고 멈췄습니다. 두 번째 시도에서는 절댓값 계산 단계에서 이미 그런 세밀한 정의역 추적을 CAS 스스로 포기(단순화)했기 때문에, 이후 ω에 무리식을 대입해도 "이게 실수가 맞나?" 하는 검증 절차 없이 그냥 대수적으로 치환·정리해 버립니다. 그래서 깔끔하게 √c/√l이 나온 겁니다. 한 줄 요약 절댓값 계산 시 뜬 "정의역이 넓어졌을 수 있다"는 경고는, CAS가 그 순간에 원래 식의 엄밀한 조건(정의역)을 놓쳤다는 신호이고, 바로 그 "조건을 놓친 상태"이기 때문에 뒤에 이어지는 조건식 대입이 막힘없이 진행된 것입니다. 다만 그 대가로, 결과인 1/√(r²+l²·ω²)이나 최종 √c/√l이 원래 회로 조건(i≠0이 되는 경계, 분모가 0이 되는 경우 등)에서는 엄밀히 성립하지 않을 수 있다는 점은 감안하셔야 합니다. 실제 물리적으로는 r, l, c > 0이고 결과도 물리적으로 타당한 형태라 문제없어 보이지만, 수학적 엄밀성 측면에서는 "정의역이 넓어진 근사적 결과"라는 꼬리표가 붙어있는 셈입니다. 2026 07.20 Claude AI 답변 TI-Nspire CAS의 | (such that / 조건대입) 연산자는 대입 시점의 수식 형태를 그대로 두고 기호만 치환하는 연산입니다. 대입 후에 처음부터 다시 "실수부/허수부 분리, 유리화" 같은 재간소화를 자동으로 수행하지 않습니다. 이 차이가 지금 보신 결과 차이의 핵심입니다. 첫 번째 경우 (|er/(e·r)| | con_1 and con → 실패) 이 시점의 식은 아직 r + l·ω·i 형태의 복소수 그대로입니다 (i가 살아있음). 여기에 con_1: ω = √(1-c·r²)/(√c·l)을 대입하면, 분모 안에 i · √(1-c·r²) 라는 항이 새로 생깁니다. 문제는 CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(즉 1-c·r² ≥ 0인지) 판단할 근거가 없다는 겁니다. 저장해 두신 con 조건은 c>0, l>0, r>0뿐이고, 1-c·r²≥0이라는 조건은 포함되어 있지 않습니다. 그래서 CAS는 i와 이 무리식을 더 정리(유리화, 실수부·허수부 재결합)하지 못하고 있는 그대로 남겨둡니다. 결과에 여전히 i가 보이는 이유입니다. 두 번째 경우 (결과값 1/√(r²+l²·ω²)에 대입 → 성공) |er/(e·r)| (절댓값/모듈러스) 연산은 그 자체로 이미 "복소수 → 실수" 변환을 완료한 결과입니다. 즉 1/√(r²+l²·ω²)에는 더 이상 i가 없고, 순수하게 r, l, ω로만 이루어진 실수식입니다. 이 식에 ω = con_1을 대입하는 것은 그냥 실수 대수식에 실수 대입하는 것이므로, i와 무리식이 뒤엉키는 문제 자체가 발생하지 않습니다. 그래서 바로 깔끔하게 √c/√l로 정리됩니다. 정리하면 절댓값(모듈러스) 계산은 "이 값들이 실수다"라는 가정을 이미 내부적으로 써서 i를 제거하는 연산입니다. 그 연산을 조건 대입 이전에 해두면, 이후 대입은 단순 실수 대입이라 문제없이 정리됩니다. 반대로 i가 남아있는 식에 무리식을 포함한 조건을 먼저 대입하면, 그 무리식의 실수성/부호에 대한 가정이 없어서 CAS가 i를 소거하는 재간소화를 못 하고 멈춰버립니다. 실용적 팁: 복소식에 조건을 대입해야 할 때는 가능하면 절댓값·실수화(유리화) 등을 먼저 끝내서 i를 없앤 뒤 조건을 대입하거나, 대입 후 결과에 다시 simplify/expand/combine 같은 명령을 한 번 더 걸어주면 (필요한 도메인 조건과 함께) 정리가 되는 경우가 많습니다. 2026 07.19 저도 어림잡아 추측할 뿐이지 정확한 이유를 알지는 못합니다. 질문하신 사진을 그대로 (Gemini 3.5 Flash / ChatGPT / Claude Sonnet 5) AI에 넣어 보니 claude AI 가 제일 합리적인 답변을 주어서 이를 붙여 넣습니다. 2026 07.19 아 그렇네요. 감사합니다. ^^ 2026 04.28