[일반 계산기] 세제곱근 구하기. 방법 #2, 로그 성질(근사)의 활용
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- 2026.02.04 - 16:38 2024.10.13 - 21:10 5033 7
ㄴ $ \sqrt[3]{a} $ 를 구하는 방법. 로그의 근사 활용
이 방법의 계산 순서
1. 초기 근사값 설정:
루트키 【√】를 이용해 $ a^{\frac{1}{4096}} $ 을 계산합니다. 이 값은 1에 매우 가깝습니다.
2. 델타(Δ) 정의:
$ Δ = \frac{a^{\frac{1}{4096}} - 1}{3} $ 를 구합니다.
앞선 결과에서 1을 빼고, 그걸 3으로 나누면 되겠죠.
이 Δ는 0에 가까운 매우 작은 값입니다.
3. 반복 제곱:
(1 + Δ)^4096 를 계산하면 $ a^{\frac{1}{3}} $ 에 매우 가까운 값이 됩니다.
(1 + Δ)^4096 를 4095회의 곱하기로 계산하는 것은 매우 비 효율적이기 때문에
((((((((((((1 + Δ)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2 로 결과를 반복해 제곱 계산하여 횟수를 줄여야 합니다.
일반 계산기에서는 【×】【=】 를 반복하여, 결과값을 계속 제곱할 수 있습니다. // K타입&non-K타입 무관함.
이 방법이 작동하는 수학적인 이유 (증명)
1. 로그의 성질 활용:
앞선 델타(Δ)의 정의에 의해
$$ \begin{gather} x = a^{\frac{1}{4096}} = 1 + 3Δ \text{ 라고 할 때,} \\ ln(x) = ln(a^{\frac{1}{4096}}) = \frac{1}{4096} * ln(a) \end{gather} $$
2. 작은 값에 대한 로그 근사:
매우 작은 값 Δ에 대해, 로그 근사가 성립 (댓글 참고)
$$ ln(x) = ln(1 + 3Δ) ≈ 3Δ $$
따라서,
$$ \frac{1}{4096} * ln(a) ≈ 3Δ $$
3. Δ 의 근사값 표현:
$$ Δ ≈ \frac{1}{4096×3} ×ln(a) $$
4. (1 + Δ) ^ 4096 의 의미:
$$ (1 + Δ)^{4096} ≈ e^{4096Δ} \text{ (지수함수의 성질 이용, 댓글 참고)} $$
$$ ≈ e^{\frac{1}{3} * ln(a)} \text{ (Δ 의 근사값 대입)} $$
$$ = (e^{ln(a)})^{\frac{1}{3}} $$
$$ = a^{\frac{1}{3}} $$
이 과정을 통해 (1 + Δ)^4096이 a^(1/3)에 매우 가깝게 근사(approximate)하는 것을 알 수 있습니다.
쌀집 계산기를 이용한 버튼 입력 순서 예시 : $ \sqrt[3]{125} = 5 $
【125】【√】 (√125 = 11.180339887499)
【√】 (√11.180339887499 = 3.3437015248821)
【√】 (√3.3437015248821 = 1.8285790999796)
【√】 (√1.8285790999796 = 1.3522496441041)
【√】 (√1.3522496441041 = 1.1628626935731)
【√】 (√1.1628626935731 = 1.0783611146425)
【√】 (√1.0783611146425 = 1.0384416760909)
【√】 (√1.0384416760909 = 1.0190395851442)
【√】 (√1.0190395851442 = 1.0094749056535)
【√】 (√1.0094749056535 = 1.0047262839468)
【√】 (√1.0047262839468 = 1.0023603563324)
【√】 (√1.0023603563324 = 1.0011794825766)
【－】【1】【÷】【3】【＋】【1】【=】 1.0011794825766 - 1 → 0.0011794825766 ÷ 3 → 0.00039316085886667 + 1 = 1.0003931608589
【×】【=】 1.0003931608589 × = 1.0007864762933
【×】【=】 1.0007864762933 × = 1.0015735711316
【×】【=】 1.0015735711316 × = 1.0031496183893
【×】【=】 1.0031496183893 × = 1.0063091568746
【×】【=】 1.0063091568746 × = 1.0126581192097
【×】【=】 1.0126581192097 × = 1.0254764664013
【×】【=】 1.0254764664013 × = 1.0516019831429
【×】【=】 1.0516019831429 × = 1.1058667309501
【×】【=】 1.1058667309501 × = 1.2229412266223
【×】【=】 1.2229412266223 × = 1.4955852437725
【×】【=】 1.4955852437725 × = 2.2367752213900
【×】【=】 2.2367752213900 × = 5.0031633910243
총 버튼 입력 횟수 : 3 + 12 + 7 + 2*12 = 46 회
응용 및 주의사항
처음에 4096 제곱근을 구하고 마지막에 4096 제곱을 하였는데, 꼭 4096 만 되는 것은 아니고 앞 뒤 짝이 맞으면 됩니다.
만약, 2048 제곱근을 구하고 2048 제곱을 하면 버튼 입력횟수 ↓ 오차 ↑
만약, 8192 제곱근을 구하고 8192 제곱을 하면 버튼 입력횟수 ↑ 오차 ↓
계산기에 따라서
루트를 많이 누르면 1에 가까운 소숫점 형태가 아니라, 소숫점이 잘린 1로 나올 수도 있습니다.
이 경우 꽝이 되어버리므로, 1이 나오기 직전 회차까지 반복해야 유효한 계산이 가능합니다.
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댓글7
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세상의모든계산기
로그 근사 및, $ (1 + Δ)^{4096} \approx e^{4096Δ} $ 근사가 성립하는 이유
지수함수와 로그함수의 중요한 성질에 기반합니다.
1. 지수함수의 정의:
\( e^x \)는 자연상수 \( e \) (약 2.71828...)를 밑으로 하는 지수함수입니다.2. 로그함수의 테일러 전개
로그 함수 \( \ln(1 + d) \)의 테일러 급수를 \( d = 0 \) 주변에서 전개하면 다음과 같습니다:\[
\ln(1 + d) = d - \frac{d^2}{2} + \frac{d^3}{3} - \frac{d^4}{4} + \cdots
\]따라서, 이 급수의 첫 번째 항은 \( d \), 두 번째 항은 \( -\frac{d^2}{2} \), 세 번째 항은 \( \frac{d^3}{3} \) 입니다.
3. (1 + Δ)에 대한 근사:
\( Δ \)가 매우 작아 0에 가까울 때, 테일러 급수의 두번째항부터는 기하급수적으로 0에 수렴합니다.
\[
\ln(1 + Δ) = Δ \cancel{- \frac{Δ^2}{2}} \cancel{+ \frac{Δ^3}{3}} \cancel{- \frac{Δ^4}{4}} + \cancel{\cdots}
\]오차를 조금 허용하여 \( \ln(1 + Δ) \approx Δ \) 이 성립하게 됩니다.
4. 지수함수와 로그함수의 관계:
\( e^{\ln(x)} = x \)입니다. 이는 지수함수와 로그함수가 서로의 역함수라는 성질 때문입니다.5. 이를 이용한 (1 + Δ)의 표현:
\( 1 + Δ \approx e^{Δ} \)입니다. (왜냐하면 \( e^{\ln(1+Δ)} = 1 + Δ \)이고, \( \ln(1+Δ) \approx Δ \)이므로)6. 지수법칙 적용:
\[
(1 + Δ)^{4096} \approx (e^{Δ})^{4096} = e^{4096\cdotΔ}
\]따라서, \( (1 + Δ)^{4096} \approx e^{4096\cdotΔ} \)라는 근사가 성립하게 됩니다.
이 근사는 \( Δ \)가 매우 작을 때 더 정확해집니다. 우리의 경우 \( Δ = \frac{a^{1/4096} - 1}{3} \)로 정의되었으므로, \( a \)가 크지 않은 양수일 때 \( Δ \)는 매우 작은 값이 되어 이 근사가 잘 작동하게 됩니다.
이 근사를 통해 우리는 거듭제곱 계산을 지수함수로 변환할 수 있게 되어, 이후 계산과 증명이 더 쉬워집니다.
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세상의모든계산기
정수제곱근법 & 뉴튼-랩슨법을 이용한 반복계산법과 차이는?
https://allcalc.org/2629
반복계산법은
- 반복할수록 오차가 없는 참값에 수렴해 갑니다. (마지막 1~2 자릿수 정도의 오차는 남을 수 있습니다)
- 완전숙달되지 않는 이상, 입력하기 어려워 실수가 나오기 쉽습니다.
- n제곱근의 n값에 따라 쉽게 되기도 하고, 어려워지기도 함.
반면, 본문의 방법은
- 오차를 어느 정도 감수할지를 결정(?)하고, 하나의 값만 구합니다.
- 원리를 정확히 이해하면, 계산기 입력은 쉬운 편입니다. (실수를 줄일 수 있습니다)
- n제곱근의 n값에 관계 없이 동일한 구조로 계산이 됩니다. 외우기 쉽습니다.
반복횟수(iter)를 적당히 늘리면 이 방법도 오차가 조금 줄어들 수는 있습니다.
하지만 iter를 무한정 늘린다고 참값에 수렴하는 것이 아니고, 어느 순간부터는 오히려 오차가 커지고 불안정해집니다.
계산기 내부 유효 자릿수 한계 때문에 발생하는 문제입니다.
ㄴ 루트를 많이 씌우다보면 1.0000000000000~~~ 이 되는데 뒤에 ~~~ 부분이 날라가 없어지고 정수 1 만 남음.
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세상의모든계산기
A) 1*3*5*7*9 = 계산
945
B) √ 12번 누름
ㄴ 12회 해도 되고, 14회 해도 되는데, 횟수 기억해야 함.
ㄴ 횟수가 너무 적으면 오차가 커짐
ㄴ 결과가 1에 매우 가까운 숫자라면 된 겁니다.
1.0016740522338
C) - 1 ÷ 5 + 1 =
1.0003348104468
D) × = 을 (n세트) 반복해 입력
ㄴ 여기서 n세트는, B에서 '루트버튼 누른 횟수'
3.9398949655688
빨간 부분 숫자에 오차 있음. (소숫점 둘째 자리 정도까지만 반올림 해서 답안 작성)
참 값 =
3.9362834270354...
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
2) 고정기준값 41에 대한 오차 제곱합 계산방법 이건 통계메뉴에서는 딱히 방법이 떠오르지 않네요. 질문하신 것과 같이 적은 갯수의 data라면 직접 입력하시는게 최선입니다. 하지만 DATA 갯수가 수십개 이상이라면? ㄴ 스프레드시트 기능을 이용하시는게 좋겠습니다. 【MENU】【8】 A열에 DATA 입력하고 B로 이동한 후 OPTN 【1】 Fill Formula 【ALPHA】키 방향키 숫자키 등을 이용해 수식 완성 C로 이동후 Formula 수식 입력 D의 빈공간으로 이동 후 OPTN 방향키 아래 누르다보면 Sum 보임 ALPHA 키 이용해서 수식 완성. : 기호는 MENU 버튼 바로 아래 있음 (ALPHA키로 입력) 【=】입력하면 최종결과 확인 * 주의 (B열, C열과 달리) D1 셀은 계산 결과인 951이 직접 입력된 상태이므로 DATA 수정후 recalculation 하여도 자동계산되지 않음. 자동계산을 위해서는 formula 형식으로 입력해야 함. 2026 10.27 1) 통계적 편차제곱합(평균 50.25기준) 입력 방법 【MENU】 【6】 【1】 로 1-var Stat 모드로 진입하여 【48】 【=】 【66】 【=】 【32】 【=】 【55】【=】 DATA 입력 【OPTN】 【3】 【▼】 【▼】 fx-570EX 기종에도 편차제곱합을 바로 보여주진 않습니다. 본문에 나온 것처럼 앞서 계산되어 저장된 각종 변수를 이용해 계산합니다. 【AC】【OPTN】【4】Statistics Calc 이 화면에서 다시 OPTN 하고 (메뉴가 3개로 줄어 있죠?) 여기서 방향키로 【▼】 아래를 내려보면 추가 메뉴가 있습니다. 4개 메뉴에는 각각 아래 하위 메뉴가 있습니다. 이 중에서 필요로 하는 것을 골라 계산하시면 되겠습니다. Variable 에 있는 값을 이용하면 다른 공식을 쓰셔도 됩니다. 2026 10.27 질문자님, 48,66,32,55 네 개 DATA 의 평균은 50.25라서 41은 평균이 아닙니다. 그래서 식을 두 가지 경우로 나누어 설명하겠습니다. 1) 통계적 편차제곱합(평균 50.25기준)이면 답은 608.75 입니다. 2) 만약 41이라는 고정 기준값에 대한 제곱합을 구하시는 거면 식은 (48-41)²+... 이고 답은 951입니다. 원문에 +로 쓰신 건 -의 오타로 보입니다. 2026 10.27 본문의 변환 위젯에 사용된 전서체 폰트는 대만의 최고 학술 연구 기관인 중앙연구원(Academia Sinica)에서 제공하는 ‘숭희전체(崇羲篆體)’로 전통 한자 서체인 소전(小篆)을 현대 컴퓨터 폰트(글꼴)로 구축한 오픈소스 프로젝트로 개발되었습니다. https://xiaoxue.iis.sinica.edu.tw/chongxi/download.htm 2026 10.20 예제1) 예제2) 예제3) 추가옵션 2026 10.18