공학용 계산기로 기하평균 구하기 -> 오류 가능성(?)

1. 기하 평균이란? 

 

https://allcalc.org/8954

 

 

2. 기하 평균 공식

 

$$GM = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} $$

$$GM = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{1/n} $$

 

둘 다 같은 식이고, 다르게 표현한 것 뿐입니다. 

공학용 계산기를 이용하면 간단하게 구할 수 있습니다. 

 

예를 들어

4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9 (샘플 11개) 의 기하 평균을 fx-570 ES로 구해보면 

 

 

이렇게 답이 잘 나옵니다. 

 

 

3. 오류 가능성 

 

산술평균과 다르게 기하평균을 계산기로 계산할 때는 오류 가능성이 존재합니다. 

일반 시험문제에서는 오류 가능성이 없다고 봐도 되는 수준이니 걱정하실 필요는 없습니다. 

 

ⓐ 샘플의 갯수가 매우 많으면서 ⓑ 샘플의 값이 매우 클거나 매우 작을 경우에 

샘플들의 곱하기 결과가 눈덩이처럼 커지면서(반대로 눈송이 사라지듯 사라지면서) 

중간 계산 결과값(=루트 안의 계산 결과값)이 계산기의 한계를 벗어나는 일이 발생할 수 있습니다. 

 

이 때는 공학용 계산기 뿐 아니라 컴퓨터 프로그램 안에서도 오류가 발생할 수 잇습니다. 
오류 결과로 최종 결과값이 구해지지 않거나, 구해진 결과값이 참값과 다른 오류가 발생하게 됩니다. 

 

또 매우 큰 수와 매우 작은 수가 혼재한 경우에도 부동소수점 연산 도중 정밀도 손실이 발생할 수도 있습니다. 

 

이런 문제를 해결하기 위해 공식을 그대로 이용하지 않고, 샘플을 로그로 변환하여 계산하는 방법이 있습니다. 

 

  기하 평균의 로그 변환 계산법

 

  핵심 원리는 "기하 평균의 로그값은 각 측정값의 로그값의 산술 평균과 같다"는 것입니다.

  계산 단계:

   1. 각 측정값에 로그(log)를 취합니다.
       * log(x₁), log(x₂), ..., log(xₙ)
       * 어떤 밑을 가진 로그(자연로그 ln, 상용로그 log10 등)를 사용해도 상관없지만, 일관성 있게 하나만 사용해야 합니다.

   2. 로그 값들의 산술 평균을 구합니다.
       * 평균 = (log(x₁) + log(x₂) + ... + log(xₙ)) / n

   3. 계산된 평균값에 역로그(antilog)를 취하여 원래 값으로 되돌립니다.
       * 1단계에서 자연로그(ln)를 사용했다면, 2단계 결과에 지수 함수(exp 또는 e^x)를 적용합니다.
       * 1단계에서 상용로그(log10)를 사용했다면, 2단계 결과를 10의 거듭제곱으로 계산합니다 (10^x).

 

  수식으로 표현:

  $$기하 평균(GM) = \exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln(x_i)\right)$$

 

2의 예시를 공학용 계산기로 계산한다면 

먼저 각 샘플의 로그값을 더하고, 그걸 11로 나눕니다. 

 

그리고 10을 밑으로 & (앞) 결과값을 지수로 입력하면 최종 결과가 나옵니다.