[TI-nspire] 경고 문구 설명 Warning : Domain of the result might be larger than the domain of the input.

1. TI-nspire의 경고 문구는? 

 

TI-nspire 에서 계산을 하다보면 

수식 앞에 삼각형(느낌표)표시  가 뜨면서 결과가 표시될 때가 종종 있습니다. 

터치패드를 이용해 손가락(커서)을 띄우고 느낌표에 가져다 대면 상세 경고 문구를 확인할 수 있습니다. 

 

https://education.ti.com/html/webhelp/eg_tinspire/en/Subsystems/EG_RefGuide/Content/M_RefGuide/RG_Warning_Codes_and_Messages.HTML

경고 코드는 위 링크에서 찾아볼 수 있는 것처럼 다양하지만, 우리가 계산기를 사용하면서 주로 보게되는 것은 몇가지 뿐입니다. 

※ 경고문구가 이렇게 다양한 이유는 근본적으로는 CAS기능이 있기 때문이라고 볼 수 있습니다. 
 

이 글에서는 가장 흔하게 나타나는 경고 문구 중 하나인

"Domain of the result might be larger than the domain of the input."에 대해 살펴 보겠습니다.     

 

 

2. domain 이란?

 

"Domain"은 수학에서 함수가 정의되는 입력 값의 범위를 의미합니다. 

수학시간에 들었던 용어로 바꾸면 "정의역" 이 됩니다. 

ㄴ Domain의 사전적 정의 : an area of interest or an area over which a person has control. 일본말로는 "나와바리"?

 

도메인은 해 자체를 의미하는 것은 아니고, 특정 함수나 식에서 해가 될 수 있는 입력 값의 가능 범위를 뜻합니다. 

 

예를 들어 분수함수 \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) 에서 분모는 0이 될 수 없기 때문에, 함수의 도메인은 \( x \neq 0 \)인 모든 실수입니다. 

 

 

 

3. 에러의 예시

 

1) 분모 ≠ 0 

아주 간단한 예를 들어 보겠습니다. $ \dfrac{x}{x} = 1 $

좌측(Input) 은 x≠0 일 때만 정의되고, 결과값은 항상 1입니다. 

우측(output) 은 x와 관계 없이 항상 1 입니다. 

 

우측은 x≠0 조건이 없어지면서 도메인이 실수 전체(R) 로 확장되었기 때문에, 경고를 하는 것입니다. 

 

Result domain 이 Input domain 보다 더 클 수 있다

= 결과값은 제약(조건)이 부족할 수 있다. 

= 결과값을 그대로 이용하지 말고, 조건에 항상 신경을 써야 한다. 

 

이렇게 이해하시면 될 듯 합니다. 

 

다른 예 ) $ \frac{a}{b} \left\lvert\, a=\frac{c}{d}\right. \text { and } b=\frac{e}{f} $

 

 

Domain of Input (입력 정의역)

1. \(\dfrac{a}{b}\)의 정의역:
   - \( b \neq 0 \) 이어야 합니다. \( b \)가 분모로 사용되기 때문입니다.

2. \(\dfrac{c}{d}\)의 정의역:
   - \( d \neq 0 \) 이어야 합니다.

3. \( b = \dfrac{e}{f}\)의 정의역:
   - \( f \neq 0 \) 이어야 합니다. \( f \)가 분모로 사용되기 때문입니다.

따라서, 주어진 입력 식에서 정의역은 다음과 같습니다:

\[
d \neq 0 \quad \text{and} \quad f \neq 0 \quad \text{and} \quad e \neq 0
\]

 

Domain of Result (결과 정의역)

계산기에서 제공한 결과는 \(\dfrac{c \cdot f}{d \cdot e}\)로, 정의역은 다음과 같습니다:

\[
d \cdot e \neq 0 \quad
\]

이는 다음과 같이 조건을 세분화할 수 있습니다:

1. \( d \neq 0 \): 분모에 \( d \)가 있으므로 필요합니다.
2. \( e \neq 0 \): 분모에 \( e \)가 있으므로 필요합니다.
 

 

Input 정의역과 Result 정의역 비교

Input 정의역: \( d \neq 0 \), \( f \neq 0 \), \( e \neq 0 \)  
Result 정의역: \( d \neq 0 \), \( e \neq 0 \) (조건 \( f \neq 0 \) 이 사라지면서 범위가 확장)

 

변수 간의 종속성을 유지한다면 \( f \neq 0 \) 역시도 domain 조건에 포함되어야 하겠으나, 

계산기 결과식에는 그러한 종속성 조건이 따라붙지 않기 때문에, 

사용자가 주의하지 않고 결과식만을 가져다가 이용한다면 f=0 라는 불가능한 조건을 사용하면서 최종 결과에 문제를 발생시킬 수 있습니다. 

 

 

2) 함수가 가진 본래의 정의역이 있는 경우 

 

https://allcalc.org/32601

$ \sin \left( \sin ^{-1}\left( \theta \right) \right) =\theta $

서로 역함수 관계인 두 함수를 연속으로 사용하면, 서로 상쇄되기 때문에 처음의 인수인 θ 가 그대로 튀어나오는게 맞죠. 

하지만 입력쪽의 arcsin 함수는 정의역 구간이 따로 정의되어 있습니다. $ -\dfrac{\pi }{2}\leqq x\leqq \dfrac{\pi }{2} $ 

출력쪽의 θ에는 그러한 정의역 구간이 사라지면서 실수(R) 전체로 확장되었기 때문에 경고를 주는 것입니다. 

 

 

3) 루트가 포함된 결과에서

 

 

두번째 solve( ) 결과로 찾아진 수식에서 경고가 뜬 것은

|n|>1 일 때 m이 복소수가 되기 때문입니다. 즉 결과값의 Domain 이 복소수 도메인 (\(\mathbb{C}\)) 로 확장되었음을 알 수 있습니다. 

이것이 원래 의도한 것일 수도 있지만, 의도하지 않은 것일 수도 있기 때문에 경고를 주는 것입니다. 

 

 

4) 복소수 변수 지정 vs 미지정

 

 

여기서 확인할 수 있는 것

- "수식에 해가 존재하는가? 존재하지 않는가?" 에 관계 없이, 변수를 복소수로 지정(x_)하지 않으면 경고가 발생 

- 분모≠0 인 조건 때문에 경고가 발생했다고 보긴 어렵습니다. Input / Output 모두 그 조건에 의해 제약되는 범위는 x≠0 로 같기 때문입니다. 

 

그럼 왜 경고가 나온 걸까요?

Input 쪽의 x는 실수 도메인 (\(\mathbb{R}\)) 으로 인식되었고, Output 쪽의 x는 (비록 같은 모양이지만) 복소수 도메인 (\(\mathbb{C}\)) 으로 확장되어 인식되었기 때문입니다. 

앞에서 살펴본대로 사용자가 모르고 사용하는 것을 경고하는 것이구요. 

x_ 를 지정함으로서 "도메인이 복소수인거 알고있어!" 라고 하면 경고를 하지 않는 것이죠.