- TI nspire
[TI-nspire] 그래프 - 미분 방정식 Diff Eq
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- 2024.07.18 - 14:53 2019.02.06 - 12:35 3954 4
1. 그래프 모드 - 미분 방정식 Diff Eq
- 미분 방정식 그래프 모드에서는 (대수적으로 시스템을 특징짓는) 미분 방정식을 풀지 않고도, 역동적인 과정(변화)를 탐색할 수 있습니다.
- 새로운(OS Ver 3.0에서 업데이트됨) 2D 그래프 유형인 미분 방정식은 미분 방정식의 해를 근사화하는 슬로프(Slope) 필드와 방향(Direction) 필드의 플롯을 제공합니다. 사용자는 Euler와 Runge-Kutta 해법 중에서 선택할 수 있습니다.
- (여러) 초기 조건에 따라 특정 솔루션을 시각화 할 수 있습니다. 초기 조건은 좌표 평면에서 드래그 할 수 있으며 특정 솔루션이 자동으로 업데이트됩니다.
- 그래프 유형 미분 방정식은 동일한 좌표계에서 다른 2D 그래프 유형과 결합 될 수 있습니다.
(TI-nspire OS Ver3 Release Note 에서 발췌)
2. 옵션
- Solution Method(수치해석 방법) :
Euler / Runge-Kutta 중 선택
- Iterations between plot step(Euler 방법에서 계산의 정확도 결정) : 1 ~ 정수값
Error Tolerance(RK방법에서 오차 허용) : 허용 범위 ≥ 1x10^-14
- Field(장) :
None - 표시하지 않음
Slope - 경사
Direction - 두 미분 방정식 사이의 관계를 나타내는 기울기 방향
- Axes :
Default(x and y)
Custom - 2개이상 미분 방정식일 때 사용
The available entries are :- x 독립변수
- y1 and y2 (or any other identifiers defined in the editor)
- y1’ and y2’ (or any other derivatives defined in the editor)
- Plot Start :
솔루션 플롯이 시작되는 독립 변수값을 결정 - Plot End :
솔루션 플롯이 끝나는 독립 변수값을 결정 - Plot Step :
값이 표시될 독립변수 값의 증가량을 결정
- Field Resolution :
Field 표시할 열의 갯수 결정
- Direction Field at x= :
방향 필드가 그려지는 독립변수의 값을 설정
3. 예시 y'=2x, y(0)=1
1. y'=2x, y(0)=1 인 미분 방정식을 이용해 그래프를 그려 보겠습니다.
x는 그냥 x로,
y는 y1 또는 y2로 입력합니다. (좌변, 우변 모두에서)
2. 미분 방정식을 풀면 y=x^2 + 1 이 됩니다.
이 그래프를 겹쳐 확인해 보면 얼추 같아 보입니다.
3. 하지만 확대해 보면... 원래 그래프와는 오차가 있습니다.
f1(0.5) = 0.5^2+1 = 1.25
4. 이를 해결하기 위해 Diff Eq 엔트리 옵션에서 Iterations Between Plot Step 을 기본값인 1에서 10으로 올려 보았습니다.
오차가 줄어들었습니다. 그래도 점 찍힌 모양새가 원 그래프와 일치하지는 않는 것 같습니다.
Iteration 횟수를 늘리는 대신 Plot Step 을 줄여도 오차는 줄어듭니다.
5. Plot Step 을 줄이면 점 찍히는 간격이 줄어 촘촘해지는 것은 확실한데,
Plot Start / End 는 정확히 어떤 역할을 하는지 잘 모르겠습니다.
6. 초기 조건이 여럿인 경우 그래프도 여럿이 출력됩니다.
4. 주의
초기 조건값의 선택에 따라 plot 그려지는게 달라질 수 있습니다. 초기 조건값을 만족하는 그래프plot이 딱 하나일 수도 있지만, 여러개일 가능성도 있기 때문입니다.
초기 조건값을 여러개 넣는 경우, (desolve 함수와 달리) 모든 조건값을 동시에 만족하는 그래프를 찾는 것이 아니고, 각각의 조건값을 만족하는 모든 그래프를 모조리 찾기 때문에, 조건값은 가급적 하나만 넣는 것이 바람직한 것 같습니다.
그리고 slope(기울기)가 0 또는 ∞ 이 되는 점을 초기값으로 주는 것은 바람직하지 않은 것 같기도 한데, 이것 역시 케이스바이케이스입니다.
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세상의모든계산기 님의 최근 댓글
- claude AI는 l-c*r^2 을 1-c*r^2 으로 잘못 읽고 표시하고 있습니다. - TI-nspire CAS 계산기에 l-c*r^2 ≥0 을 조건에 추가해 계산해 보아도 결과는 바뀌지 않습니다. 2026 07.20 ⚠️ 경고가 바로 두 번째 방법이 "성공"한 이유와 정확히 연결되어 있습니다. 경고의 의미 "Domain of the result might be larger than the domain of the input"는 CAS가 절댓값(모듈러스)을 계산하는 과정에서 원래 식보다 정의역이 더 넓은 형태로 단순화했다는 뜻입니다. 구체적으로 이 계산은 내부적으로 대략 이런 과정을 거칩니다. $$\left|\frac{er}{e\cdot r}\right| = \sqrt{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)\cdot\overline{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)}}$$ 즉 원래 식(복소수)과 그 켤레복소수를 곱해서 실수부·허수부 제곱합을 만들고, 거기에 다시 제곱근을 씌우는 과정입니다. 이 과정에서 √(x²) → x 또는 √a·√b → √(ab) 같은 규칙들이 쓰이는데, 이런 규칙들은 x가 실수이고 0 이상일 때만 엄밀하게 성립합니다. CAS는 이 조건들을 일일이 다 추적하지 않고 넘어가면서, 원래는 (e≠0, r+l·ω·i ≠ 0 등) 복소수 특유의 좁은 정의역을 가진 식을, r, l, ω가 어떤 실수여도(부호 무관하게) 정의되는 1/√(r²+l²·ω²)라는 더 넓은 정의역의 식으로 바꿔버린 것입니다. CAS는 이 손실을 감지하고 경고를 띄운 것입니다. 이게 왜 조건 대입 성공과 연결되는가 정리하면, 이 경고는 사실상 이런 뜻입니다. "나는 이 결과를 만들면서 원래 식이 가지고 있던 정의역 제약 정보(부호 조건, i 관련 조건 등)를 이미 버렸다." 바로 이 "정의역 정보를 버린" 상태가 이후 con_1 대입을 매끄럽게 만드는 원인입니다. 첫 번째 시도에서는 i가 살아있는 원래 식에 조건을 대입했기 때문에, CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(정의역 조건: 1-c·r² ≥ 0) 계속 추적하려고 했고, 그 정보가 con에 없어서 더 이상 정리를 못 하고 멈췄습니다. 두 번째 시도에서는 절댓값 계산 단계에서 이미 그런 세밀한 정의역 추적을 CAS 스스로 포기(단순화)했기 때문에, 이후 ω에 무리식을 대입해도 "이게 실수가 맞나?" 하는 검증 절차 없이 그냥 대수적으로 치환·정리해 버립니다. 그래서 깔끔하게 √c/√l이 나온 겁니다. 한 줄 요약 절댓값 계산 시 뜬 "정의역이 넓어졌을 수 있다"는 경고는, CAS가 그 순간에 원래 식의 엄밀한 조건(정의역)을 놓쳤다는 신호이고, 바로 그 "조건을 놓친 상태"이기 때문에 뒤에 이어지는 조건식 대입이 막힘없이 진행된 것입니다. 다만 그 대가로, 결과인 1/√(r²+l²·ω²)이나 최종 √c/√l이 원래 회로 조건(i≠0이 되는 경계, 분모가 0이 되는 경우 등)에서는 엄밀히 성립하지 않을 수 있다는 점은 감안하셔야 합니다. 실제 물리적으로는 r, l, c > 0이고 결과도 물리적으로 타당한 형태라 문제없어 보이지만, 수학적 엄밀성 측면에서는 "정의역이 넓어진 근사적 결과"라는 꼬리표가 붙어있는 셈입니다. 2026 07.20 Claude AI 답변 TI-Nspire CAS의 | (such that / 조건대입) 연산자는 대입 시점의 수식 형태를 그대로 두고 기호만 치환하는 연산입니다. 대입 후에 처음부터 다시 "실수부/허수부 분리, 유리화" 같은 재간소화를 자동으로 수행하지 않습니다. 이 차이가 지금 보신 결과 차이의 핵심입니다. 첫 번째 경우 (|er/(e·r)| | con_1 and con → 실패) 이 시점의 식은 아직 r + l·ω·i 형태의 복소수 그대로입니다 (i가 살아있음). 여기에 con_1: ω = √(1-c·r²)/(√c·l)을 대입하면, 분모 안에 i · √(1-c·r²) 라는 항이 새로 생깁니다. 문제는 CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(즉 1-c·r² ≥ 0인지) 판단할 근거가 없다는 겁니다. 저장해 두신 con 조건은 c>0, l>0, r>0뿐이고, 1-c·r²≥0이라는 조건은 포함되어 있지 않습니다. 그래서 CAS는 i와 이 무리식을 더 정리(유리화, 실수부·허수부 재결합)하지 못하고 있는 그대로 남겨둡니다. 결과에 여전히 i가 보이는 이유입니다. 두 번째 경우 (결과값 1/√(r²+l²·ω²)에 대입 → 성공) |er/(e·r)| (절댓값/모듈러스) 연산은 그 자체로 이미 "복소수 → 실수" 변환을 완료한 결과입니다. 즉 1/√(r²+l²·ω²)에는 더 이상 i가 없고, 순수하게 r, l, ω로만 이루어진 실수식입니다. 이 식에 ω = con_1을 대입하는 것은 그냥 실수 대수식에 실수 대입하는 것이므로, i와 무리식이 뒤엉키는 문제 자체가 발생하지 않습니다. 그래서 바로 깔끔하게 √c/√l로 정리됩니다. 정리하면 절댓값(모듈러스) 계산은 "이 값들이 실수다"라는 가정을 이미 내부적으로 써서 i를 제거하는 연산입니다. 그 연산을 조건 대입 이전에 해두면, 이후 대입은 단순 실수 대입이라 문제없이 정리됩니다. 반대로 i가 남아있는 식에 무리식을 포함한 조건을 먼저 대입하면, 그 무리식의 실수성/부호에 대한 가정이 없어서 CAS가 i를 소거하는 재간소화를 못 하고 멈춰버립니다. 실용적 팁: 복소식에 조건을 대입해야 할 때는 가능하면 절댓값·실수화(유리화) 등을 먼저 끝내서 i를 없앤 뒤 조건을 대입하거나, 대입 후 결과에 다시 simplify/expand/combine 같은 명령을 한 번 더 걸어주면 (필요한 도메인 조건과 함께) 정리가 되는 경우가 많습니다. 2026 07.19 저도 어림잡아 추측할 뿐이지 정확한 이유를 알지는 못합니다. 질문하신 사진을 그대로 (Gemini 3.5 Flash / ChatGPT / Claude Sonnet 5) AI에 넣어 보니 claude AI 가 제일 합리적인 답변을 주어서 이를 붙여 넣습니다. 2026 07.19 아 그렇네요. 감사합니다. ^^ 2026 04.28