변곡점(變曲點, inflection point)
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- 2024.07.10 - 10:43 2024.07.09 - 09:36 215 2
변곡점의 정의
변곡점(變曲點, inflection point)은 곡선의 곡률이 부호를 바꾸는 점을 말합니다.
좀 더 구체적으로, 곡선 \( y = f(x) \)에 대해 다음 두 조건을 모두 만족하는 점 \( (a, f(a)) \)을 변곡점이라고 합니다:
1. \( f''(a) = 0 \) 또는 정의되지 않는다.
2. \( f''(x) \)가 \( x = a \)를 기준으로 좌우에서 부호가 바뀐다. 즉, \( x < a \)일 때 \( f''(x) \)와 \( x > a \)일 때 \( f''(x) \)의 부호가 다르다.
이를 통해 변곡점에서 곡선의 오목(콘케이브)과 볼록(컨벡스)의 특성이 바뀌게 됩니다.
예를 들어, \( y = x^3 \) 함수는 \( x = 0 \)에서 변곡점을 가집니다. 왜냐하면,
- \( f''(x) = 6x \)이고,
- \( f''(0) = 0 \)이며,
- \( x = 0 \)의 좌우에서 \( f''(x) \)의 부호가 바뀌기 때문입니다. \( x < 0 \)일 때 \( f''(x) < 0 \), \( x > 0 \)일 때 \( f''(x) > 0 \)입니다.
이러한 변곡점을 찾기 위해 2차 도함수 테스트(Second Derivative Test)를 사용하기도 합니다. 변곡점의 위치를 정확히 알아내기 위해서는 함수의 도함수를 계산하고 그 값을 분석하는 과정이 필요합니다.
특징
- 연속성: 변곡점에서 함수는 연속이어야 합니다.
- 미분 가능성: 변곡점에서 함수는 최소한 1차 미분 가능해야 합니다.
- 곡률 변화: 변곡점을 기준으로 함수의 곡률(curvature)이 바뀝니다. 즉, 그래프의 오목성(concavity)이 변화합니다.
- 접선의 특성: 변곡점에서의 접선은 함수 그래프를 관통합니다. 이 점을 제외한 다른 점에서는 접선이 함수 그래프와 한 점에서만 만납니다.
- 2차 도함수와의 관계: 대부분의 경우, 변곡점에서 2차 도함수(f''(x))가 0이 됩니다. 그러나 2차 도함수가 존재하지 않는 경우에도 변곡점이 될 수 있습니다.
- 3차 도함수의 역할: 만약 2차 도함수가 0이라면, 3차 도함수를 확인하여 실제로 변곡점인지 판단할 수 있습니다. 3차 도함수가 0이 아니라면 그 점은 변곡점입니다.
댓글 2
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반례) f'(x) = a*(x-α)*(x-β)^2 형태인 경우 ?
3차함수 f2(x) 는 극대, 극소를 모두 가짐.
따라서 반례 실패.
"4차함수가 극대/극소를 모두 가지는지 물은 것이 아님"
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"4차 함수의 변곡점이 존재한다면, 그 도함수는 반드시 극대, 극소값을 가진다."라는 명제는 참인가?
### 명제
"4차 함수의 변곡점이 존재한다면, 그 도함수는 반드시 극대, 극소값을 가진다."
### 증명
1. **전제:**
- 4차 함수 \( f(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx +E, (A \neq 0) \)의 변곡점이 존재한다.
2. **변곡점의 조건:**
- 변곡점 \( a \)에서 \( f''(a) = 0 \)이면서, \( a \)의 좌우에서 \( f''(x) \)의 부호가 바뀐다.
3. **2차 도함수 \( f''(x) \):**
- \( f''(x) \)는 4차 함수 \( f(x) \)의 두 번째 도함수로서 2차 함수의 형태이다.
- 따라서 \( f''(x) \)는 다음과 같은 형태를 가진다:
\[ f''(x) = 12Ax^2 + 6Bx + 2C \]
여기서 \( A \neq 0 \)이고, \( A \), \( B \), \( C \)는 4차 함수의 계수에 따른 상수이다.
4. **2차 방정식의 성질:**
- \( f''(x) = 0 \)을 만족하는 \( α \)가 존재하고, \( α \)의 좌우에서 \( f''(x) \)의 부호가 바뀌므로 \( f''(x) = 0 \)을 만족하는 또 다른 실근 \( β \)가 반드시 존재해야 한다.
- 이는 2차 방정식 \( f''(x) = 0 \)이 서로 다른 두 실근 \( α \)와 \( β \)를 가진다는 것을 의미한다.
5. **1차 도함수 \( f'(x) \):**
- \( f'(x) \)는 4차 함수 \( f(x) \)의 첫 번째 도함수로서 3차 함수의 형태이다.
- 3차 함수 \( f'(x) \)는 \( f''(x) = 0 \)이 되는 점 \( α \)와 \( β \)에서 극값(극대,극소 or 극소,극대)을 가진다.
6. **결론:**
- 3차 함수 \( f'(x) \)는 극대값과 하나의 극소값을 가진다.
- 따라서, 4차 함수의 변곡점이 존재한다면, 그 도함수인 3차 함수 \( f'(x) \)는 반드시 극대와 극소값을 가진다.