- 세상의 모든 계산기 수학, 과학, 공학 이야기 수학 ()
변곡점(變曲點, inflection point)
-
- 2024.07.10 - 10:43 2024.07.09 - 09:36 846 2
변곡점의 정의
변곡점(變曲點, inflection point)은 곡선의 곡률이 부호를 바꾸는 점을 말합니다.
좀 더 구체적으로, 곡선 \( y = f(x) \)에 대해 다음 두 조건을 모두 만족하는 점 \( (a, f(a)) \)을 변곡점이라고 합니다:
1. \( f''(a) = 0 \) 또는 정의되지 않는다.
2. \( f''(x) \)가 \( x = a \)를 기준으로 좌우에서 부호가 바뀐다. 즉, \( x < a \)일 때 \( f''(x) \)와 \( x > a \)일 때 \( f''(x) \)의 부호가 다르다.
이를 통해 변곡점에서 곡선의 오목(콘케이브)과 볼록(컨벡스)의 특성이 바뀌게 됩니다.
예를 들어, \( y = x^3 \) 함수는 \( x = 0 \)에서 변곡점을 가집니다. 왜냐하면,
- \( f''(x) = 6x \)이고,
- \( f''(0) = 0 \)이며,
- \( x = 0 \)의 좌우에서 \( f''(x) \)의 부호가 바뀌기 때문입니다. \( x < 0 \)일 때 \( f''(x) < 0 \), \( x > 0 \)일 때 \( f''(x) > 0 \)입니다.
이러한 변곡점을 찾기 위해 2차 도함수 테스트(Second Derivative Test)를 사용하기도 합니다. 변곡점의 위치를 정확히 알아내기 위해서는 함수의 도함수를 계산하고 그 값을 분석하는 과정이 필요합니다.
특징
- 연속성: 변곡점에서 함수는 연속이어야 합니다.
- 미분 가능성: 변곡점에서 함수는 최소한 1차 미분 가능해야 합니다.
- 곡률 변화: 변곡점을 기준으로 함수의 곡률(curvature)이 바뀝니다. 즉, 그래프의 오목성(concavity)이 변화합니다.
- 접선의 특성: 변곡점에서의 접선은 함수 그래프를 관통합니다. 이 점을 제외한 다른 점에서는 접선이 함수 그래프와 한 점에서만 만납니다.
- 2차 도함수와의 관계: 대부분의 경우, 변곡점에서 2차 도함수(f''(x))가 0이 됩니다. 그러나 2차 도함수가 존재하지 않는 경우에도 변곡점이 될 수 있습니다.
- 3차 도함수의 역할: 만약 2차 도함수가 0이라면, 3차 도함수를 확인하여 실제로 변곡점인지 판단할 수 있습니다. 3차 도함수가 0이 아니라면 그 점은 변곡점입니다.
-
25
댓글2
-
세상의모든계산기
"4차 함수의 변곡점이 존재한다면, 그 도함수는 반드시 극대, 극소값을 가진다."라는 명제는 참인가?
### 명제
"4차 함수의 변곡점이 존재한다면, 그 도함수는 반드시 극대, 극소값을 가진다."
### 증명
1. **전제:**
- 4차 함수 \( f(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx +E, (A \neq 0) \)의 변곡점이 존재한다.2. **변곡점의 조건:**
- 변곡점 \( a \)에서 \( f''(a) = 0 \)이면서, \( a \)의 좌우에서 \( f''(x) \)의 부호가 바뀐다.3. **2차 도함수 \( f''(x) \):**
- \( f''(x) \)는 4차 함수 \( f(x) \)의 두 번째 도함수로서 2차 함수의 형태이다.
- 따라서 \( f''(x) \)는 다음과 같은 형태를 가진다:
\[ f''(x) = 12Ax^2 + 6Bx + 2C \]
여기서 \( A \neq 0 \)이고, \( A \), \( B \), \( C \)는 4차 함수의 계수에 따른 상수이다.4. **2차 방정식의 성질:**
- \( f''(x) = 0 \)을 만족하는 \( α \)가 존재하고, \( α \)의 좌우에서 \( f''(x) \)의 부호가 바뀌므로 \( f''(x) = 0 \)을 만족하는 또 다른 실근 \( β \)가 반드시 존재해야 한다.
- 이는 2차 방정식 \( f''(x) = 0 \)이 서로 다른 두 실근 \( α \)와 \( β \)를 가진다는 것을 의미한다.5. **1차 도함수 \( f'(x) \):**
- \( f'(x) \)는 4차 함수 \( f(x) \)의 첫 번째 도함수로서 3차 함수의 형태이다.
- 3차 함수 \( f'(x) \)는 \( f''(x) = 0 \)이 되는 점 \( α \)와 \( β \)에서 극값(극대,극소 or 극소,극대)을 가진다.6. **결론:**
- 3차 함수 \( f'(x) \)는 극대값과 하나의 극소값을 가진다.
- 따라서, 4차 함수의 변곡점이 존재한다면, 그 도함수인 3차 함수 \( f'(x) \)는 반드시 극대와 극소값을 가진다. -
1
세상의모든계산기
반례) f'(x) = a*(x-α)*(x-β)^2 형태인 경우 ?
3차함수 f2(x) 는 극대, 극소를 모두 가짐.
따라서 반례 실패.
"4차함수가 극대/극소를 모두 가지는지 물은 것이 아님"
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
기본 어댑터 MODEL : AD0301-1202500GB INPUT : 100~240V, 50~60Hz, 0.8A Max OUTPUT : 12.0V, 2.5A, 30.0W ㄴ 측정시 플러그 외경/내경 : 5.5mm / 2mm 2026 02.15 엑셀 파일로 만드니 전체 160~200MB 정도 나옵니다. 읽고 / 저장하는데 한참 걸리네요. 컴 사양을 좀 탈 것 같습니다. -> 엑셀/한셀에서 읽히지만, 구글 스프레드시트에서는 열리지 않네요. 100만 개 단위로 끊어서 20MB 정도로 분할해 저장하는 편이 오히려 속 편할 것 같습니다. -> 이건 구글 스프레드시트에서도 열리긴 하네요. (약간 버퍼링?이 있습니다) 2026 02.10 엑셀 / 행의 최대 개수, 열의 최대 개수, 셀의 최대 개수 엑셀의 행 개수 제한은 파일 형식에 따라 다르며, 최신 .xlsx 파일 형식은 시트당 최대 1,048,576행까지 지원하지만, 구형 .xls 파일은 65,536행으로 제한됩니다. 따라서 대용량 데이터를 다룰 때는 반드시 최신 파일 형식(.)으로 저장해야 하며, 행과 열의 총 수는 1,048,576행 x 16,384열이 최대입니다. 주요 행 개수 제한 사항: 최신 파일 형식 (.xlsx, .xlsm, .xlsb 등): 시트당 1,048,576행 (2^20). 구형 파일 형식 (.xls): 시트당 65,536행 (2^16). 그 외 알아두면 좋은 점: 최대 행 수: 1,048,576행 (100만여개) 최대 열 수: 16,384열 (XFD) 대용량 데이터 처리: 65,536행을 초과하는 데이터를 다루려면 반드시 .xlsx 형식으로 저장하고 사용해야 합니다. 문제 해결: 데이터가 많아 엑셀이 멈추거나 오류가 발생하면, 불필요한 빈 행을 정리하거나 Inquire 추가 기능을 활용하여 파일을 최적화할 수 있습니다. 2026 02.10 [일반계산기] 매출액 / 원가 / 마진율(=이익율)의 계산. https://allcalc.org/20806 2026 02.08 V2 갱신 (nonK / K-Type 통합형) 예전에는 직접 코드작성 + AI 보조 하여 프로그램 만들었었는데, 갈수록 복잡해져서 손 놓고 있었습니다. 이번에 antigravity 설치하고, 테스트 겸 새로 V2를 올렸습니다. 직접 코드작성하는 일은 전혀 없었고, 바이브 코딩으로 전체 작성했습니다. "잘 했다 / 틀렸다 / 계산기와 다르다." "어떤 방향에서 코드 수정해 봐라." AI가 실물 계산기 각정 버튼의 작동 방식에 대한 정확한 이해는 없는 상태라서, V1을 바탕으로 여러차례 수정해야 했습니다만, 예전과 비교하면 일취월장 했고, 훨씬 쉬워졌습니다. 2026 02.04