- CASIO 570
[fx-570] 복소수 1차 연립방정식 해법 (feat. 반복법 Gauss-Seidel Method)
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- 2024.10.09 - 11:35 2015.10.22 - 17:19 11265 5
1. EQN 및 행렬 기능의 한계
[fx-570ES PLUS] 계산기에는 연립방정식의 해를 구하는 EQN 기능이 있습니다만, 계수 및 해의 범위는 실수로 한정됩니다.
행렬(Matrix) 모드에서도 element에는 실수만 입력시킬 수 있습니다. 게다가 최대 행렬은 3×3 까지만 가능...ㅠㅠ
따라서, [fx-570ES (Plus)]에서 계산기 내장기능만으로는 계수나 해가 복소수인 연립방정식을 풀 수가 없습니다.
역행렬 공식을 (암기) 활용하여 구하는 방법은 있습니다.
https://allcalc.org/43763
2. 반복법 (Gauss-Seidel Method)
하지만 반복법인 가우스-자이델 법을 이용하면 복소수의 해를 찾을 수(도) 있습니다. 실수에 대한 연립방정식을 반복법으로 풀었던 것과 동일합니다.
[fx-570] Iteration, Gauss-Seidel 가우스-자이델 법으로 연립방정식 풀기
원래의 수식을 미지수에 대해 각각 손으로 정리할 필요가 있어서, 번거롭습니다.
실수일 때에 비해 입력실수가 더 잦은 편이므로, 시간낭비를 하기 싫으시면 매우 꼼꼼하게 확인하시는게 좋습니다.
수렴해야 답이 나오는데, 오히려 발산하는 경우도 있습니다.
발산하는 경우 실수에서와 마찬가지로, 정리하는 변수의 순서를 바꾸면 답이 나올 수도 있습니다.
(행렬로 봤을 때) 대각행렬의 위치에 해당하는 계수의 크기(Abs)가 (행에서) 가장 큰 값이 되도록 행의 배치를 바꾸시면 됩니다.
결국은 매우 비실용적인 방법이므로 (입력이 수월한)
실험삼아 상급 계산기에서나 한번쯤 해볼만한 방법입니다.
3. 예시
다음 두 식을 만족시키는 복소수 v1 과 v2를 구해보겠습니다.
(0.2+0.2*i)v1 - (0.1*i)v2 = 1
−(0.1*i)v1 + (0.1-0.1*i)v2 = 0.5*i
- 윗 식은 v1에 대하여, 아랫 식은 v2에 대하여 손으로 정리합니다.
((1+0.1*i*v2)/(0.2+0.2*i))→v1
((0.5*i+0.1*i*v1)/(0.1-0.1*i))→v2
- 복소수 모드로 이동합니다.
【MODE】 【2】
- V1을 A로, V2를 B로 치환하고
A=ㅁㅁㅁ:B=△△△ 꼴로 계산기에 입력합니다.
- 【CALC】 버튼을 눌러서 계산을 시작합니다.
ㄴ
【CALC】 대신 【=】 를 누르면 Error 가 납니다.
- B? (B값을 묻는 화면)에서 B의 초기값을 입력합니다.
【0】 【=】
- 【=】 반복하여 누릅니다.
A, B 값이 특정 값에 수렴할 때까지 반복합니다.
- 위에서 식을 입력할 때 두 식을 나누어 입력할 수도 있습니다.
(더 복잡하고 번거롭기 때문에 굳이 그럴 이유는 없습니다)
- 복소수 계산 모드로 이동합니다.
【MODE】 【2】
- A의 초기값을 입력합니다.
【0】 【SHIFT】 【RCL】 【(-)】
ㄴ B의 초기값은 입력할 필요가 없습니다.
- A, B 로 대치하여 그대로 계산기에 입력하고 【=】 계산합니다.
앞서 계산한 두개의 식을 번갈아가면서 교대로 실행해야 하므로
【▲】 【=】 【▲】 【=】
【▲】 【=】 【▲】 【=】
... 를 반복하여 입력합니다.
언제까지?
결과가 어떤 수에 수렴할 때까지...
18회를 반복하니 (=36회의 계산) 답이 나옵니다.
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세상의모든계산기 님의 최근 댓글
3×3 이상인 행렬의 행렬식 determinant https://allcalc.org/50536 2025 12.30 답에 이상한 숫자 14.2857142857가 들어간 것은 조건식에 소숫점(.) 이 들어가 있기 때문에 발생한 현상이구요. 100÷7 = 14.285714285714285714285714285714 소숫점 없이 분수로 식이 주어졌을 때와 결과적으로는 동일합니다. 2025 12.30 그럼 해가 무한히 많은지 아닌지 어떻게 아느냐? 고등학교 수학 교과과정에 나오는 행렬의 판별식(d, determinant)을 이용하면 알 수 있습니다. ㄴ 고교과정에서는 2x2 행렬만 다루던가요? 연립방정식의 계수들로 행렬을 만들고 그 행렬식(determinant)을 계산하여야 합니다. 행렬식이 d≠0 이면 유일한 해가 존재하고, d=0 이면 해가 없거나 무수히 많습니다. * 정상적인 경우 (`2y + 8z = 115`)의 계수 행렬: 1 | 1 1 0 | 2 | 1 0 -3.5 | 3 | 0 2 8 | 행렬식 값 = 1(0 - (-7)) - 1(8 - 0) = 7 - 8 = -1 (0이 아니므로 유일한 해 존재) * 문제가 된 경우 (`2y + 7z = 100`)의 계수 행렬: 1 | 1 1 0 | 2 | 1 0 -3.5 | 3 | 0 2 7 | 행렬식 값 = 1(0 - (-7)) - 1(7 - 0) = 7 - 7 = 0 (0이므로 유일한 해가 존재하지 않음) 2025 12.30 좀 더 수학적으로 말씀드리면 (AI Gemini 참고) 수학적 핵심 원리: 선형 독립성(Linear Independence) 3원 1차 연립방정식에서 미지수 x, y, z에 대한 단 하나의 해(a unique solution)가 존재하기 위한 필수 조건은 '주어진 세 개의 방정식이 서로 선형 독립(linearly independent) 관계에 있어야 한다'는 것입니다. * 선형 독립 (Linearly Independent): 어떤 방정식도 다른 방정식들의 조합(상수배를 더하거나 빼는 등)으로 만들어질 수 없는 상태입니다. 기하학적으로 이는 3개의 평면(각 방정식은 3D 공간의 평면을 나타냄)이 단 한 개의 점(해)에서 만나는 것을 의미합니다. * 선형 종속 (Linearly Dependent): 하나 이상의 방정식이 다른 방정식들의 조합으로 표현될 수 있는 상태입니다. 이 경우, 새로운 정보를 제공하지 못하는 '잉여' 방정식이 존재하는 것입니다. 기하학적으로 이는 3개의 평면이 하나의 선에서 만나거나(무수히 많은 해), 완전히 겹치거나, 혹은 평행하여 만나지 않는(해가 없음) 상태를 의미합니다. 질문자님의 사례는 '선형 종속'이 되어 무수히 많은 해가 발생하는 경우입니다. 2025 12.30 질문하신 연립 방정식은 미지수가 3개이고 모두 1차인 3원 1차 연립방정식입니다. 이상적으로 문제가 없다면 {x,y,z} 에 대한 좌표가 하나 나오게 됩니다. 원하는 답 {52.5, -2.5, 15} 그런데 '두개 조건(식)을 그대로 두고 나머지 하나를 변형하다 보니, 원하는 답이 나오지 않는 상황이 발생하였다.'고 질문하신 상황입니다. 3개의 조건식이 주어진 3원 1차 연립방정식은 조건을 변형해서 하나의 변수를 제거할 수 있습니다. 그러면 2개의 조건식으로 주어지는 2원 1차 연립방정식으로 변형이 됩니다. ㄴ 꼭 변형해야하는 것은 아니지만, 이것이 알아보기 쉽기 때문에 변형시키는 것입니다. 변경하지 않은 2개 조건의 식(con1) 을 이용해 위와 같이 하나의 y & z 1차 방정식을 유도할 수 있는데요. 변경하는 나머지 1개의 방정식이 con1에서 유도된 방정식과 동일하다면 하나의 답이 구해지지 않는 상황이 발생하는 것입니다. 계산기(ti-nspire)는 {x,y,z} 의 답이 하나가 아니고 무수히 많음을 c1 을 이용해서 표현해 준 것입니다. linear_independence_cond12.tns 2025 12.30