- TI nspire
[TI-nspire] [Program] 순열(Permutation) - Heap's Algorithm (Recursive)
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- 2024.07.27 - 01:58 2015.09.29 - 10:11 972
앞서 구현한 순열을 찾는 프로그램은 n^n 루프를 회전시켜야만 하는 비효율적인 프로그램이었습니다.
http://www.allcalc.org/7618
그래서 좀 더 나은 것을 찾아봤는데, 이게 가장 효율적이었습니다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Heap%27s_algorithm
하지만 재귀호출방식이라서 잘 될까 의문이 들었습니다. 기본 알고리즘은 다음과 같습니다.
procedure generate(n : integer, A : array of any): if n = 1 then output(A) else for i := 0; i < n - 1; i += 1 do generate(n - 1, A) if n is even then swap(A[i], A[n-1]) else swap(A[0], A[n-1]) end if end for generate(n - 1, A) end if
배열[ ]이 0부터 시작하는 것을 주의하여 프로그램을 짜 봤는데...
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Define perm_list(list,n)= Prgm : :k+1→k :© Disp "============" :© Disp "ⓐ N th trials = ",k,"---------------" : :Local f_i : If n=1 Then : Disp "★",list : Else : For f_i,1,n-1 :© Disp "ⓒ i=",f_i,", n-1=",n-1 : perm_list(list,n-1) : If mod(n,2)=0 Then : Disp "Before",list : Disp "Even n=",n,"↔",f_i : swap(list,f_i,n)→list : Disp "After ",list : Else : Disp "Before",list : Disp "Odd n=",n,"↔ 1" : swap(list,1,n)→list : Disp "After ",list : EndIf : EndFor : perm_list(list,n-1) : EndIf : :EndPrgm
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★ {1,2,3,4} Before {1,2,3,4} Even n 2 ↔ 1 After {2,1,3,4} ★ {2,1,3,4} Before {1,2,3,4} Odd n 3 ↔ 1 After {3,2,1,4} ★ {3,2,1,4} Before {3,2,1,4} Even n 2 ↔ 1 After {2,3,1,4} ★ {2,3,1,4} Before {3,2,1,4} Odd n 3 ↔ 1 After {1,2,3,4} ★ {1,2,3,4} Before {1,2,3,4} Even n 2 ↔ 1 After {2,1,3,4} ★ {2,1,3,4} Before {1,2,3,4} Even n 4 ↔ 1 After {4,2,3,1}
(중간 생략)
★ {1,2,4,3} Before {2,1,4,3} Odd n 3 ↔ 1 After {4,1,2,3} ★ {4,1,2,3} Before {4,1,2,3} Even n 2 ↔ 1 After {1,4,2,3} ★ {1,4,2,3} |
결과에 자꾸 반복되는 조합이 생겨서 뭐가 문제인가 봤더니...
새로 찾은 (swap 후) 결과 list가 다음번에 유지되지 않고, 이전 호출 perm_list(list)로 돌아면서 새 list 대신 이전 호출때 입력받은 list 를 사용하는 것 같더라구요. (추정)
그래서 일단 list 를 프로그램의 인자로 사용하지 않고, 전역변수를 이용하도록 변경하였습니다.
Define LibPriv perm_heap(n)= Prgm : : Local f_i : If n=1 Then : count_k+1→count_k : Disp "#",count_k,heap_list : Else : For f_i,1,n-1 : perm_heap(n-1) : If mod(n,2)=0 Then : swap(heap_list,f_i,n)→heap_list : Else : swap(heap_list,1,n)→heap_list : EndIf : EndFor : perm_heap(n-1) : EndIf :EndPrgm |
0→count_k:{a,b,c,d}→heap_list perm_heap(dim(heap_list)) # 1 {a,b,c,d} # 2 {b,a,c,d} # 3 {c,a,b,d} # 4 {a,c,b,d} # 5 {b,c,a,d} # 6 {c,b,a,d} # 7 {d,b,a,c} # 8 {b,d,a,c} # 9 {a,d,b,c} # 10 {d,a,b,c} # 11 {b,a,d,c} # 12 {a,b,d,c} # 13 {a,c,d,b} # 14 {c,a,d,b} # 15 {d,a,c,b} # 16 {a,d,c,b} # 17 {c,d,a,b} # 18 {d,c,a,b} # 19 {d,c,b,a} # 20 {c,d,b,a} # 21 {b,d,c,a} # 22 {d,b,c,a} # 23 {c,b,d,a} # 24 {b,c,d,a} |
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일단 답은 나왔습니다만, 인자 vs 전역변수 문제는 조금 더 연구를 해 보아야 할 것 같습니다.
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세상의모든계산기 님의 최근 댓글
수치해석 방법 method 를 강제로 선택할 수 있으면 좋을텐데... 위의 스샷을 보면 되는 듯 하면서도 아래 스샷을 보면 안되는 것 같기도 합니다. solve(Expr,[Var]) csolve(LstEq,LstVar) nSolve(Expr,Var,[Guess or Interval],[Method]) deSolve(Eq,[TimeVar],FncVar) linsolve(LstLinEq,LstVar) fsolve(Expr,Var,[Guess or Interval],[Method]) 2025 10.17 종합해서 답변을 드리면 HP Prime 에 solve 에서 변수명에 구간을 입력하면 수치해석 방식으로 bisection 을 사용함. 이 bisection 방식은 해의 좌-우 부호가 서로 바뀌어야만 해를 인식하고 해의 좌-우 부호가 같으면 해를 인식하지 못합니다. 이 때문에 본문 sin 의 예나 아래 사진의 예에서는 해를 인식하지 못하는 것으로 보입니다. 2025 10.17 Gemini-2.5-pro 답변 ✦ 현대 컴퓨터 대수 시스템(CAS) 계산기에 탑재된 solve 기능의 일반적인 내부 동작 원리에 대해 설명해 드리겠습니다. 현대 CAS의 solve 기능은 단순히 하나의 알고리즘으로 작동하는 것이 아니라, 마치 '순수 수학자'와 '문제 해결 공학자'가 협력하는 것처럼, 여러 단계에 걸친 정교한 '하이브리드(Hybrid)' 방식으로 동작합니다. solve 함수의 작동 과정 1단계: 기호적 해법 (Symbolic Solver) - '순수 수학자'의 접근 계산기는 가장 먼저 방정식을 대수적으로, 즉 정확한 수학적 해를 찾으려고 시도합니다. 이 단계는 마치 사람이 공식을 이용해 문제를 푸는 과정과 같습니다. 1. 방정식 분석: solve 명령을 받으면, 시스템은 먼저 입력된 방정식의 구조를 분석합니다. (예: 이것이 다항식인가? 삼각방정식인가? 로그방정식인가?) 2. 규칙 기반 풀이: 분석된 구조에 따라, 시스템은 내장된 방대한 수학 규칙 라이브러리를 적용합니다. * 선형/이차 방정식: ax+b=c 나 ax²+bx+c=0 같은 형태는 이항, 인수분해, 근의 공식 등을 이용해 즉시 풉니다. * 고차 다항식: 인수분해, 조립제법 등의 규칙을 적용하여 유리수 해를 찾습니다. * 삼각방정식: sin(x) = 0.5 와 같은 경우, x = nπ + (-1)ⁿ * (π/6) 와 같이 주기성을 고려한 일반해 공식을 적용합니다. * 기타: 로그, 지수 법칙 등 해당 방정식에 맞는 대수적 풀이법을 총동원합니다. 3. 결과: 이 단계에서 해를 찾으면, 1.414... 와 같은 근사값이 아닌 √2 나 π/3 와 같은 정확한 기호 형태의 해를 반환합니다. > 강점: 수학적으로 완벽하고 정확한 해를 제공합니다. > 한계: 대수적인 풀이법이 알려져 있지 않은 방정식(예: cos(x) = x 또는 eˣ = x+2)은 풀 수 없습니다. --- 2단계: 수치적 해법 (Numerical Solver) - '문제 해결 공학자'의 접근 만약 1단계의 '순수 수학자'가 "이건 공식으로 풀 수 없어"라고 결론 내리면, solve 기능은 포기하지 않고 2단계인 '문제 해결 공학자'에게 문제를 넘깁니다. 이 단계의 목표는 정확한 해는 아니더라도, 매우 정밀한 근사해를 찾는 것입니다. 1. 반복적 탐색: 수치적 해법은 방정식을 직접 푸는 것이 아니라, 해가 있을 만한 지점에서부터 시작하여 반복적인 계산을 통해 해에 점점 더 가까워지는 방식을 사용합니다. * 적당한 값을 추측해서 대입해 봅니다. * 결과가 0보다 큰지 작은지에 따라, 다음 추측값을 어느 방향으로 수정할지 결정합니다. * 이 과정을 수없이 반복하여 오차가 거의 0에 가까워질 때까지 해를 좁혀나갑니다. 2. 핵심 알고리즘: 이때 사용되는 대표적인 알고리즘은 다음과 같습니다. * 뉴턴-랩슨법 (Newton-Raphson Method): 미분(접선)을 이용하여 매우 빠른 속도로 해에 수렴하는 강력한 방법입니다. * 이분법 (Bisection Method): 해가 존재하는 특정 구간을 계속 절반으로 나누어 범위를 좁혀나가는 방식으로, 속도는 느리지만 안정적으로 해를 찾을 수 있습니다. 3. 결과: 이 단계가 성공하면, 시스템은 0.739085133215 와 같이 소수점 아래 여러 자리까지 표현되는 매우 정밀한 부동소수점 형태의 근사해를 반환합니다. > 강점: 대수적으로 풀 수 없는 복잡한 방정식의 해도 근사적으로 찾아낼 수 있습니다. > 한계: 근사해이며, 알고리즘의 특성상 특정 조건(예: 해가 중근을 갖는 경우)에서는 해를 찾지 못하고 실패할 수도 있습니다. 결론: 왜 하이브리드 방식인가? 분석 → 기호적 풀이 시도 → (실패 또는 불가능 시) → 수치적 풀이로 전환 이처럼 현대 CAS의 solve 기능은 정확성(기호적 해법)과 범용성(수치적 해법)이라는 두 마리 토끼를 모두 잡기 위해 설계된 정교한 협력 시스템입니다. 먼저 가장 이상적인 '정확한 해'를 추구하되, 그것이 불가능할 경우 차선책으로 '정밀한 근사해'라도 찾아내어 사용자에게 최대한의 결과를 제공하는 것입니다. 2025 10.17 hp prime 이 solve 함수에서 해를 찾는데 어떤 방법(method)을 사용하는지 공식적인 무서로 정확하게 파악되진 않습니다. 2025 10.17 참고 x=guess 는 iterative 방식(일반적으로는 newton's method를 의미함)을 x=xmin .. xmax 는 bisection 방식을 사용하는 듯 합니다. // 구간지정 개념과는 차이가 있는 듯? 2025 10.17