크레이머 = 크레머 = 크라메르 공식 = Cramer's Rule

연립 방정식을 크래머의 규칙(Cramer’s Rule)을 사용하여 풀어 보겠습니다. 

\documentclass{article}

\usepackage{amsmath}

\usepackage{xcolor}

 

\[
\begin{bmatrix}
4 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 2 \\
1 & 5 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \\
3 \\
1
\end{bmatrix}
\]

 

1. 행렬과 열 벡터 정의

- 계수 행렬 \( A \):
\[
A = \begin{bmatrix}
4 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 2 \\
1 & 5 & 2
\end{bmatrix}
\]
- 변수 벡터 \( \mathbf{x} \):
\[
\mathbf{x} = \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
\]
- 상수 벡터 \( \mathbf{b} \):
\[
\mathbf{b} = \begin{bmatrix}
2 \\
3 \\
1
\end{bmatrix}
\]

 

2. 행렬식 계산

 

크래머의 규칙을 사용하려면 먼저 계수 행렬 \( A \)의 행렬식 \( D \)를 계산합니다.

\[
D = \begin{vmatrix}
4 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 2 \\
1 & 5 & 2
\end{vmatrix}
\]

행렬식 \( D \)는 다음과 같이 계산됩니다:

\[
D = 4 \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
5 & 2
\end{vmatrix}
- 5 \begin{vmatrix}
2 & 2 \\
1 & 2
\end{vmatrix}
\quad \cancel{+ 0 \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 5
\end{vmatrix}}
\]

각 소행렬식은 다음과 같습니다:
- \( \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
5 & 2
\end{vmatrix} = (1)(2) - (2)(5) = 2 - 10 = -8 \)

- \( \begin{vmatrix}
2 & 2 \\
1 & 2
\end{vmatrix} = (2)(2) - (2)(1) = 4 - 2 = 2 \)

따라서, \( D \)는 다음과 같이 계산됩니다:
\[
D = 4(-8) - 5(2) + 0 = -32 - 10 = -42
\]

 

3. 각 변수의 행렬식 계산

 

각 변수 \( x, y, z \)에 대해 \( D_x, D_y, D_z \)를 계산합니다.

\( D_x \) 계산
\( D_x \)는 \( A \)의 첫 번째 열을 상수 벡터 \( \mathbf{b} \)로 대체한 행렬의 행렬식입니다:
\[
D_x = \begin{vmatrix}
\textcolor{blue}{\textbf{2}} & 5 & 0 \\
\textcolor{blue}{\textbf{3}} & 1 & 2 \\
\textcolor{blue}{\textbf{1}} & 5 & 2
\end{vmatrix}
\]

계산 방법은 다음과 같습니다:
\[
D_x = 2 \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
5 & 2
\end{vmatrix}
- 5 \begin{vmatrix}
3 & 2 \\
1 & 2
\end{vmatrix}
+ 0 \begin{vmatrix}
3 & 1 \\
1 & 5
\end{vmatrix}
\]

각 소행렬식은 다음과 같습니다:
- \( \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
5 & 2
\end{vmatrix} = -8 \) (이미 계산됨)

- \( \begin{vmatrix}
3 & 2 \\
1 & 2
\end{vmatrix} = (3)(2) - (2)(1) = 6 - 2 = 4 \)

따라서 \( D_x \)는 다음과 같이 계산됩니다:
\[
D_x = 2(-8) - 5(4) + 0 = -16 - 20 = -36
\]

\( D_y \) 계산
\( D_y \)는 \( A \)의 두 번째 열을 상수 벡터 \( \mathbf{b} \)로 대체한 행렬의 행렬식입니다:
\[
D_y = \begin{vmatrix}
4 & \textcolor{blue}{\textbf{2}} & 0 \\
2 & \textcolor{blue}{\textbf{3}} & 2 \\
1 & \textcolor{blue}{\textbf{1}} & 2
\end{vmatrix}
\]

계산 방법은 다음과 같습니다:
\[
D_y = 4 \begin{vmatrix}
3 & 2 \\
1 & 2
\end{vmatrix}
- 2 \begin{vmatrix}
2 & 2 \\
1 & 2
\end{vmatrix}
+ 0 \begin{vmatrix}
2 & 3 \\
1 & 1
\end{vmatrix}
\]

각 소행렬식은 다음과 같습니다:
- \( \begin{vmatrix}
3 & 2 \\
1 & 2
\end{vmatrix} = 4 \) (이미 계산됨)

- \( \begin{vmatrix}
2 & 2 \\
1 & 2
\end{vmatrix} = 2 \) (이미 계산됨)

따라서 \( D_y \)는 다음과 같이 계산됩니다:
\[
D_y = 4(4) - 2(2) + 0 = 16 - 4 = 12
\]

\( D_z \) 계산
\( D_z \)는 \( A \)의 세 번째 열을 상수 벡터 \( \mathbf{b} \)로 대체한 행렬의 행렬식입니다:
\[
D_z = \begin{vmatrix}
4 & 5 & \textcolor{blue}{\textbf{2}} \\
2 & 1 & \textcolor{blue}{\textbf{3}} \\
1 & 5 & \textcolor{blue}{\textbf{1}}
\end{vmatrix}
\]

계산 방법은 다음과 같습니다:
\[
D_z = 4 \begin{vmatrix}
1 & 3 \\
5 & 1
\end{vmatrix}
- 5 \begin{vmatrix}
2 & 3 \\
1 & 1
\end{vmatrix}
+ 2 \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 5
\end{vmatrix}
\]

각 소행렬식은 다음과 같습니다:
- \( \begin{vmatrix}
1 & 3 \\
5 & 1
\end{vmatrix} = (1)(1) - (3)(5) = 1 - 15 = -14 \)

- \( \begin{vmatrix}
2 & 3 \\
1 & 1
\end{vmatrix} = (2)(1) - (3)(1) = 2 - 3 = -1 \)

- \( \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 5
\end{vmatrix} = (2)(5) - (1)(1) = 10 - 1 = 9 \)

따라서 \( D_z \)는 다음과 같이 계산됩니다:
\[
D_z = 4(-14) - 5(-1) + 2(9) = -56 + 5 + 18 = -33
\]

 

4. 변수 계산

 

크래머의 규칙에 따라 각 변수는 다음과 같이 계산됩니다:

\[
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-36}{-42} = \frac{36}{42} = \frac{6}{7}
\]

\[
y = \frac{D_y}{D} = \frac{12}{-42} = -\frac{2}{7}
\]

\[
z = \frac{D_z}{D} = \frac{-33}{-42} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}
\]

 

5. 최종 결과

 

따라서 주어진 연립 방정식의 해는:
\[
x = \frac{6}{7}, \quad y = -\frac{2}{7}, \quad z = \frac{11}{14}
\]

 

참고 - https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%81%AC%EB%9D%BC%EB%A9%94%EB%A5%B4_%EA%B3%B5%EC%8B%9D