(복잡한 다항식 수식에서) 계산기 내부 유효 자릿수에 따른 approx() 오차
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- 2025.10.27 - 13:28 2025.10.22 - 12:05 533 6
TI-nspire 기종에 대한 solve 질문글에 대해 답변을 하던 중 이상한 점을 발견하였습니다.
평소에는
방정식의 해를 numeric 한 방식으로 solve 를 이용해 찾는 것보다,
vs
(소숫점을 없애서) exact 방식으로 참 값을 먼저 구하고 → 그 값에 대한 근사값 approx(참 값)
을 구하는 것이 더 정확했습니다.
그런데 이번에는 반대로 오차가 커지는 겁니다. 이 궁금증을 해결하기 위해 직접 분석을 진행해 보았습니다.
1. 분석 대상 수식
분석에 사용된 수식은 다음과 같습니다. cos, sin의 단위는 모두 degree입니다.
$$ \dfrac{120 \left( 150000 \left( \cos\left(\dfrac{7001}{5000}\right) \sqrt{2} - 2 \sin\left(\dfrac{217999}{5000}\right) \right) \cos\left(\dfrac{217999}{5000}\right) - 136342 \sin\left(\dfrac{217999}{5000}\right) \cos\left(\dfrac{7001}{5000}\right) - \left( 150000 \sin\left(\dfrac{7001}{5000}\right) \sin\left(\dfrac{217999}{5000}\right) - 68171 \right) \sqrt{2} \right)}{\sin\left(\dfrac{7001}{5000}\right) \left( 150000 \cos\left(\dfrac{7001}{5000}\right) \cos\left(\dfrac{217999}{5000}\right) - 150000 \sin\left(\dfrac{7001}{5000}\right) \sin\left(\dfrac{217999}{5000}\right) + 68171 \right)} $$
((120*(150000*(cos(((7001)/(5000)))*√(2)-2*sin(((217999)/(5000))))*cos(((217999)/(5000)))-136342*sin(((217999)/(5000)))*cos(((7001)/(5000)))-(150000*sin(((7001)/(5000)))*sin(((217999)/(5000)))-68171)*√(2)))/(sin(((7001)/(5000)))*(150000*cos(((7001)/(5000)))*cos(((217999)/(5000)))-150000*sin(((7001)/(5000)))*sin(((217999)/(5000)))+68171)))
2. 가장 정확한 기준값은? (고정밀도 계산)
오차를 측정하려면 가장 정확한 '참값'이 필요합니다. 일반적인 PC 계산 환경(64비트 float)의 한계를 넘어서기 위해, 파이썬의 mpmath 라이브러리를 사용하여 100자리의 정밀도로 기준값을 계산했습니다.
73.04950705847862934420128091048894148771096960598761210206551516481655390211661403804814403351531886
3. 최종 정밀도 분석표
위 100자리 고정밀도 기준값을 바탕으로, 각기 다른 십진수 유효자릿수를 가진 가상의 계산기를 시뮬레이션하여, 오차를 측정한 결과입니다.
- 계산 결과: 73.04950705847811
- 실제 오차: 5.16135835013993051626500528352e-13
4. 왜 이런 오차가 발생할까?
컴퓨터의 숫자 저장 방식: 2진법의 한계
가장 근본적인 원인은 컴퓨터가 숫자를 2진법으로 저장하는 데 있습니다. 우리가 사용하는 10진수 소수 중 상당수는 2진수로 변환하면 무한소수가 되어, 정해진 비트(bit) 안에 완벽하게 담지 못하고 근사치로 저장됩니다. 이 작은 근사 오차가 계산 과정에서 계속 누적되어 최종 결과에 영향을 미칩니다.
누적 오차의 예시
(1 / 3) * 3 을 유효자릿수 4자리 계산기로 계산하는 상황을 가정해 봅시다.
1 / 3계산: 결과는0.333333...이지만, 4자리만 저장할 수 있으므로0.3333으로 반올림됩니다. (첫 오차 발생)0.3333 * 3계산: 결과는0.9999가 됩니다. 참값인1.0과 미세한 차이가 생깁니다.
복잡한 수식은 이런 과정이 수십, 수백 번 반복되는 것과 같으므로 작은 오차들이 모여 눈에 띄는 차이를 만들게 됩니다.
문제가 된 처음의 수식 역시 계산기 입장에서 아래와 같은 수많은 연산을 거치며 오차가 누적 및 증폭되어 최종적으로 solve의 정상 범주를 벗어난 x값이 구해진 것이라고 분석할 수 있겠습니다.
- 나눗셈 (Division): 12회
- 사인 (sin): 7회
- 코사인 (cos): 5회
- 루트 (√): 2회
- 곱셈 (Multiplication): 15회
- 뺄셈 (Subtraction): 5회
- 덧셈 (Addition): 1회
결론
일반적인 공학용 계산기(보통 10~14자리)의 정밀도는 대부분의 상황에서 충분히 신뢰할 만합니다. 하지만 이번 분석처럼 매우 복잡한 연산을 하거나, 과학/금융 분야에서 극도의 정밀도를 요구할 때는 표준 계산 환경의 한계를 인지하는 것이 중요합니다.
이러한 한계를 극복하기 위해 파이썬의 mpmath와 같은 임의 정밀도 산술 라이브러리가 존재하며, 이를 통해 우리는 하드웨어의 제약을 넘어 원하는 만큼 정밀한 값을 얻을 수 있습니다.
부록: 분석에 사용된 전체 Python 코드
이 분석을 직접 재현해보고 싶으신 분들을 위해, 최종 분석에 사용된 전체 코드를 공유합니다. (mpmath 라이브러리 설치가 필요합니다: pip install mpmath)
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댓글6
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세상의모든계산기
카시오 fx-570 ES, EX 로 계산하면?
카시오도 (십진수) 14digits 한계이므로, 비슷한 값이 나올 것으로 예상됨.다만, stack 및 길이 한계로 수식 전체를 그대로 입력할 수는 없음.
A,B,C,D 를 조합해 수식을 완성
결과에서 73.049507 을 빼면
- fx-570 ES가 구한 결과값(Ans)은
73.0495070584404 (15digits) 로 최종 확인됨.
- TI-Nspire (14-digits) 보다 오차가 작음.
- 파이썬 시뮬레이션의 15-digits 결과(73.0495070585241)와 같지는 않음. 원인은 모르겠음.
ㄴ fx-570 EX 결과
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세상의모든계산기
TI-nspire 에서 동일하게 a,b,c,d로 치환해서 계산
- 결과는 치환 없이 그냥 approx(전체식) 한 결과와 동일.
- 73.049507058547 (14-digits)
- 파이썬 시뮬레이션 14-digits 와 결과값이 같음.
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세상의모든계산기
fx-9860 및 fx-CG 의 경우
fx-9860GII SD 에서 위의 fx-570 과 같이 A,B,C,D 로 나눠서 계산하면
fx-CG에서 치환할 대상을 약간 바꿔서 분모→A, 분자→B 로 저장해 풀어보아도
- 결과는 둘 다 같음.
- 73.0495070585238 (15 digits)
- fx-570ES와 같은 15-decimal-digits 정밀도인데, 왜 값이 다를까?
- 파이썬 시뮬레이터상 15 digits 값과도 같지 않음.
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세상의모든계산기
fx-570 CW 로 계산하면?
- 최종 확인된 결과 값 = 73.049507058478629343538 (23-digits)
- 오차 = 6.632809104889414877 × 10^-19
꽤 정밀하게 나온건 맞는데, 시뮬레이션상의 22-digits 와 오차 수준이 비슷함. 왜 그런지는 모르겠음.
- 계산기중 정밀도가 높은 편인 HP Prime CAS모드와 비교해도 월등한 정밀도 값을 가짐.
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세상의모든계산기
HP Prime 에서
<Home>
73.0495070344 (12-decimal-digits) // python 시뮬레이션과 일치
<CAS>
21자리까지 나와서 이상하다 싶었는데,
Ans- 에서 자릿수를 더 늘려서 빼보니, 뒷부분 숫자가 아예 바뀌어버림. 버그인가?
(전) 73.0495070584718691243 (21-digits ????)
(후) 73.0495070584718500814401 (24-digits ????)
찾아보니 버그는 아니고,
CAS에서는 십진수가 아니라 2진수(bit) 단위로 처리한다고 함.
Giac uses 48 bits mantissa from the 53 bits from IEEE double. The reason is that Giac stores CAS data (gen type) in 64 bits and 5 bits are used for the data type (24 types are available). We therefore loose 5 bits (the 5 low bits are reset to 0 when a double is retrieved from a gen).
출처 : https://www.hpmuseum.org/cgi-bin/archv021.cgi?read=255657
일단 오차를 놓고 보면 16-decimal-digits 수준으로 보임.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
엑셀 파일로 만드니 전체 160~200MB 정도 나옵니다. 읽고 / 저장하는데 한참 걸리네요. 컴 사양을 좀 탈 것 같습니다. 100만 개 단위로 끊어서 20MB 정도로 분할해 저장하는 편이 오히려 속 편할 것 같습니다. 2026 02.10 엑셀 / 행의 최대 개수, 열의 최대 개수, 셀의 최대 개수 엑셀의 행 개수 제한은 파일 형식에 따라 다르며, 최신 .xlsx 파일 형식은 시트당 최대 1,048,576행까지 지원하지만, 구형 .xls 파일은 65,536행으로 제한됩니다. 따라서 대용량 데이터를 다룰 때는 반드시 최신 파일 형식(.)으로 저장해야 하며, 행과 열의 총 수는 1,048,576행 x 16,384열이 최대입니다. 주요 행 개수 제한 사항: 최신 파일 형식 (.xlsx, .xlsm, .xlsb 등): 시트당 1,048,576행 (2^20). 구형 파일 형식 (.xls): 시트당 65,536행 (2^16). 그 외 알아두면 좋은 점: 최대 행 수: 1,048,576행 (100만여개) 최대 열 수: 16,384열 (XFD) 대용량 데이터 처리: 65,536행을 초과하는 데이터를 다루려면 반드시 .xlsx 형식으로 저장하고 사용해야 합니다. 문제 해결: 데이터가 많아 엑셀이 멈추거나 오류가 발생하면, 불필요한 빈 행을 정리하거나 Inquire 추가 기능을 활용하여 파일을 최적화할 수 있습니다. 2026 02.10 [일반계산기] 매출액 / 원가 / 마진율(=이익율)의 계산. https://allcalc.org/20806 2026 02.08 V2 갱신 (nonK / K-Type 통합형) 예전에는 직접 코드작성 + AI 보조 하여 프로그램 만들었었는데, 갈수록 복잡해져서 손 놓고 있었습니다. 이번에 antigravity 설치하고, 테스트 겸 새로 V2를 올렸습니다. 직접 코드작성하는 일은 전혀 없었고, 바이브 코딩으로 전체 작성했습니다. "잘 했다 / 틀렸다 / 계산기와 다르다." "어떤 방향에서 코드 수정해 봐라." AI가 실물 계산기 각정 버튼의 작동 방식에 대한 정확한 이해는 없는 상태라서, V1을 바탕으로 여러차례 수정해야 했습니다만, 예전과 비교하면 일취월장 했고, 훨씬 쉬워졌습니다. 2026 02.04 A) 1*3*5*7*9 = 계산 945 B) √ 12번 누름 ㄴ 12회 해도 되고, 14회 해도 되는데, 횟수 기억해야 함. ㄴ 횟수가 너무 적으면 오차가 커짐 ㄴ 결과가 1에 매우 가까운 숫자라면 된 겁니다. 1.0016740522338 C) - 1 ÷ 5 + 1 = 1.0003348104468 D) × = 을 (n세트) 반복해 입력 ㄴ 여기서 n세트는, B에서 '루트버튼 누른 횟수' 3.9398949655688 빨간 부분 숫자에 오차 있음. (소숫점 둘째 자리 정도까지만 반올림 해서 답안 작성) 참 값 = 3.9362834270354... 2026 02.04