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원통형 파이프에 종이를 감을때, 전체 원통의 두께는?
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- 2024.11.01 - 15:03 2024.10.22 - 18:27 1393 4 1
ㄴ 이미지 생성 : Gemini 1.5 Flash
직경 d_cm 인 원통형 파이프에, 두께 t_mm 인 종이를, L_meter 감으면
롤(원통)의 중심에서 몇 cm 까지 두꺼워질까요?
방법A) 감긴 단면의 면적으로 풀기
단면을 잘라 보았을 때, 전체 원통의 면적 = 종이의 면적 + 파이프의 면적이 됩니다.
(가정 : ⓐ 완전 밀착 ⓑ 압력에 의한 종이 길이나 두께의 변성 없음)
따라서 $\pi R^2-\pi r_0^2=t_{mm} \cdot L_m$ 가 성립합니다.
이 식을 이용해 solve 로 풀거나,
변수를 다른 변수로 정리해 풀면 답이 나옵니다.
문제1) 파이프 지름(d)이 6 inch, 종이 두께가 0.1mm, 종이 길이가 500m 일 때, 원통 중심에서 종이 끝까지의 길이(전체 반지름)는?
문제2) 파이프 지름(d)이 8.8cm, 종이 두께가 0.5mm, 종이 길이가 150m 일 때는?
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댓글4
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세상의모든계산기
TI-nspire 에서 단위를 수식에 미리 넣으면?
자동으로 approx 로 변형되어 버리네요. 보기가 조금 더 힘든 듯...
그냥 변수만 대입해 넣고, 숫자 대입할 때 한가지 단위(meter)로 통일하는 편이 좋겠습니다.
이 편이 단위 때문에 발생할 수 있는 오해 소지도 적을 것 같구요.
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세상의모든계산기
최고 종이를 많이 감았을 때 허용 지름(2r)을 파이프 포함하여 42cm이라고 하면, 총 종이의길이는 몇 미터까지 감을 수 있나?
파이프 지름(d)은 17.5cm 이고 종이 두께(t)는 0.1mm입니다.
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세상의모든계산기
방법B) 감긴 횟수로 계산
1. 첫 바퀴에 감긴 종이의 길이는 \( l_1 = \pi (d+t) \) (여기서 \( d \)는 원통 파이프의 직경)이다.
ㄴ 종이의 안쪽 원을 기준으로 길이를 재거나, 바깥쪽 원을 기준으로 길이를 잴 수도 있는데, 종이의 중심을 기준으로 재는 것이 가장 합리적이겠죠?ㄴ 안쪽 원보다는 길고, 바깥쪽 원보다는 짧아야 하니...
2. 두번째 바퀴에 감긴 종이의 길이는 \( l_2 = 2\pi\times r_1 = l_1 + 2\pi t \) 입니다.3. 세번째 바퀴에 감긴 종이의 길이는 \( l_3 = 2\pi\times r_2 = l_1 + 4\pi t \) 입니다.
따라서, 매 바퀴마다 둘레는 \( 2\pi t \)씩 더해집니다.
n바퀴째에 감긴 종이의 길이는 \( l_n = l_1 + n\cdot 2\pi t \) 가 됩니다.
종이를 \( n \) 바퀴 감았을 때의 총 길이와 반지름:
1. 반지름 증가:
- 첫 번째 감기 전의 반지름: \( r_0 = \frac{d}{2} \)
- 종이를 \( n \) 바퀴 감은 후의 반지름 \( r_n \)은:
\[
r_n = r_0 + n \times t = \frac{d}{2} + n \times t
\]2. 감은 종이의 총 길이:
- 종이를 \( n \) 바퀴 감았을 때의 총 종이 길이 \( L_n \)은:
\[
L_n = l_1 + l_2 + l_3 + \dots + l_n
\]
- 각 바퀴마다 길이는 \( l_n = d\pi + n\cdot 2\pi t \)이므로, 총 길이를 구하려면 이를 합산합니다:
\[
L_n = \sum_{k=1}^{n} \left( d\pi + k \cdot 2\pi t \right)
= nd\pi + \left( \pi t \cdot (n(n+1)) \right)
\]
여기서 \( \dfrac{n(n+1)}{2} \)는 1부터 \( n \)까지의 정수들의 합입니다.
n(감은 횟수)을 먼저 구하고, n을 $ r_n $ 공식에 대입하면 값이 찾아집니다.
본문방법 r=0.147383629719*_m
댓글방법 r=0.14735948683579
본문과 약~~~간의 오차가 있긴 한데... 무시해도 될 것 같습니다.
그런데 왜 차이가 났을까요?
"본문의 방식은 부피가 직사각형 기준이라서 문제가 없지만,
댓글의 방식은 매 바퀴마다 안쪽은 부피가 겹치고, 바깥쪽은 부피가 모자르는 기하학적 구조라서 발생하는 오차가 아닐까?" 추정해 봅니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
2번 사진 3개 사진 공통적으로 구석(corner) 에 증상이 있다는 특징이 있네요. 영상 찾아보니 이 가능성이 가장 높은 듯 합니다. https://www.youtube.com/watch?v=zxRBohepzwc ㄴ Liquid Crystal Leakage (액정 누설). ㄴ 손으로 밀어내니 주변으로 밀려나네요. 그래서 점으로 보이기도 하구요. 2025 10.29 500! 의 십진수 근사값 확인 500! = 1.22013682599111006870123878542304692625357434280319284219241358838 × 10^(1134) (참값, 울프람 알파) 2025 10.29 관련 라이브러리 https://allcalc.org/56263 sgn(x) 내장된 부호 함수(signum function)와 달리, 이 함수의 sgn(0)은 0을 반환합니다. 2025 10.29 라이브러리로 사용할 수 있습니다. (제작자 추천) 1. mylib 폴더에 넣기 2. Actions ➡️ library ➡️ refresh libraries 실행 하기 2025 10.29 ChatGPT-5 기호(÷, /, :) 자체는 의미적으로 같은 “나눗셈”을 뜻하지만, 문맥(사람이 쓰는 수학 vs 컴퓨터/프로그래밍)에 따라 해석 우선순위가 달라질 수 있습니다. 🔹 1️⃣ 전통 수학 표기 — ÷, /, : 수학 교과서, 논문, 일반 문서 등에서는 셋 다 의미적으로 “나누기”로 간주됩니다. 즉, 48÷2(9+3), 48/2(9+3), 48:2(9+3) 은 같은 의미로 받아들여야 합니다. 모두 사람의 수학 관행적 해석이 적용되어 48 ÷ 2 × (9+3) = 288 로 처리되죠. 즉, 기호가 바뀌어도 결과는 바뀌지 않습니다. 🔹 2️⃣ 컴퓨터·프로그래밍 문맥에서 / 사용 시 컴퓨터는 “생략된 곱셈(implicit multiplication)”을 따로 구분하지 못합니다. 따라서 다음 두 식은 완전히 다르게 인식됩니다. 표현 파이썬 등에서 해석 결과 48 / 2*(9+3) ((48 / 2) * (9+3)) 288 48 / 2(9+3) ❌ 문법 오류 (생략된 곱셈 인식 불가) — 즉, 컴퓨터 언어에서는 생략된 곱셈이 허용되지 않기 때문에, /는 반드시 명시적 *와 함께 써야 합니다. 🔹 3️⃣ “:” 기호의 경우 현대 수학에서는 “비율”을 나타내는 기호로 쓰입니다. a:b = \frac{a}{b} 따라서 (27 : 3(1+2)3) 같은 표현은 모호하거나 비표준적으로 간주됩니다. 대부분의 경우 계산기로는 입력 자체가 불가능합니다. ✅ 정리 기호 의미 결과 변화 주로 쓰이는 문맥 ÷ 나누기 없음 초중등 수학, 일반 표기 / 나누기 없음 (단, 프로그래밍에서는 생략 곱 불허) 수학/컴퓨터 : 비율 (또는 나누기 의미로 혼용) 보통 계산식에서는 사용 안 함 비, 비율 표기 🔹 결론 48 ÷ 2(9+3), 48/2(9+3), 48:2(9+3) 는 “수학적 의미”로는 동일하게 81로 해석됩니다. 하지만 프로그래밍이나 수식 파서(context) 에서는 /만 유효하고, 생략된 곱은 허용되지 않으며, :는 아예 다른 의미(비율)로 인식됩니다. 2025 10.28