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원통형 파이프에 종이를 감을때, 전체 원통의 두께는?
ㄴ 이미지 생성 : Gemini 1.5 Flash
직경 d_cm 인 원통형 파이프에, 두께 t_mm 인 종이를, L_meter 감으면
원통의 중심에서 몇 cm 까지 두꺼워질까요?
풀이) 감긴 단면의 면적으로 풀기
단면을 잘라 보았을 때, 전체 원통의 면적 = 종이의 면적 + 파이프의 면적이 됩니다.
(가정 : ⓐ 완전 밀착 ⓑ 압력에 의한 종이 두께의 변성 없음)
따라서 $\pi R^2-\pi r_0^2=t_{mm} \cdot L_m$ 가 성립합니다.
이 식을 이용해 solve 로 풀거나,
변수를 다른 변수로 정리해 풀면 답이 나옵니다.
문제1) 파이프 지름(d)이 6 inch, 종이 두께가 0.1mm, 종이 길이가 500m 일 때, 원통 중심에서 종이 끝까지의 길이(전체 반지름)는?
문제2) 파이프 지름(d)이 8.8cm, 종이 두께가 0.5mm, 종이 길이가 150m 일 때는?
댓글 4
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최고 종이를 많이 감았을 때 허용 지름(2r)을 파이프 포함하여 42cm이라고 하면, 총 종이의길이는 몇 미터까지 감을 수 있나?
파이프 지름(d)은 17.5cm 이고 종이 두께(t)는 0.1mm입니다.
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스프레드시트로 적용해 보면
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다른 접근) 감긴 횟수로 풀기
1. 첫 바퀴에서 종이를 감을 때의 원둘레는 \( l_1 = \pi d \) (여기서 \( d \)는 원통 파이프의 직경)이고, 종이를 감은 후의 반지름 \( r_1 = \frac{d}{2} + t \)입니다.
2. 두번째 바퀴를 감을 때의 둘레는 \( l_2 = 2\pi\times r_1 = 2\pi ( r_0 + t) = l_1 + 2\pi t \)이고, 감은 후의 반지름은 \( r_2 = r_1 + t = r_0 + 2t \)가 됩니다.3. 세번째 바퀴를 감을 때의 둘레는 \( l_3 = 2\pi\times r_2 = 2\pi ( r_0 + 2t) = l_1 + 4\pi t \)이고, 감은 후의 반지름은 \( r_3 = r_0 + 3t \)가 됩니다.
따라서, 매 바퀴마다 둘레는 \( 2\pi t \)씩 더해지고, 반지름은 \( t \)씩 증가합니다.
n바퀴를 감을 때의 둘레 :
\( l_n = l_1 + 2(n-1)\pi t \)이고, 감은 후의 반지름은 \( r_n = r_0 + n\times t \)가 됩니다.
종이를 \( n \) 바퀴 감았을 때의 총 길이와 반지름:
1. 반지름 증가:
- 첫 번째 감기 전의 반지름: \( r_0 = \frac{d}{2} \)
- 종이를 \( n \) 바퀴 감은 후의 반지름 \( r_n \)은:
\[
r_n = r_0 + n \times t = \frac{d}{2} + n \times t
\]2. 감은 종이의 총 길이:
- 종이를 \( n \) 바퀴 감았을 때의 총 종이 길이 \( L_n \)은:
\[
L_n = l_1 + l_2 + l_3 + \dots + l_n
\]
- 각 바퀴마다 길이는 \( l_n = 2\pi (r_0 + (n-1)t) \)이므로, 총 길이를 구하려면 이를 합산합니다:
\[
L_n = \sum_{k=0}^{n-1} 2\pi \left( r_0 + k \cdot t \right)
= 2\pi \left( n \cdot r_0 + t \cdot \frac{n(n-1)}{2} \right)
\]
여기서 \( \dfrac{n(n-1)}{2} \)는 0부터 \( n-1 \)까지의 정수들의 합입니다.n(감은 횟수)을 먼저 구하고, n을 $ r_n $ 공식에 대입하면 값이 찾아집니다.
본문과 약~~~간의 오차가 있긴 한데... 무시해도 될 것 같지만... 차이가 왜 났는지??
본문방법 r=0.147383629719*_m
댓글방법 r=0.14740778503082
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TI-nspire 에서 단위를 수식에 미리 넣으면?
자동으로 approx 로 변형되어 버리네요. 보기가 조금 더 힘든 듯...
그냥 변수만 대입해 넣고, 숫자 대입할 때 한가지 단위(meter)로 통일하는 편이 좋겠습니다.
이 편이 단위 때문에 발생할 수 있는 오해 소지도 적을 것 같구요.