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    • [TI-Nspire] 기본 기능을 이용한 라플라스 변환

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      • 세상의모든계산기
      • 2025.09.05 - 13:00 2024.10.17 - 22:21 2134 1
    이 문서는 TI-89 용으로 제작된 다음 링크 http://www.seg.etsmtl.ca/ti/laplace.html 를 
    한국어로 번역한 문서 https://allcalc.org/50260 를 TI-Nspire 용으로 추가 가공한 문서입니다. 

    image_fx_.jpg.png

    소개


    TI 계산기에는 라플라스 변환과 역변환을 계산하기 위한 미리 프로그래밍된 함수가 없습니다.

    하지만 여러 웹사이트에서 이를 제공합니다 :

    역자 주) TI-nspire 용으로 컨버팅 해당 문서는 https://allcalc.org/5003 입니다. 

     

    여기서 우리가 제안하는 것은, "TI의 기본 함수만을 사용하여도 충분히 잘 해낼 수 있다는 것을 보여주는 것"입니다.

     


     

    라플라스 변환


    먼저 라플라스 변환은 매개변수 s의 특정 값에 대해 수렴하는 이상적분임을 주목해야 합니다:

     

    $ f\left( t\right) \leftrightarrow F\left( s\right) \equiv \int _{0}^{\infty }f\left( t\right) \cdot e^{-s\cdot t}dt $

    image.png

    TI는 s에 대한 도메인이 지정되지 않으면 정의할 수 없습니다. (그림 1).∫(e^(−s*t),t,0,∞)|s>0

     

    라플라스 변환을 함수로 정의할 수 있습니다. 

    image.png

    하지만 TI-89와 달리 제약연산자(|) 를 한꺼번에 넣어서 정의하면 조각함수(piecewise function) 로 바뀌면서 오류가 발생합니다. 

    따라서 TI-nspire에서는 제약연산자 부분을 함수정의와 분리하고, 다시 함수와 결합해 사용해야 하는 불편함이 있습니다. 

     

    TI-89 에서는 위의 la(f,t,s) 함수의 수렴이 느려서 Lim 함수를 결합한 lala(f,t,s) 함수라는 대안을 찾았지만, 

    TI-nspire 에서는 속도가 충분히 빨라졌기 때문에 속도 때문에 대안을 찾을 필요는 없고, 

    다만 TI-89 에서 찾은 대안을 Nspire에서 사용하면 제약 연산자를 재결합해서 사용하지 않아도 되기 때문에 

    TI-nspire 에서도 유용한 대안이 됩니다.

    * 여기서는 lala(f,t,s) 대신 lapl(f,t,s) 라는 함수명을 사용하겠습니다. 

     

    image.png

    ㄴ lapl(f,t,s) := −lim(∫(f*e^(−s*t),t),t,0,1)

     

    무한대에서의 값이 0이 됨을 이용하여 부적절한 적분(undef)을 피할 수 있습니다.

    실제로, 라플라스 변환을 계산하는 함수들은 지수 차수입니다. 이는 s를 충분히 크게 선택하면

    $ \lim _{t\rightarrow \infty }f\left( t\right) \cdot e^{-s\cdot t}=0 $ 을 얻게 된다는 것을 의미합니다.


    부정적분 을 계산한 후에는 (f가 모든 곳에서 연속이고 TI가 적분 상수를 추가하지 않는다고 가정하면)

    $ \int f\left( t\right) \cdot e^{-st}dt $ 라고 하면 됩니다.

     

    극한은 t = 0에서의 평가가 0의 오른쪽에서 계산되어야 한다는 사실에서 비롯됩니다. 

     

    이제 훨씬 더 심각한 문제인 역변환을 다루겠습니다.

     


     

    역 라플라스 변환

     

    $ F\left( s\right) =\dfrac{1}{\left( s-2\right) ^{2}\cdot \left( s^{2}+6s+13\right) } $

     의 역변환 계산을 고려해 봅시다.


    여기서는 제곱 완성을 수행해야 합니다: 부분 분수 전개 전에 이를 수행하는 것이 좋습니다(그림 3).

    image.png

      

    변환 표에서 다음과 같은 대응관계를 알아야 합니다:

    $ \dfrac{s+a}{\left( s+a\right) ^{2}+b^{2}}\leftrightarrow e^{-at}\cos bt,\dfrac{b}{\left( s+a\right) ^{2}+b^{2}}\leftrightarrow e^{-at}\sin bt $

    $ \dfrac{1}{s+a}\leftrightarrow e^{-at}\text{ and }\dfrac{1}{\left( s+a\right) ^{2}}\leftrightarrow t\cdot e^{-at} $

     

    따라서 답은

    $ f\left( t\right) =\dfrac{10e^{-3t}\cos 2t}{841}+\dfrac{21e^{-3t}\sin 2t}{1682}-\dfrac{10e^{2t}}{841} +\dfrac{t \cdot e^{2t}}{29} $

    입니다.

     

    컨볼루션으로도 진행할 수 있습니다:

    컨볼루션 속성에 따르면 F(s) = X(s) H(s)인 경우,

    $ \text{with } F\left( s\right) \leftrightarrow f\left( t\right), X\left( s\right) \leftrightarrow x\left( t\right) \text{ and } H\left( s\right) \leftrightarrow h\left( t\right), $ 

    $ \text{then } f\left( t\right) = x\left( t\right) \ast h\left( t\right) \equiv \int _{0}^{t}x\left( \tau \right) h\left( t-\tau \right) d\tau $

    입니다.

     

    여기서 우리는 다음 식을 얻습니다. :

    $ F\left( s\right) =\dfrac{1}{\left( s-2\right) ^{2}\cdot \left( s^{2}+6s+13\right) } $

    $ =\left( \dfrac{1}{\left( s-2\right) ^{2}}\right) \left( \dfrac{1}{\left( s+3\right) ^{2}+4}\right) \leftrightarrow t\cdot e^{2t}\ast \dfrac{1}{2}e^{-3t}\sin 2t $

     

    그리고 TI는 컨볼루션 적분을 처리합니다(그림 4 a 참조).

    image.png

    그림 4 b와 4 c는 결과의 단순화를 보여줍니다.

     

    복소수를 사용하여 부분 분수로 전개할 수도 있습니다.

    TI에서 선언되지 않은 변수는 실수로 간주되지만, 이 변수에 밑줄 "_" 기호를 추가하면 복소수로 간주됩니다.

    실제로 s가 실수인지 복소수인지에 따라 TI가 $ \dfrac{1}{s+i} $ 를 어떻게 단순화하는지 보세요(그림 5).

    image.png

     

    이 단계에서 대응관계 $ \dfrac{1}{s+a} \leftrightarrow e^{at} [ Re\left( s\right) > -a] $   와

    오일러 공식 $e^{it} =\cos(t) + i \sin(t) , \left( t\in R\right) $ 을 사용하면 복소 부분 분수가 수행된 후 역 라플라스 변환을 계산할 수 있습니다.


    여기서 g(s)라고 부를  $ F\left( s\right) =\dfrac{1}{\left( s-2\right) ^{2}\cdot \left( s^{2}+6s+13\right) } $  의 예를 다시 살펴봅시다.

    부분 분수로 전개하기 전에 복소수로 인수분해하는 것이 중요합니다(그림 6 a);

    image.png

    이 작업은 s가 복소수라는 제약 하에 수행됩니다(그림 6 b 및 6 c).

     

    그런 다음 복소 근이 켤레 쌍으로 나타난다는 사실을 이용하여

    $ ze^{\left( 3+2i\right) t}+\overline{z}e^{\left( 3-2i\right) t}-\dfrac{10}{841}e^{2t}+\dfrac{1}{29}te^{2t}$  라고 쓰면 됩니다.

    여기서 z는 숫자 $ z = \dfrac{5}{841} + \dfrac{21}{3364}i $ 로 정의되었습니다.


    TI는 "conj"를 사용하여 복소수를 켤레복소수로 만듭니다(그림 7).

    image.png

     


     

    미분방정식 시스템과 라플라스 변환


    TI는 라플라스 변환을 사용하여 미분방정식 시스템을 해결하는 데 매우 유용할 수 있습니다.

    계산기가 길고 지루한 계산을 처리하므로 사용자는 해결할 방정식만 지정하면 됩니다.

     

    다음 시스템을 고려해 봅시다:

    $ \begin{cases}\dfrac{dx}{dt}-3x-6y=27t^{2},,x\left( 0\right) =5\\ \dfrac{dx}{dt}+\dfrac{dy}{dt}-3y=5e^{t},y\left( 0\right) =-1\end{cases} $

     

    s 도메인으로 변환하면 다음을 얻습니다:

    $ \begin{cases}sX-5-3X-6Y=\dfrac{54}{s^{3}}\\ sX-5+sY+1-3Y=\dfrac{5}{s-1}\end{cases} $

     

    여기서 X와 Y는 각각 x와 y의 라플라스 변환을 나타냅니다. 마지막으로, 우리 시스템을 행렬 형태로 다시 쓰면 다음을 해결해야 합니다:

    $ \begin{bmatrix} s-3 & -6 \\ s & s-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{54}{s^{3}}+5 \\ \dfrac{5}{s-1}+4 \end{bmatrix} $

    TI가 개입하고 우리는 행렬을 정의합니다(그림 8).

    image.png

    계수 행렬을 m이라고 부르고 오른쪽 행렬을 b라고 부르기로 합니다.

    좋은 옛날 크라머 방법은 이제 쓸모없어졌습니다!

    실제로 TI의 "simult" 함수를 사용하면 정사각형 선형 시스템을 해결할 수 있습니다(그림 9).

    지루한 행렬식의 몫을 계산할 필요가 없습니다(또는 를 입력해도 결과는 같았을 것입니다).

     

    이제 부분 분수로 전개하기만 하면 됩니다.
    "expand" 명령은 리스트와 행렬에서도 작동합니다. "expand"의 구문은 expand(exp [, var])입니다. (그림 10).

    image.png

     

    라플라스 변환 표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

     

    $ x\left( t\right) =3e^{t}+2+6t-9t^{2} $

    $ y\left( t\right) =-e^{t}-6t $

    Attached file
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    댓글1

    • Profile 0
      세상의모든계산기
      2024.10.18 - 12:45 2024.10.18 - 12:43 #50408

      내용을 완벽하게 이해하고 작성한 것이 아니라서,

      수식을 LaTeX 로 변환하는 과정에서 오역 / 누락 / 오타가 있을 수 있습니다.
      발견시 제보 바랍니다.

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    • 157 nspire [TI-nspire] 복소수 Complex number, 페이저 Phaser 관련 기본 입력 및 기능
    • 세상의모든계산기 2015.03.09 - 11:53 39940 18
    • 1. 설정하기 (Document Settings) 복소수 관련하여 설정할 것은 다음 두가지 항목 입니다. Real or Complex Format : Real / Rectangular / Polar Angle : Degree / Radian / Gradian 복소수를 다뤄야 하기 때문에 1.에서 Real 로 두는 것은 바람직하지 않습니다. ㄴ Rectangular(직교좌표) 또는 Polar(극좌표) 형식 중 하나를 선택해 주세요. (최종 결과값 형식에 영향을 미칩니다) 각도 설정은 디그리 / 라디안 중 주로 사용하는 것으로 결정하시면 됩니다만... 가급적이면 라디안으로 두는 것이 좋습니다. 아래 스샷처럼 세팅에 따라 결...
    • 156 nspire [TI-nspire] 통계 - normCdf 누적분포함수, 정규분포 문제 풀이, feat. binomcdf
    • 세상의모든계산기 2015.10.13 - 15:56 3093 3
    • 1. 정규분포 normCdf(lowBound,upBound[,μ[,σ]]) ⇒ number if lowBound and upBound are numbers, list if lowBound and upBound are lists Computes the normal distribution probability between lowBound and upBound for the specified μ (default=0) and σ (default=1). For P(X ≤ upBound), set lowBound = -9E999. 문제 출처 : http://math7.tistory.com/49 1. 평균 800, 표준편차 40 정규분포 x≤750 일 확률? normCdf(−∞,750,800,40) = normCdf(−∞,−1.25,0,1) = normCdf(−∞,−1.25) = 0.10564983896266 2. 평균 11, 분산 16 정규분...
    • 155 nspire [TI-nspire] 계산 모드 : 근사값 vs 참값 Calculation Mode : Approx vs Exact
    • 세상의모든계산기 2015.04.16 - 09:00 5013 4
    • [TI-nspire] 에서는 결과를 정확하게 계산하여 보여주기도 하고, 대충 근사값으로 계산해서 그 값을 보여주기도 합니다. 보통의 경우라면 정확한 값을 나타내주는 Exact 모드가 좋습니다만, 때에 따라서는 Approx 모드가 편리할 때도 있습니다. 참 값 예) √2, sin-1(1/3) 사용자가 설정으로 지정할 수도 있고 또는 개별 계산과정에서 선택할 수도 있으니, 설정에서는 'AUTO' 혹은 'EXACT' 로 설정해 두고, 필요할 때만 【ctrl】【enter】 를 이용해 근사값을 구하는 방식이 (일반적으로는) 가장 효율적입니다. 1. 설정으로 변경 (지속 적용...
    • 154 공통 [TI] 계산 결과가 분수나 루트꼴 대신에 소수로 나오게 하는 방법
    • 세상의모든계산기 2015.11.16 - 19:06 11132 2
    • 구형 공학용 계산기가 아닌 이상, 공학용 계산기는 근사값보다는 정확한 값(=Exact)을 표시하는 것을 추구합니다. 그래서 분수, 루트, 파이 등의 형태가 나왔을 때 굳이 소수형식으로 변경하지 않고, 원래의 형태로 출력합니다. 그 값을 소수로 계산한 결과가 궁금할 때에는 다음의 방법 중 하나를 선택하여 답을 얻을 수 있습니다. 1. 개별 계산시 직접 명령 [TI-89] 【◆】【ENTER】 approx(수식) 【enter】 [TI-nspire] 【ctrl】【enter】 approx(수식) 【enter】 2. 모드 셋업에서 Exact → Approx 로 변경 : 항상 근사값으로 계산하기 ...
    • 153 nspire [TI-nspire] approx() 함수 ↔ exact() 함수
    • 세상의모든계산기 2015.10.26 - 19:20 1180 1
    • 1. approx() [TI-nspire]에서 프로그램을 만들다보면 생각지 못한 곳에서 시간이 걸린다거나, 오류가 발생하는 경우가 있습니다. 이럴 때 계산식을 approx()로 감싸주면 해결이 되기도 하는데요. 결과를 도출해 내는데 결정적인 부분이 아니라면 approx() 를 적당히 써주는 것도 나쁘지 않은 것 같습니다. 예를 들자면... cos(x)>0 의 결과로서 True or False 를 되돌려주기를 기대하겠지만, 특정한 각도가 아니면 cos(x)>0 가 그대로 나오는 문제가 있습니다. 이럴 때 approx() 가 도움이 될 수 있습니다. ㄴ In Radian Mode * 프로그램이...
    • 152 nspire [TI-nspire cas] integral(), 적분, 정적분, 부정적분
    • 세상의모든계산기 2015.08.16 - 19:40 6975 9
    • 1. 적분 기호 입력 방법 (택1) 템플릿 키를 눌러서 입력 * 정적분 템플릿 선택시 -> 정적분/부정적분 입력 가능 * 부정적분 템플릿 선택시 -> 부정적분만 입력 가능 / 구간입력 불가능 / 적분상수 입력 불가능 키보드로 정적분 템플릿 삽입 【SHIFT】【+】 키보드로, 또는 카탈로그에서 integral () 을 직접 입력 2. 함수 사용법 ∫(Expr1,Var[,Lower,Upper])⇒ expression (범위 입력시 정적분) ∫(Expr1,Var[,Constant])⇒ expression (적분상수 입력시 부정적분) ※ 범위, 적분상수 모두 입력 안하면 ⇒ 부정적분, 적분상수 별도 표시 안함. 3...
    • 151 nspire 라이브러리 객체 사용하기 (Using Library Object)
    • 세상의모든계산기 2021.11.01 - 19:02 2160 7
    • 1. "라이브러리"란? "라이브러리"는 내장 기능과 사용자 정의 기능을 통합한 모든 기능의 집합입니다. 집합은 변수, 함수, 프로그램으로 구성됩니다. 내장 기능은 사용자가 접근할 수 있는 폴더에서 볼 수 없으며, 사용자 정의 기능은 My Document 폴더 아래의 MyLib 폴더에 저장하여야 합니다. 2. 사용자 정의 라이브러리 User Defined Library 생성 또는 다운로드 Public vs Private 의 결정 둘의 차이는 Catalog List (Utilities) 에 보이냐 안보이냐의 차이 뿐입니다. * Non-library 로 지정된 오브젝트는 다른 problem 또는 다른 file...
    • 150 nspire TI Nspire 로 PC 파일 전송하기 - Student Software 이용
    • 세상의모든계산기 2025.04.23 - 15:38 287
    • 1. PC Student Software 에서 파일 저장하기 단축키 Ctrl+S 또는 마우스로 저장 아이콘인 디스켓 모양을 클릭해서 저장합니다. 계산기에서는 한글 표시가 되지 않기 때문에 영문명으로 작성하세요. (띄어쓰기는 인식합니다) 2. Contents Explorer 탭으로 이동하기 프로그램 왼쪽 위를 보시면 Document Toolbox 가 있고, 그 중에서 5번째 아이콘이 Contents Explorer 입니다. 왼쪽(Content Explorer) 목록에서 윗쪽은 PC 아랫쪽은 handheld 계산기를 나타냅니다. 왼쪽 위 목록에서 옮기려는 파일을 찾고, 마우스로 드래그해서 아래 계산기로...
    • 149 nspire [TI-nspire] 행렬 LU 분해 = LU Decomposition = LU fatorization
    • 세상의모든계산기 2015.11.02 - 15:55 6651 7
    • 1. LU 분해란? 행렬 A 를 Lower 행렬과 Upper 행렬의 곱으로 분해하는 것을 의미합니다. A = L×U 를 만족하는 행렬 L과 행렬 U를 찾는 과정이라고 할 수 있습니다. 2. TI-nspire 에서의 LU 명령어 분명 책에서는 A를 그냥 L*U 로 분해하라고 했는데... nspire 에서는 P*A = L*U 꼴로 지맘대로 변형하여 분해하기 때문에 답안지와 다른 풀이를 보여줄 수도 있습니다. 원하는 L × U = A nspire 에서 바뀌어버린 1행과 2행 LU Matrix,lMatrix,uMatrix,pMatrix[,Tol] ㄴ permutation matrix 를 보면 1행과 2행이 바뀐 상황 3. 팁 : 행이 섞이지...
    • 148 nspire [TI-nspire] DMS, 도분초 관련 기능
    • 세상의모든계산기 2025.02.05 - 14:25 828 5
    • TI-Nspire 계산기 설정에서 각도는 Radian / Degree / Gradian 3가지 중 하나로 설정할 수 있습니다. 이 때 Degree(도) 는 계산기에서는 소숫점 형태를 기본으로 합니다. 즉, 계산 결과값이 1.5˚에 해당할 때는 각도 단위는 생략하고 수치값 1.5 만을 결과로 표시하죠. 이 소숫점 값은 도분초(DMS) 형식으로 표현할 수도 있고, 반대로 도분초(DMS) 형식의 값을 (각도단위를 생략한) Decimal 형식으로 표현할 수도 있습니다. 그리고 소숫점 값에 각도단위만 붙여 표현하게 할 수도 있습니다. DMS 형식으로 입력하려면 1. 템플릿 키를 눌러서...
    • 147 nspire [TI-nspire] 계산기 입력 한계를 넘는 큰 숫자의 계산
    • 세상의모든계산기 2015.01.28 - 16:59 2013 1
    • 1. 계산식 $ 100 \times \left(e^{-4000} \times \left(3 \times e^{2000} - 5\right)^2\right) $ 2. [TI-nspire] 계산기 계산결과 3. [Wolfram-Alpha] 계산 결과 Result : 900.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000... 4. TI-nspire 분석 괄호 안의 계산을 마친 후에 괄호 밖을 계산하도록 설계된 듯 함. 괄호 안이 계산기 허용 한계치를 넘음 ∞ 로 반환되어 overflow 발생 다음 계산 불가능 5. 해결 방법 지수부분을 처리하기 전에 expand 명령으로 적당히 분리시킴 분리 부분이 1/∞ 꼴이 되어 0이 되도록 만듦 ...
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