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테일러 급수 Taylor Series
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- 2024.11.01 - 23:36 2015.10.12 - 20:57 3452 6
테일러 급수(Taylor series)는 함수 \( f(x) \)를 주어진 점 \( a \)를 중심으로 다항식의 형태로 근사하는 방법입니다.
이는 특정 점 주변에서 함수의 값을 근사하기 위해 함수의 도함수 값을 활용하여 무한급수의 형태로 표현합니다.
테일러 급수의 정의
주어진 함수 \( f(x) \)가 \( a \)에서 \( n \)차 미분 가능할 때, \( f(x) \)의 \( a \)를 중심으로 한 테일러 급수는 다음과 같이 정의됩니다:
\[
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots
\]
즉, 일반적인 형태는 다음과 같습니다:
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
\]
여기서:
- \( f^{(n)}(a) \)는 \( f(x) \)의 \( n \)차 미분을 \( a \)에서 평가한 값입니다.
- \( n! \)는 \( n \)의 팩토리얼로, \( n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1 \)입니다.
- \( (x - a)^n \)는 \( x \)와 \( a \)의 차이를 \( n \)차까지 곱한 것입니다.
테일러 급수의 적용
테일러 급수는 다음과 같은 경우에 유용합니다:
1. 근사 계산: 복잡한 함수를 다항식으로 근사하여 계산을 간단히 할 수 있습니다.
2. 해석적 함수 연구: 함수의 성질을 분석하고 극한, 연속성, 미분 가능성을 연구하는 데 도움을 줍니다.
3. 수치해석: 수치적 방법에서 많은 알고리즘의 근본이 됩니다.
예시
함수 \( e^x \)의 테일러 급수는 \( a = 0 \)을 중심으로 하면 다음과 같이 됩니다:
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
\]
또한, \( \sin(x) \)의 테일러 급수는 다음과 같습니다:
\[
\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}
\]
이러한 테일러 급수는 \( x \)가 0에 가까운 경우 \( e^x \)와 \( \sin(x) \)의 값에 매우 잘 근사합니다.
결론
테일러 급수는 함수 근사의 강력한 도구로, 미적분학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 널리 사용됩니다. 이를 통해 복잡한 함수도 간단한 다항식으로 접근하여 다양한 문제를 해결할 수 있습니다.
참고
http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=5561
https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%85%8C%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EA%B8%89%EC%88%98
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댓글6
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세상의모든계산기
[TI-nspire] 의 taylor() 내장 함수
taylor(sin(x),x,13)
ㄴ 상단 : Degree, 하단 : Radian
* 이런 저런 이유로 각도 설정은 항상 Radian 으로 하는 것이 좋음.
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세상의모든계산기
예시에서 0 을 중심으로 테일러 급수를 전개한 이유는?
테일러 급수를 0을 중심으로 전개하면 '매클로린 급수'라고도 불리는 특별한 경우의 테일러 급수가 됩니다.
- 계산의 단순화: 0을 중심으로 전개하면 계산이 상대적으로 간단해집니다. x^n 항의 계수가 f^(n)(0) / n!로 표현되어, 많은 함수에서 이 값을 쉽게 계산할 수 있습니다.
- 대칭성: 많은 중요한 함수들(예: e^x, sin(x), cos(x))이 원점에 대해 대칭적인 성질을 가집니다. 0을 중심으로 전개하면 이러한 대칭성을 잘 활용할 수 있습니다.
- 표준화: 0을 기준점으로 사용하면 다양한 함수들을 일관된 방식으로 비교하고 분석할 수 있습니다.
- 수학적 편의성: 많은 수학적 정리와 응용에서 0을 중심으로 한 급수 전개가 유용하게 사용됩니다.
- 오차 분석: 0 주변에서의 근사는 오차 분석이 상대적으로 쉽습니다.
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세상의모든계산기
테일러 급수의 오차 한계는?
테일러 급수에서 오차는 보통 테일러 급수의 n차 항까지 근사했을 때 실제 함수 값과의 차이로 정의됩니다.
이 오차를 나타내는 대표적인 표현이 테일러 정리의 나머지항(Remainder Term)입니다.
일반적으로 오차의 한계를 제시할 때는 라그랑주 잔여항(Lagrange Remainder) 또는 코시 잔여항(Cauchy Remainder)를 사용합니다.
만약 어떤 함수 \( f(x) \)를 \( a \)를 중심으로 한 테일러 급수로 근사한다고 할 때, 테일러 급수의 \( n \)차 항까지 근사한 오차는 다음과 같은 형태로 주어집니다.
라그랑주 잔여항에 의한 오차
라그랑주 잔여항 \( R_n(x) \)은 다음과 같이 표현됩니다:
\[
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x - a)^{n+1}
\]여기서:
- \( f^{(n+1)}(c) \)는 \( a \)와 \( x \) 사이의 어떤 점 \( c \)에서의 \( (n+1) \)차 미분값입니다.
- \( (n+1)! \)은 \( n+1 \) 팩토리얼입니다.
- \( (x - a)^{n+1} \)는 \( x \)와 중심 \( a \) 간의 거리의 \( (n+1) \)제곱입니다.- 테일러 전개를 통해 n번째 항까지 사용하였다면, n+1번째 항이 오차 한계에 해당함을 알 수 있습니다.
이 표현을 통해 오차의 크기를 다음과 같이 한정할 수 있습니다:
\[
|R_n(x)| \leq \frac{\max_{c \in [a, x]} |f^{(n+1)}(c)|}{(n+1)!} |x - a|^{n+1}
\]
따라서, 주어진 구간에서 \( f^{(n+1)}(c) \)의 최대값을 알면, 이 잔여항을 이용하여 테일러 급수 근사 오차의 한계를 추정할 수 있습니다.이 오차는 테일러 급수의 차수가 높아질수록 작아지며, 중심에 가까운 점일수록 더 정확한 근사를 제공합니다.
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세상의모든계산기
예) 구간[3,5] 에서 f(x)=√x 의 근사값을 a=4 에서의 2차 테일러 다항식을 이용하여 구할 때, 테일러 부등식에 의한 오차의 한계로 가장 적절한 것은?
(단, $ \dfrac{1}{3^{5/2}} \approx 0.064, \dfrac{1}{4^{5/2}} \approx 0.031, \dfrac{1}{5^{5/2}} \approx 0.018) $)
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
교점이 2개 이상일때 모든 값을 구하는 법 계산기마다 가능/불가능이 갈릴 수도 있고, 수식에 따라 가능/불가능이 갈릴 수도 있죠. 불확실할때는 그래프로 확인하세요. 2025 12.16 T가 410인 해를 찾는 방법 -> 초기값을 입력하세요. [공학용 계산기] 공학용 계산기의 꽃? solve (솔브) 기능 이해하기 (Newton-Raphson 법, 뉴튼법) https://allcalc.org/11532 2025 12.16 참고 - [공학용 계산기] 정적분 계산 속도 벤치마크 비교 https://allcalc.org/9677 2025 12.11 다른 계산기의 경우와 비교 1. TI-nspire CAS ㄴ CAS 계산기는 가능한 경우 부정적분을 먼저하고, 그 값에 구간을 대입해 최종값을 얻습니다. ㄴ 부정적분이 불가능할 때는 수치해석적 방법을 시도합니다. 2. CASIO fx-991 ES Plus ㄴ CASIO 계산기의 경우, 적분할 함수에 따라 시간이 달라지는 것으로 알고 있는데, 정밀도를 확보할 별도의 알고리즘을 채택하고 있는 것이 아닐까 생각되네요. 2025 12.11 일반 계산기는 보통 리셋기능이 따로 없기 때문에, 다른 요인에 영향을 받을 가능성은 없어 보이구요. '원래는 잘 되었는데, 지금은 설정 값이 날아간다'면 메모리 값을 유지할만큼 배터리가 꾸준하게 공급되지 않기 때문일 가능성이 높다고 봐야겠습니다. - 태양광이 있을 때는 계산은 가능하지만, 서랍등에 넣으면 배터리가 없어서 리셋 https://blog.naver.com/potatoyamyam/223053309120 (교체 사진 참조) 1. 배터리 준비: * 다이소 등에서 LR54 (LR1130) 배터리를 구매합니다. (보통 4개 들이 1,000원에 판매됩니다. LR44와 높이가 다르니 혼동하시면 안됩니다.) 2. 준비물: * 작은 십자드라이버 (계산기 뒷면 나사용. 이것도 없으시면 다이소에서...) 3. 커버 분해: * 계산기 뒷면의 나사를 풀고, 머리 부분(윗부분)의 커버를 조심스럽게 분해합니다. (참고해주신 블로그 사진을 보시면 이해가 빠르실 겁니다.) 4. 배터리 교체: * 기존 배터리를 빼냅니다. * 새 LR54 배터리의 '+'극 방향을 정확히 확인하여 제자리에 넣어줍니다. (대부분의 경우 '+'극이 위로 보이도록 넣습니다.) 5. 조립: * 커버를 다시 닫고 나사를 조여줍니다. * 블로그 사진을 보니 배터리 연결선 등이 눌려서 씹혀 있네요. 원래 씹히도록 설계를 안하는데, 원래 그렇게 만들어 놓은 건지? 모르겠네요. 여튼 씹히면 단선될 가능성이 있으니, 잘 보시고 플라스틱 틈새 등으로 적절히 배치해서 안씹히게 하는 것이 좋습니다. 6. TAX 재설정: * 계산기의 전원을 켜고 TAX 요율을 10%로 다시 설정합니다. 2025 12.10