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테일러 급수 Taylor Series
테일러 급수(Taylor series)는 함수 \( f(x) \)를 주어진 점 \( a \)를 중심으로 다항식의 형태로 근사하는 방법입니다.
이는 특정 점 주변에서 함수의 값을 근사하기 위해 함수의 도함수 값을 활용하여 무한급수의 형태로 표현합니다.
테일러 급수의 정의
주어진 함수 \( f(x) \)가 \( a \)에서 \( n \)차 미분 가능할 때, \( f(x) \)의 \( a \)를 중심으로 한 테일러 급수는 다음과 같이 정의됩니다:
\[
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots
\]
즉, 일반적인 형태는 다음과 같습니다:
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
\]
여기서:
- \( f^{(n)}(a) \)는 \( f(x) \)의 \( n \)차 미분을 \( a \)에서 평가한 값입니다.
- \( n! \)는 \( n \)의 팩토리얼로, \( n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1 \)입니다.
- \( (x - a)^n \)는 \( x \)와 \( a \)의 차이를 \( n \)차까지 곱한 것입니다.
테일러 급수의 적용
테일러 급수는 다음과 같은 경우에 유용합니다:
1. 근사 계산: 복잡한 함수를 다항식으로 근사하여 계산을 간단히 할 수 있습니다.
2. 해석적 함수 연구: 함수의 성질을 분석하고 극한, 연속성, 미분 가능성을 연구하는 데 도움을 줍니다.
3. 수치해석: 수치적 방법에서 많은 알고리즘의 근본이 됩니다.
예시
함수 \( e^x \)의 테일러 급수는 \( a = 0 \)을 중심으로 하면 다음과 같이 됩니다:
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
\]
또한, \( \sin(x) \)의 테일러 급수는 다음과 같습니다:
\[
\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}
\]
이러한 테일러 급수는 \( x \)가 0에 가까운 경우 \( e^x \)와 \( \sin(x) \)의 값에 매우 잘 근사합니다.
결론
테일러 급수는 함수 근사의 강력한 도구로, 미적분학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 널리 사용됩니다. 이를 통해 복잡한 함수도 간단한 다항식으로 접근하여 다양한 문제를 해결할 수 있습니다.
참고
http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=5561
https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%85%8C%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EA%B8%89%EC%88%98
댓글 4
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f(x) = e^x 의 테일러 급수 근사값 그래프
테일러 급수 비교
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예시에서 0 을 중심으로 테일러 급수를 전개한 이유는?
테일러 급수를 0을 중심으로 전개하면 '매클로린 급수'라고도 불리는 특별한 경우의 테일러 급수가 됩니다.
- 계산의 단순화: 0을 중심으로 전개하면 계산이 상대적으로 간단해집니다. x^n 항의 계수가 f^(n)(0) / n!로 표현되어, 많은 함수에서 이 값을 쉽게 계산할 수 있습니다.
- 대칭성: 많은 중요한 함수들(예: e^x, sin(x), cos(x))이 원점에 대해 대칭적인 성질을 가집니다. 0을 중심으로 전개하면 이러한 대칭성을 잘 활용할 수 있습니다.
- 표준화: 0을 기준점으로 사용하면 다양한 함수들을 일관된 방식으로 비교하고 분석할 수 있습니다.
- 수학적 편의성: 많은 수학적 정리와 응용에서 0을 중심으로 한 급수 전개가 유용하게 사용됩니다.
- 오차 분석: 0 주변에서의 근사는 오차 분석이 상대적으로 쉽습니다.
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$ 1.04^{\frac{2}{3}} $ 을 테일러 급수를 이용해 계산한다면?
테일러 급수 근사 계산기
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[TI-nspire] 의 taylor() 내장 함수
taylor(sin(x),x,13)
ㄴ 상단 : Degree, 하단 : Radian
* 이런 저런 이유로 각도 설정은 항상 Radian 으로 하는 것이 좋음.