Heaviside Step function, 단위 계단 함수 (= Unit Step Function)

헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function) 또는 단위 계단 함수는 특정 시점을 기준으로 함수의 값이 갑작스럽게 변하는 불연속 함수입니다. 이 함수들은 수학적 분석에서 시스템의 상태 변화나 신호의 시작을 모델링할 때 매우 유용하게 사용됩니다. 다음은 헤비사이드 계단 함수(=단위 계단 함수)의 개요입니다.

 

 

1. 정의 및 기본 표현

단위 계단 함수는 시간 또는 독립 변수의 값이 특정 지점에서 변하는 불연속적인 함수로, 가장 일반적인 형태는 아래와 같습니다:

\[
u(t) =
\begin{cases}
0 , & \text{if } t < 0 \\
1 , & \text{if } t \geq 0
\end{cases}
\]

여기서 \( t = 0 \)을 기준으로 함수 값이 0에서 1로 전환됩니다.

※ 어떤 정의에서는 H(0)=0.5 으로 나누어 3 구간으로 정의하기도 합니다. 

 

이 함수는 신호의 "켜짐"을 나타낼 때 유용하며, 물리학, 전기공학, 제어 시스템, 신호 처리 등 다양한 분야에서 활용됩니다.

- 단위 계단 함수는 영어로 "Unit Step Function"이라고 불리며, 헤비사이드 계단 함수는 영국 수학자 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside)의 이름을 따서 명명되었습니다. 이 둘은 본질적으로 동일한 함수입니다. Heavy 한 side 가 아닙니다. 

 

 

2. 일반화된 형태

단위 계단 함수는 특정 시점 \( t = a \)에서 신호가 발생하는 상황도 표현할 수 있습니다. 이때, 단위 계단 함수는 다음과 같은 일반화된 형태로 나타납니다:

\[
u(t - a) =
\begin{cases}
0 , & \text{if } t < a \\
1 , & \text{if } t \geq a
\end{cases}
\]

여기서 \( u(t - a) \)는 \( t = a \)에서 신호가 0에서 1로 전환됨을 나타냅니다. 예를 들어, \( u(t - 2) \)는 \( t = 2 \)에서 값이 1로 변하는 함수입니다.

 

 

3. 헤비사이드 계단 함수의 역할

단위 계단 함수는 주로 신호의 켜짐과 꺼짐을 모델링합니다. 특히 다음과 같은 상황에서 매우 유용합니다:

- 시스템의 시작/정지: 시스템이 특정 시점에서 작동을 시작하거나 멈출 때, 이 상황을 수학적으로 표현하기 위해 단위 계단 함수를 사용합니다.
- 충격 응답 분석: 물리적 시스템에 순간적으로 힘이 가해질 때, 그 응답을 설명하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 기계적 시스템에서 순간적인 외부 힘이 작용할 때의 동작을 설명할 수 있습니다.
- 전기 신호 모델링: 특정 시간 이후에 켜지는 전기 신호나 회로의 스위칭 동작을 수학적으로 표현하는 데 자주 사용됩니다.

 

 

 

4. 라플라스 변환과 단위 계단 함수

 

라플라스 변환에서는 단위 계단 함수가 매우 중요한 역할을 합니다. 라플라스 변환을 통해 시간 영역에서 정의된 함수를 주파수 영역으로 변환하여 시스템 분석을 용이하게 할 수 있습니다. 단위 계단 함수의 라플라스 변환은 다음과 같이 나타납니다:

\[
\mathcal{L}\{ u(t - a) \} = \frac{e^{-as}}{s}
\]

여기서 \( u(t - a) \)는 \( t = a \)에서 신호가 시작되는 단위 계단 함수이며, \( e^{-as} \)는 신호가 \( t = a \) 시점에서 시작됨을 나타냅니다. 라플라스 변환에서는 이러한 계단 함수를 사용하여 시스템의 상태 전이나 특정 시간 이후에 발생하는 신호를 수학적으로 표현할 수 있습니다.

 

 

 

5. 단위 계단 함수와 함수 조합

단위 계단 함수는 다른 함수와 조합하여 특정 시간 이후에 발생하는 신호나 상태 변화를 나타내는 데 사용됩니다. 예를 들어, 다음과 같은 구간별 정의된 함수는 단위 계단 함수로 간단히 표현할 수 있습니다:

- 예시 1: \( f(t) = 
\begin{cases} 
0 , & t < 2 \\
1 , & t \geq 2 
\end{cases} \)
  
  이 함수는 \( f(t) = u(t - 2) \)로 표현됩니다.

- 예시 2: \( f(t) = 
\begin{cases} 
0 , & t < 1 \\
t - 1 , & t \geq 1 
\end{cases} \)
  
  이 함수는 \( f(t) = (t - 1)u(t - 1) \)로 표현됩니다.

이처럼, 구간별로 정의된 복잡한 함수들도 단위 계단 함수를 사용하여 단일 식으로 나타낼 수 있습니다. 이를 통해 계산이 간단해지고 분석이 용이해집니다.

 

sgn(x) = signum(x) 함수와의 관계 (H(0)=0.5 일 때)

 

sgn(x) = 2H(x) - 1

H(x) = (1/2)*(sgn(x)+1)

 

 

6. 단위 계단 함수의 미분 (디랙 델타 함수)

단위 계단 함수를 미분하면 디랙 델타 함수(Dirac delta function)가 나옵니다. 디랙 델타 함수는 특정 지점에서 무한대의 값을 갖고 그 외에는 0인 함수로, 이를 통해 매우 짧은 시간 동안 발생하는 순간적인 신호나 충격을 모델링할 수 있습니다.

\[
\frac{d}{dt}u(t) = \delta(t)
\]

디랙 델타 함수는 신호나 힘이 특정 순간에만 작용하는 시스템을 모델링하는 데 사용되며, 단위 계단 함수와 밀접한 관계가 있습니다.

 

 

 

7. 단위 계단 함수의 응용 분야

단위 계단 함수는 다양한 분야에서 사용됩니다. 대표적인 응용 분야는 다음과 같습니다:

- 신호 처리: 디지털 신호의 "켜짐"과 "꺼짐"을 표현하는 데 사용됩니다.
- 제어 이론: 시스템의 상태 전이를 모델링하고, 제어 시스템에서의 동작을 설명하는 데 필수적입니다.
- 물리학 및 공학: 순간적인 외부 힘이나 전기 신호의 도입을 표현할 때 자주 사용됩니다. 예를 들어, 전자회로에서 스위치의 작동이나 순간적인 전압 상승을 모델링할 수 있습니다.
- 수학적 모델링: 구간별로 정의된 복잡한 함수들을 더 간결하게 표현하고, 계산을 단순화하는 데 유용합니다.

 

 

 

정리

- 헤비사이드 계단 함수와 단위 계단 함수는 본질적으로 같은 함수로, 특정 시점에서 함수 값이 0에서 1로 변하는 불연속적인 함수입니다.
- 이 함수는 신호의 시작/정지, 시스템의 상태 변화 등을 표현하는 데 사용되며, 다양한 공학 및 과학 분야에서 중요하게 활용됩니다.
- 라플라스 변환에서 단위 계단 함수는 특정 시간 이후의 신호를 표현할 때 매우 유용하며, 미분하면 디랙 델타 함수와도 연결됩니다.
- 구간별로 정의된 함수는 단위 계단 함수를 사용해 간단하게 표현할 수 있습니다.