[확률] - 6/45 로또를 5게임을 선택 했을 때, 당첨 번호 6개 하나도 안맞을 확률은?

1. 게임간 숫자 중복 선택을 허용하지 않을 때 

문제 요약

- 45개의 번호 중 6개가 1등 번호입니다.
- 5게임을 중복 없이 선택하면 총 30개의 번호가 선택됩니다.
- 이 30개 번호 중에 1등 번호가 하나도 포함되지 않을 확률을 구하려고 합니다.

접근 방식

1. **총 경우의 수:**
   - 45개 숫자 중 30개를 선택하는 경우의 수는 \(\binom{45}{30}\)입니다.

2. **바람직하지 않은 경우의 수:**
   - 1등 번호 6개를 제외한 39개 숫자 중 30개를 선택하는 경우의 수는 \(\binom{39}{30}\)입니다.

3. **확률 계산:**
   - 확률은 \(\frac{\binom{39}{30}}{\binom{45}{30}}\)입니다.

계산

1. **총 경우의 수** \(\binom{45}{30}\) 계산:

\[
\binom{45}{30} = \frac{45!}{30! \times (45-30)!} = \frac{45!}{30! \times 15!}
\]

2. **바람직하지 않은 경우의 수** \(\binom{39}{30}\) 계산:

\[
\binom{39}{30} = \frac{39!}{30! \times (39-30)!} = \frac{39!}{30! \times 9!}
\]

3. **확률 계산**:

\[
P(\text{1등 번호 미포함}) = \frac{\binom{39}{30}}{\binom{45}{30}}
\]

수치 계산

- \(\binom{45}{30}\)의 값은 약 344,867,425,584 입니다.
- \(\binom{39}{30}\)의 값은 약 211,915,132 입니다.

따라서 확률은:

\[
P(\text{1등 번호 미포함}) = \frac{211,915,132}{344,867,425,584} \approx 0.00061448288901494
\]

이 확률은 약 0.061448288901494%입니다. 이는 30개의 숫자 중에 1등 번호가 하나도 포함되지 않을 확률이 매우 낮다는 것을 의미합니다.

통계적 검증

import random
import time

# Simulate lottery draws (number of simulations)
simulations = 1000000
progress_interval = simulations // 10  # Update progress every 1% of total simulations

favorable_cases = 0  # Initialize inside the loop
total_set = set(range(1, 46))  # 전체 집합

start_time = time.time()

for i in range(simulations):
    # Winning numbers (replace with actual winning numbers if desired)
    winning_numbers = set(random.sample(range(1, 46), 6))

    # Choose 30 unique numbers from the total 45 numbers
    chosen_30 = set(random.sample(sorted(total_set), 30))

    # The remaining 15 numbers that are not chosen
    remaining_numbers = total_set - chosen_30

    # Check if the winning numbers are in the remaining 15 numbers
    if set(winning_numbers).issubset(remaining_numbers):
        favorable_cases += 1

    # Print progress
    if (i + 1) % progress_interval == 0:
        elapsed_time = time.time() - start_time
        percentage = (i + 1) / simulations * 100
        estimated_total_time = (elapsed_time / (i + 1)) * simulations
        remaining_time = estimated_total_time - elapsed_time
        print(f"Progress: {percentage:.2f}% | Elapsed Time: {elapsed_time:.2f}s | Estimated Remaining Time: {remaining_time:.2f}s")

# Probability estimation
probability = favorable_cases / simulations

# Print final results
print(f"Estimated probability of NOT including all winning numbers in any of the 5 sets (without replacement, after {simulations} simulations): {probability:.10f}")

결과 

Estimated probability of NOT including all winning numbers in any of the 5 sets (without replacement, after 1000000 simulations): 0.0006410000
 

2. 게임간 숫자 중복 선택을 허용할 때

 문제 정의

- 전체 숫자: 1부터 45까지 (N = 45)
- 각 게임에서 선택하는 숫자: 6개 (k = 6)
- 게임 수: 5 (m = 5)
- 당첨 번호: 6개

우리는 5게임 중 어떤 게임에서도 6개의 당첨 번호가 포함되지 않을 확률을 구하려고 합니다.

 1. 각 게임에서 당첨 번호가 포함되지 않을 확률

하나의 게임에서 특정 6개의 당첨 번호가 포함되지 않을 확률을 계산합니다. 

- 전체 조합 수: \(\binom{45}{6}\)
- 특정 6개의 당첨 번호를 포함하지 않는 조합 수: \(\binom{39}{6}\) (총 45개 숫자에서 6개를 제외한 39개 숫자 중에서 6개를 선택하는 조합)

따라서, 하나의 게임에서 특정 6개의 당첨 번호가 포함되지 않을 확률은:

\[
P(\text{특정 번호 포함되지 않음}) = \frac{\binom{39}{6}}{\binom{45}{6}}
\]

 2. 5게임 모두에서 당첨 번호가 포함되지 않을 확률

5게임 모두에서 특정 6개의 당첨 번호가 포함되지 않을 확률을 계산합니다. 각 게임이 독립적이라고 가정하면, 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

\[
P(\text{5게임 모두에서 포함되지 않음}) = \left(\frac{\binom{39}{6}}{\binom{45}{6}}\right)^5
\]

 3. 수식 계산

# 전체 조합 수 계산
- 전체 6개 숫자를 선택하는 조합의 수:

\[
\binom{45}{6} = \frac{45!}{6!(45-6)!} = 8{,}145{,}060
\]

# 특정 번호를 포함하지 않는 조합의 수
- 39개 숫자 중에서 6개를 선택하는 조합의 수:

\[
\binom{39}{6} = \frac{39!}{6!(39-6)!} = 3{,}262{,}623
\]

# 확률 계산
- 특정 번호가 포함되지 않을 확률:

\[
\frac{\binom{39}{6}}{\binom{45}{6}} = \frac{3{,}262{,}623}{8{,}145{,}060} \approx 0.4005
\]

- 5게임 모두에서 포함되지 않을 확률:

\[
\left(\frac{3{,}262{,}623}{8{,}145{,}060}\right)^5 \approx 0.010312477830338
\]

 결론

따라서, 6개의 당첨 번호가 5게임 중 어디에도 포함되지 않을 확률은 약 0.01024 (즉, 약 1.024%)입니다.

 통계적 검증

from scipy.special import comb
import random
import time

# Simulate lottery draws (number of simulations)
simulations = 1000000
progress_interval = simulations // 10  # Update progress every 1% of total simulations

favorable_cases = 0  # Initialize inside the loop
winning_numbers = set(random.sample(range(1, 46), 6))

# Initialize min and max length trackers
min_length = float('inf')
max_length = float('-inf')

start_time = time.time()

for i in range(simulations):
    # Winning numbers (replace with actual winning numbers if desired)

    # Generate 5 sets of 6 random numbers
    chosen_numbers = [random.sample(range(1, 46), 6) for _ in range(5)]

    # Flatten the list and remove duplicates
    all_numbers = list(set([num for sublist in chosen_numbers for num in sublist]))
    total_set = set(range(1, 46))  # 전체 집합
    all_numbers_set = set(all_numbers)  # all_numbers를 집합으로 변환

    # 여집합 계산
    all_other_numbers = total_set - all_numbers_set

    # Update min and max length
    current_length = len(all_numbers)
    if current_length < min_length:
        min_length = current_length
    if current_length > max_length:
        max_length = current_length

    # Check if all winning numbers are included in the all_other_numbers
    if set(winning_numbers).issubset(all_other_numbers):
        favorable_cases += 1

    # Print progress
    if (i + 1) % progress_interval == 0:
        elapsed_time = time.time() - start_time
        percentage = (i + 1) / simulations * 100
        estimated_total_time = (elapsed_time / (i + 1)) * simulations
        remaining_time = estimated_total_time - elapsed_time
        print(f"Progress: {percentage:.2f}% | Elapsed Time: {elapsed_time:.2f}s | Estimated Remaining Time: {remaining_time:.2f}s")

# Probability estimation
probability = favorable_cases / simulations

# Print final results
print(f"Minimum length of all_numbers across simulations: {min_length}")
print(f"Maximum length of all_numbers across simulations: {max_length}")
print(f"Estimated probability of NOT including all winning numbers in any of the 5 sets (after {simulations} simulations): {probability:.10f}")

Minimum length of all_numbers across simulations: 15
Maximum length of all_numbers across simulations: 30
Estimated probability of NOT including all winning numbers in any of the 5 sets (after 1000000 simulations): 0.0103890000

3. 반대의 경우 : 1등 번호를 모두 포함할 때

https://allcalc.org/45197