✦ 미분적분학의 기본 정리(Fundamental Theorem of Calculus, FTC)는 미분과 적분이라는 전혀 별개로 보이던 두 개념을 하나로 연결하는 수학의 핵심 정리입니다.

이 정리는 크게 두 부분으로 나뉘며, 각각의 의미와 정의를 상세히 정리해 드립니다.

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  1. 미분적분학의 제1 기본정리 (FTC 1)
  "적분한 함수를 미분하면 원래 함수가 된다"는 것을 증명합니다. 즉, 미분과 적분은 서로 역연산 관계임을 보여줍니다.

   * 정의: 함수 $f$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고, $x$가 $[a, b]$ 내의 임의의 점일 때, 다음과 같이 정의된 함수 $g(x)$는
      $$g(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$$
      구간 $[a, b]$에서 연속이고 $(a, b)$에서 미분 가능하며, 그 미분값은 다음과 같습니다.
      $$g'(x) = f(x)$$
   * 의미: 어떤 함수를 $a$부터 $x$까지 정적분하여 만든 새로운 함수(적분함수)를 미분하면, 적분 기호 내부의 피적분 함수 $f$에 $x$를 대입한 결과가 나옵니다.
   * 응용: 아래 계산기 우회법에서 사용할 원리가 바로 이것입니다. $\int_{0}^{A} x \, dx$를 $A$에 대해 미분하면 피적분 함수인 $A$가 그대로 튀어나오기 때문에,
     뉴턴-랩슨 법의 분모(미분값)로 $A$를 바로 사용할 수 있게 됩니다. 

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  2. 미분적분학의 제2 기본정리 (FTC 2)
  "정적분을 부정적분의 함숫값 차이로 계산할 수 있다"는 것을 보여줍니다. 복잡한 리만 합(Riemann sum)의 극한을 구하지 않고도 적분 값을 쉽게 계산하게 해줍니다.

   * 정의: 함수 $f$가 구간 $[a, b]$에서 연속이고, $F$가 $f$의 임의의 부정적분(즉, $F' = f$)일 때 다음이 성립합니다.
      $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
   * 의미: 정적분 값은 피적분 함수의 부정적분을 구한 뒤, 상한($b$)을 대입한 값에서 하한($a$)을 대입한 값을 빼는 것만으로 구할 수 있습니다.
   * 중요성: 이 정리가 없었다면 우리는 정적분을 구할 때마다 무한급수의 극한을 계산해야 했을 것입니다. 이 정리는 기하학적 넓이(적분)와 변화율(미분) 사이의 강력한 다리를 놓았습니다.

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  3. 두 정리의 관계와 물리적 직관

  이 두 정리를 물리적인 관점에서 이해하면 훨씬 쉽습니다.

   * 함수 $f(t)$를 '속도'라고 가정해 봅시다.
   * 제1정리: 속도를 시간($a$부터 $x$까지)에 대해 적분하면 '변위(위치)'가 됩니다. 이 변위 함수를 다시 미분(시간에 따른 변화율)하면 당연히 원래의 '속도'가 나옵니다.
   * 제2정리: 구간 $[a, b]$ 동안의 '전체 변위(정적분)'는 나중 위치($F(b)$)에서 처음 위치($F(a)$)를 뺀 것과 같습니다.

  요약 및 결론

  이 정리는 현대 공학에서 제어 시스템, 신호 처리, 구조 해석 등 모든 수치 해석의 기초가 됩니다. 계산기에서 SOLVE를 적분과 함께 쓸 수 없는 상황에서도 이 FTC
  제1정리 덕분에 우리는 수동으로 해를 추적할 수 있는 것입니다.

"왜 분모에 그냥 함수 $f(Ans)$를 넣는 것만으로 미분값이 해결되는가?"

"이 식이 어떻게 정답을 향해 이동하는가?"

  1. 뉴턴-랩슨법의 기본 원리: "접선을 따라가면 해가 나온다"

  뉴턴-랩슨법은 어떤 함수 $H(x) = 0$이 되는 $x$를 찾기 위해, 현재 위치에서의 접선을 그려서 그 접선이 $x$축과 만나는 지점을 다음 후보로 삼는 방법입니다.

  그 공식은 다음과 같습니다.
  $$x_{next} = x_{curr} - \frac{H(x_{curr})}{H'(x_{curr})}$$
   - $H(x_{curr})$: 현재 위치에서의 함수 값 (얼마나 0에서 멀리 있는가?)
   - $H'(x_{curr})$: 현재 위치에서의 기울기 (어느 방향으로 얼마나 가파르게 변하는가?)

저 위의 (녹색 칠판) 그림으로 생각해 보면

$$ 삼각형의 빗변 기울기 = \dfrac{높이}{밑변} $$  이고 

$$ f'(x_{n}) = \dfrac{f(x_{n})}{x_{n}-x_{n+1}} $$ 로 표현되는데

이걸 $ x_{n+1} $ 에 대해 정리하면 위의 뉴튼 랩슨 표현과 같아집니다.

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  2. 우리가 풀려는 '적분 방정식'에 적용하기

  우리가 풀고 싶은 식은 $\int_{0}^{A} f(x) dx = K$ 입니다.
  이를 뉴턴-랩슨법을 쓸 수 있게 $H(A) = 0$ 꼴로 만들면 다음과 같습니다.

  $$H(A) = \left( \int_{0}^{A} f(x) dx \right) - K = 0$$

  이제 공식에 넣기 위해 $H(A)$를 $A$에 대해 미분($H'(A)$) 해야 합니다.

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  3. 왜 FTC가 '마법의 열쇠'인가? (가장 중요한 부분)

  여기서 미분적분학의 제1 기본정리(FTC 1)가 등장합니다.

  > FTC 1의 정의: $g(A) = \int_{0}^{A} f(t) dt$ 라면, $g'(A) = f(A)$ 이다.

  이 정리는 "적분으로 정의된 함수를 상한($A$)에 대해 미분하면, 그 결과는 단순히 피적분 함수에 $A$를 대입한 것과 같다"는 것을 보장합니다.

  따라서 우리의 $H(A)$를 미분해 보면:
   1. $\int_{0}^{A} f(x) dx$ 를 $A$로 미분하면? $\rightarrow f(A)$ (FTC에 의해)
   2. 상수 $-K$ 를 $A$로 미분하면? $\rightarrow 0$ (상수는 미분하면 사라짐)

  결과적으로 $H'(A) = f(A)$ 가 됩니다!

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  4. 최종 공식의 탄생

  뉴턴-랩슨 기본 공식에 우리가 구한 값들을 대입해 봅시다.

   - $x$ 대신 $A$를 사용
   - $H(A) = \int_{0}^{A} f(x) dx - K$
   - $H'(A) = f(A)$

  이를 합치면 계산기에 입력하는 바로 그 공식이 나옵니다.
  $$A_{next} = A_{curr} - \frac{\int_{0}^{A_{curr}} f(x) dx - K}{f(A_{curr})}$$

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  5. 직관적인 이해: "면적 조절하기"

  수학 기호를 떠나서 물리적인 직관으로 이해해 보겠습니다.

   1. 분자 ($\int_{0}^{A} f(x) dx - K$): 현재까지 쌓인 면적이 목표값 $K$보다 얼마나 모자라거나 남는지 나타내는 '오차'입니다.
   2. 분모 ($f(A)$): 현재 위치 $A$에서의 '높이'입니다. 면적은 가로 × 세로인데, 상한 $A$를 아주 살짝 움직일 때 면적이 변하는 속도는 바로 그 지점의 높이($f(A)$)와 같습니다.
   3. 나눗셈 (오차 / 높이): 면적 오차 / 높이를 하면, 목표 면적에 도달하기 위해 가로($A$)를 얼마나 더 이동해야 하는지에 대한 근사치가 나옵니다.

  즉, "현재 면적이 부족하네? 그럼 현재 높이로 나눠서 가로를 이만큼 더 가보자!"라고 계산기가 계속 보정해 나가는 과정이 $Ans$ 버튼을 연타하는 행위입니다.

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  6. 요약

   - Q: 왜 $Ans$를 쓰는가?
     - A: 뉴턴-랩슨은 반복법입니다. 한 번 계산된 결과($A_{next}$)를 다시 입력값($A_{curr}$)으로 써서 점점 정답에 수렴해야 하기 때문에 계산기의 Ans 메모리를 이용하는 것입니다.
   - Q: 왜 분모가 $f(Ans)$인가?
     - A: 미분적분학 기본 정리(FTC) 덕분에, 적분 함수의 변화율(미분값)이 바로 그 지점의 함수값(높이)이라는 사실을 우리가 알고 있기 때문입니다. 덕분에 복잡한 미분 계산 없이 함수 대입만으로 미분값을 대신할 수 있습니다.

  이 원리 덕분에 공학용 계산기에서 SOLVE 기능이 적분을 지원하지 않더라도, 우리가 직접 "미분값 자리에 원래 함수를 넣음으로써" 계산기를 속여서(?) 도와서(!) 정답을 찾아낼 수 있는 것입니다.