정적분 구간에 미지수가 있고, solve 를 사용할 수 없을 때 그 값을 확인하려면?
-
- 2시간 전 2시간 전 2 3
1. 문제 상황
- 표준형 공학용 계산기(Casio fx-570 시리즈 등)는 `SOLVE` 기능 내에 `∫(적분)` 기호를 사용할 수 없음.
- 그리고 부정적분 계산이 불가능하므로 반드시 수치적 방법으로 접근해야 함.
2. 해결 방법: 뉴턴-랩슨(Newton-Raphson) 수동 구현
미분적분학 기본 정리(FTC)를 이용하여, 적분 방정식의 해를 찾는 반복식을 계산기 메모리(`Ans`)를 이용해 실행합니다.
✦ 미분적분학의 기본 정리(Fundamental Theorem of Calculus, FTC)는 미분과 적분이라는 전혀 별개로 보이던 두 개념을 하나로 연결하는 수학의 핵심 정리입니다.
이 정리는 크게 두 부분으로 나뉘며, 각각의 의미와 정의를 상세히 정리해 드립니다.
---
1. 미분적분학의 제1 기본정리 (FTC 1)
"적분한 함수를 미분하면 원래 함수가 된다"는 것을 증명합니다. 즉, 미분과 적분은 서로 역연산 관계임을 보여줍니다.
* 정의: 함수 $f$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고, $x$가 $[a, b]$ 내의 임의의 점일 때, 다음과 같이 정의된 함수 $g(x)$는
$$g(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$$
구간 $[a, b]$에서 연속이고 $(a, b)$에서 미분 가능하며, 그 미분값은 다음과 같습니다.
$$g'(x) = f(x)$$
* 의미: 어떤 함수를 $a$부터 $x$까지 정적분하여 만든 새로운 함수(적분함수)를 미분하면, 적분 기호 내부의 피적분 함수 $f$에 $x$를 대입한 결과가 나옵니다.
* 응용: 아래 계산기 우회법에서 사용할 원리가 바로 이것입니다. $\int_{0}^{A} x \, dx$를 $A$에 대해 미분하면 피적분 함수인 $A$가 그대로 튀어나오기 때문에,
뉴턴-랩슨 법의 분모(미분값)로 $A$를 바로 사용할 수 있게 됩니다.
---
2. 미분적분학의 제2 기본정리 (FTC 2)
"정적분을 부정적분의 함숫값 차이로 계산할 수 있다"는 것을 보여줍니다. 복잡한 리만 합(Riemann sum)의 극한을 구하지 않고도 적분 값을 쉽게 계산하게 해줍니다.
* 정의: 함수 $f$가 구간 $[a, b]$에서 연속이고, $F$가 $f$의 임의의 부정적분(즉, $F' = f$)일 때 다음이 성립합니다.
$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
* 의미: 정적분 값은 피적분 함수의 부정적분을 구한 뒤, 상한($b$)을 대입한 값에서 하한($a$)을 대입한 값을 빼는 것만으로 구할 수 있습니다.
* 중요성: 이 정리가 없었다면 우리는 정적분을 구할 때마다 무한급수의 극한을 계산해야 했을 것입니다. 이 정리는 기하학적 넓이(적분)와 변화율(미분) 사이의 강력한 다리를 놓았습니다.
---
3. 두 정리의 관계와 물리적 직관
이 두 정리를 물리적인 관점에서 이해하면 훨씬 쉽습니다.
* 함수 $f(t)$를 '속도'라고 가정해 봅시다.
* 제1정리: 속도를 시간($a$부터 $x$까지)에 대해 적분하면 '변위(위치)'가 됩니다. 이 변위 함수를 다시 미분(시간에 따른 변화율)하면 당연히 원래의 '속도'가 나옵니다.
* 제2정리: 구간 $[a, b]$ 동안의 '전체 변위(정적분)'는 나중 위치($F(b)$)에서 처음 위치($F(a)$)를 뺀 것과 같습니다.
요약 및 결론
| 구분 | 핵심 내용 | 수학적 표현 |
| 제1정리 | 적분과 미분의 역연산 관계 | $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$ |
| 제2정리 | 정적분의 효율적 계산법 | $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ |
이 정리는 현대 공학에서 제어 시스템, 신호 처리, 구조 해석 등 모든 수치 해석의 기초가 됩니다. 계산기에서 SOLVE를 적분과 함께 쓸 수 없는 상황에서도 이 FTC
제1정리 덕분에 우리는 수동으로 해를 추적할 수 있는 것입니다.
풀이 대상 방정식
$$\int_{0}^{A} f(x) dx = K$$
를 만족하는 $A$ 찾기.
계산기 입력 공식 (Newton's Method)
$$A_{next} = Ans - \frac{(\int_{0}^{Ans} f(x) dx) - K}{f(Ans)}$$
3. 예제 풀이: $$ \int_{0}^{A} x dx = 10 $$
- 초기값 입력: 【5】 누르고 【=】
- 반복식 입력: `Ans - ( (∫(X, 0, Ans)) - 10 ) / Ans`
Casio Line IO 적분 입력 시: `∫(X, 0, Ans)` (함수, 하한, 상한 순서) - 반복: 【=】 버튼을 Ans 값이 변하지 않을 때까지 연타.
4. 검증 파이썬 스크립트
아래 코드는 계산기가 수행하는 수치 해석 과정을 시뮬레이션합니다.
def f(x):
return x
def integral_f(a):
# \int_{0}^{a} x dx = 0.5 * a^2
return 0.5 * a**2
def solve_integral():
target = 10
a = 5.0 # 초기값
print(f"초기값: {a}")
for i in range(1, 6):
# f(a)는 미분적분학 기본 정리에 의해 적분 함수의 미분값임
numerator = integral_f(a) - target
denominator = f(a)
a = a - numerator / denominator
print(f"반복 {i}회차: {a:.10f}")
if __name__ == "__main__":
solve_integral()
5. 결론
이 방법을 사용하면 계산기의 제약을 우회하여 모든 정적분 형태의 방정식을 소수점 10자리 이상의 정밀도로 풀 수 있습니다.
-
25
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
참값 : A = ±2√5 근사값 : A≈±4.472135954999579392818347 2026 04.10 fx-570 ES 입력 결과 초기값 입력 반복 수식 입력 반복 결과 2026 04.10 파이썬 코드 검증 결과 초기값: 5.0 반복 1회차: 4.5000000000 반복 2회차: 4.4722222222 반복 3회차: 4.4721359558 반복 4회차: 4.4721359550 반복 5회차: 4.4721359550 초기값: 10.0 반복 1회차: 6.0000000000 반복 2회차: 4.6666666667 반복 3회차: 4.4761904762 반복 4회차: 4.4721377913 반복 5회차: 4.4721359550 2026 04.10 감사합니다. 주말 잘 보내세요. 2026 03.06 [fx-570 ES] 과학 상수를 이용한 계산에서 에러 발생 상황 https://kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=11&dirId=1118&docId=492235162&page=1&answerNo=1 vs 2026 03.01