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  세상의모든계산기

  2024.07.09 - 12:59 2024.07.09 - 10:17 #43874

  "4차 함수의 변곡점이 존재한다면, 그 도함수는 반드시 극대, 극소값을 가진다."라는 명제는 참인가?

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  ### 명제

  "4차 함수의 변곡점이 존재한다면, 그 도함수는 반드시 극대, 극소값을 가진다."

   

  ### 증명

   

  1. **전제:**
     - 4차 함수 \( f(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx +E, (A \neq 0)  \)의 변곡점이 존재한다.

  2. **변곡점의 조건:**
     - 변곡점 \( a \)에서 \( f''(a) = 0 \)이면서, \( a \)의 좌우에서 \( f''(x) \)의 부호가 바뀐다.

  3. **2차 도함수 \( f''(x) \):**
     - \( f''(x) \)는 4차 함수 \( f(x) \)의 두 번째 도함수로서 2차 함수의 형태이다.
     - 따라서 \( f''(x) \)는 다음과 같은 형태를 가진다:
       \[ f''(x) = 12Ax^2 + 6Bx + 2C \]
       여기서 \( A \neq 0 \)이고, \( A \), \( B \), \( C \)는 4차 함수의 계수에 따른 상수이다.

  4. **2차 방정식의 성질:**
     - \( f''(x) = 0 \)을 만족하는 \( α \)가 존재하고, \( α \)의 좌우에서 \( f''(x) \)의 부호가 바뀌므로 \( f''(x) = 0 \)을 만족하는 또 다른 실근 \( β \)가 반드시 존재해야 한다.
     - 이는 2차 방정식 \( f''(x) = 0 \)이 서로 다른 두 실근 \( α \)와 \( β \)를 가진다는 것을 의미한다.

  5. **1차 도함수 \( f'(x) \):**
     - \( f'(x) \)는 4차 함수 \( f(x) \)의 첫 번째 도함수로서 3차 함수의 형태이다.
     - 3차 함수 \( f'(x) \)는 \( f''(x) = 0 \)이 되는 점 \( α \)와 \( β \)에서 극값(극대,극소 or 극소,극대)을 가진다.

  6. **결론:**
     - 3차 함수 \( f'(x) \)는 극대값과 하나의 극소값을 가진다.
     - 따라서, 4차 함수의 변곡점이 존재한다면, 그 도함수인 3차 함수 \( f'(x) \)는 반드시 극대와 극소값을 가진다.

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  세상의모든계산기

  2024.07.09 - 12:56 2024.07.09 - 10:56 #43877

  반례) f'(x) = a*(x-α)*(x-β)^2 형태인 경우 ?

   

  

  3차함수 f2(x) 는 극대, 극소를 모두 가짐.

  따라서 반례 실패.

  "4차함수가 극대/극소를 모두 가지는지 물은 것이 아님"

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