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원통형 파이프에 종이를 감을때, 전체 원통의 두께는?
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- 2024.11.01 - 15:03 2024.10.22 - 18:27 1662 4 1
ㄴ 이미지 생성 : Gemini 1.5 Flash
직경 d_cm 인 원통형 파이프에, 두께 t_mm 인 종이를, L_meter 감으면
롤(원통)의 중심에서 몇 cm 까지 두꺼워질까요?
방법A) 감긴 단면의 면적으로 풀기
단면을 잘라 보았을 때, 전체 원통의 면적 = 종이의 면적 + 파이프의 면적이 됩니다.
(가정 : ⓐ 완전 밀착 ⓑ 압력에 의한 종이 길이나 두께의 변성 없음)
따라서 $\pi R^2-\pi r_0^2=t_{mm} \cdot L_m$ 가 성립합니다.
이 식을 이용해 solve 로 풀거나,
변수를 다른 변수로 정리해 풀면 답이 나옵니다.
문제1) 파이프 지름(d)이 6 inch, 종이 두께가 0.1mm, 종이 길이가 500m 일 때, 원통 중심에서 종이 끝까지의 길이(전체 반지름)는?
문제2) 파이프 지름(d)이 8.8cm, 종이 두께가 0.5mm, 종이 길이가 150m 일 때는?
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댓글4
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세상의모든계산기
TI-nspire 에서 단위를 수식에 미리 넣으면?
자동으로 approx 로 변형되어 버리네요. 보기가 조금 더 힘든 듯...
그냥 변수만 대입해 넣고, 숫자 대입할 때 한가지 단위(meter)로 통일하는 편이 좋겠습니다.
이 편이 단위 때문에 발생할 수 있는 오해 소지도 적을 것 같구요.
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세상의모든계산기
최고 종이를 많이 감았을 때 허용 지름(2r)을 파이프 포함하여 42cm이라고 하면, 총 종이의길이는 몇 미터까지 감을 수 있나?
파이프 지름(d)은 17.5cm 이고 종이 두께(t)는 0.1mm입니다.
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세상의모든계산기
방법B) 감긴 횟수로 계산
1. 첫 바퀴에 감긴 종이의 길이는 \( l_1 = \pi (d+t) \) (여기서 \( d \)는 원통 파이프의 직경)이다.
ㄴ 종이의 안쪽 원을 기준으로 길이를 재거나, 바깥쪽 원을 기준으로 길이를 잴 수도 있는데, 종이의 중심을 기준으로 재는 것이 가장 합리적이겠죠?ㄴ 안쪽 원보다는 길고, 바깥쪽 원보다는 짧아야 하니...
2. 두번째 바퀴에 감긴 종이의 길이는 \( l_2 = 2\pi\times r_1 = l_1 + 2\pi t \) 입니다.3. 세번째 바퀴에 감긴 종이의 길이는 \( l_3 = 2\pi\times r_2 = l_1 + 4\pi t \) 입니다.
따라서, 매 바퀴마다 둘레는 \( 2\pi t \)씩 더해집니다.
n바퀴째에 감긴 종이의 길이는 \( l_n = l_1 + n\cdot 2\pi t \) 가 됩니다.
종이를 \( n \) 바퀴 감았을 때의 총 길이와 반지름:
1. 반지름 증가:
- 첫 번째 감기 전의 반지름: \( r_0 = \frac{d}{2} \)
- 종이를 \( n \) 바퀴 감은 후의 반지름 \( r_n \)은:
\[
r_n = r_0 + n \times t = \frac{d}{2} + n \times t
\]2. 감은 종이의 총 길이:
- 종이를 \( n \) 바퀴 감았을 때의 총 종이 길이 \( L_n \)은:
\[
L_n = l_1 + l_2 + l_3 + \dots + l_n
\]
- 각 바퀴마다 길이는 \( l_n = d\pi + n\cdot 2\pi t \)이므로, 총 길이를 구하려면 이를 합산합니다:
\[
L_n = \sum_{k=1}^{n} \left( d\pi + k \cdot 2\pi t \right)
= nd\pi + \left( \pi t \cdot (n(n+1)) \right)
\]
여기서 \( \dfrac{n(n+1)}{2} \)는 1부터 \( n \)까지의 정수들의 합입니다.
n(감은 횟수)을 먼저 구하고, n을 $ r_n $ 공식에 대입하면 값이 찾아집니다.
본문방법 r=0.147383629719*_m
댓글방법 r=0.14735948683579
본문과 약~~~간의 오차가 있긴 한데... 무시해도 될 것 같습니다.
그런데 왜 차이가 났을까요?
"본문의 방식은 부피가 직사각형 기준이라서 문제가 없지만,
댓글의 방식은 매 바퀴마다 안쪽은 부피가 겹치고, 바깥쪽은 부피가 모자르는 기하학적 구조라서 발생하는 오차가 아닐까?" 추정해 봅니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
진짜 색약 안경은 비싸서 살 생각은 없고, 알리에서 싸구려 구매해서 테스트 해 봤습니다. 프로그램과 비슷한 효과가 있고, (프로그램과 비교해서) 알리 싸구려 렌즈가 - 숫자 구분이 아주 약간 더 잘 되고 - 붉은 색상이 더 밝습니다. 채도가 높다고 해야하는 것 같네요. 주의할 점은 알리 색약 안경은 일상용으로는 절대 사용 불가입니다. - 내부 빛반사 방지 코팅이 없어서 내 눈알이 렌즈에 비치고, 그래서 실제로 보여야 할 것과 섞여 보입니다. - 필터 코팅도 최악이라서 중심부(=마젠타) 주변부(=노랑)으로 서로 다르게 색이 들어옵니다. 전반적으로 그라데이션 발생. - 외부에서 봤을 때 렌즈색이 튀기 때문에, 티가 많이 납니다. - 색 구분 면에서는 도움이 될 수도 있지만, 녹색(특정 파장)이 차단되어 LED 신호등의 녹색이 잘 안보일 수 있습니다. 2025 12.24 교점이 2개 이상일때 모든 값을 구하는 법 계산기마다 가능/불가능이 갈릴 수도 있습니다. ㄴ fx-570 의 solve 는 무조건 한번에 하나씩 찾습니다. 따라서, 2차 3차 방정식처럼 규격화된 수식은 solve 대신 EQN 모드에서 답을 구하는게 좋습니다. ㄴ TI-nspire 같은 CAS 계산기의 solve 는 수식에 따라서 여러개가 한꺼번에 찾아지기도 합니다. https://allcalc.org/3448 ㄴ fx-9860G 의 solve는 무조건 1개, solveN 는 수식에 따라 여러개가 찾아질 수 있습니다. https://allcalc.org:443/board_casio/6005#comment_15889 가능하다면, 불확실할때는 그래프로 확인하세요. 2025 12.16 T가 410인 해를 찾는 방법 -> 초기값을 입력하세요. [공학용 계산기] 공학용 계산기의 꽃? solve (솔브) 기능 이해하기 (Newton-Raphson 법, 뉴튼법) https://allcalc.org/11532 2025 12.16 참고 - [공학용 계산기] 정적분 계산 속도 벤치마크 비교 https://allcalc.org/9677 2025 12.11 다른 계산기의 경우와 비교 1. TI-nspire CAS ㄴ CAS 계산기는 가능한 경우 부정적분을 먼저하고, 그 값에 구간을 대입해 최종값을 얻습니다. ㄴ 부정적분이 불가능할 때는 수치해석적 방법을 시도합니다. 2. CASIO fx-991 ES Plus ㄴ CASIO 계산기의 경우, 적분할 함수에 따라 시간이 달라지는 것으로 알고 있는데, 정밀도를 확보할 별도의 알고리즘을 채택하고 있는 것이 아닐까 생각되네요. 2025 12.11