이자율 변동에 따른 채권 가치 / 자본이득률 / 수익률

[문제]

 

(주) 버스커 핸섬웨이는 작년에 액면가 1,000원, 표면금리 10%인 30년 만기 채권을 1,000원에 구입했습니다. (표면금리는 연단위로 지급됨)

1년이 지난 지금 시점에 시장금리는 10%에서 20%로 상승했습니다. 

 

1. 금리 상승 전후의 채권 가치 변화를 구하시오.
2. 자본 이득률을 구하시오. 
3. 1년 동안의 수익률을 구하시오. 
4. 이러한 금리 상승이 장기 채권의 가치에 큰 영향을 미치는 이유를 설명하시오. (듀레이션(Duration) 개념을 활용할 것)
5. 만기가 30년이 아닌 10년이었다면 채권 가치 하락 폭은 어떻게 달라졌을지 추론하시오.

 

 

[풀이]

 

1. 금리 상승 전후의 채권 가치 변화

- 액면가(F) = 1,000원  
- 표면금리(Coupon Rate) = 10%  
- 표면 이자(Coupon Payment) = 100원 (매년)  
- 남은 만기(Maturity) = 29년

 

(1) 금리 상승 전 (시장금리 10%)에서의 채권 가치

- 시장금리가 10%일 때 채권 가치는 매년 받는 이자와 만기 시 받는 원금을 10%로 할인한 현재가치의 합입니다.

\[
\text{채권 가치} = \sum_{t=1}^{29} \frac{100}{(1+0.1)^t} + \frac{1000}{(1+0.1)^{29}}
\]

계산 결과:
\[
\text{금리 상승 전 채권 가치} \approx 1,000 \text{원}
\]

 

(2) 금리 상승 후 (시장금리 20%)에서의 채권 가치

- 시장금리가 20%로 상승한 경우, 할인율 20%로 계산한 채권 가치입니다.

\[
\text{채권 가치} = \sum_{t=1}^{29} \frac{100}{(1+0.2)^t} + \frac{1000}{(1+0.2)^{29}}
\]

계산 결과:
\[
\text{금리 상승 후 채권 가치} \approx 502.53 \text{원}
\]

 

2. 자본 이득률

자본 이득률은 금리 상승 후 채권 가치와 상승 전 채권 가치를 비교하여 구할 수 있습니다.

\[
\text{자본 이득률} = \frac{\text{금리 상승 후 채권 가치} - \text{금리 상승 전 채권 가치}}{\text{금리 상승 전 채권 가치}}
\]

\[
\text{자본 이득률} = \frac{502.53 - 1000}{1000} = -0.4975 \text{ 또는 } -49.75\%
\]

 

3. 1년 동안의 수익률

1년 동안의 수익률은 이자 수익과 자본 손익을 포함한 총 수익을 투자 원금으로 나누어 계산합니다.

- 이자 수익: 100원 (1년간 받은 이자)
- 자본 손익: 금리 상승 후 채권 가치 - 투자 원금

\[
\text{1년 수익률} = \frac{100 + (502.53 - 1000)}{1000} = -0.39747
\]

\[
\text{1년 수익률} = \text{이자수익률} + \text{자본이득률} = 10\% + (-49.75\%) = -39.75\%
\]

 

4. 금리 상승이 장기 채권의 가치에 큰 영향을 미치는 이유 (듀레이션 활용)

- 듀레이션은 채권의 현금흐름을 고려한 평균만기를 의미하며, 금리변동에 대한 채권가격의 민감도를 측정하는 지표입니다.
- 듀레이션과 채권가격 변동의 관계:
  * 가격변화율 ≈ -듀레이션 × 금리변화폭
  * 본 사례의 경우: -49.75% ≈ -듀레이션 × (20% - 10%)
  * 따라서 이 채권의 듀레이션은 약 4.975로 추정됩니다.
- 장기채권일수록 듀레이션이 커지는 이유:
  * 만기가 길수록 미래 현금흐름의 현재가치가 금리변화에 더 민감해집니다.
  * 이자지급과 원금상환이 더 먼 미래에 이루어져 할인효과가 크기 때문입니다.

 

5. 만기가 10년이었을 때, 채권 가치 하락 폭 변화 추론

- 채권의 듀레이션은 만기, 표면이자율, 시장이자율에 따라 결정됩니다:
  * 만기가 길수록 듀레이션 증가
  * 표면이자율이 높을수록 듀레이션 감소
  * 시장이자율이 높을수록 듀레이션 감소

- 본 사례의 경우(표면이자율 10%, 시장이자율 10%→20%):
  * 30년 만기: 약 -49.75%의 가치 하락 발생
  * 10년 만기: 상대적으로 작은 폭의 하락 예상
    - 만기가 짧아 현금흐름이 더 빨리 발생
    - 원금 회수 시점이 더 가까워 현재가치 변동 폭 감소
    - 전체 이자 지급 횟수가 적어 금리 변동의 누적 효과 감소

- 참고로 표면이자율이 더 높았다면:
  * 중간에 받는 이자가 더 커서 듀레이션이 더 작아졌을 것
  * 따라서 금리 상승에 따른 가치 하락 폭이 더 작았을 것

- 또한 시장이자율이 20%로 상승한 후에는:
  * 높아진 할인율로 인해 듀레이션이 감소
  * 추가적인 금리 상승에 대한 민감도는 처음보다 작아짐