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가우스 자이델 방법 (Gauss-Seidel Method)
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- 2024.10.09 - 11:59 2024.10.09 - 11:37 611 2
네, 가우스 자이델(Gauss-Seidel) 방법은 연립 방정식을 푸는 수치 해법 중 하나로, 특히 대형 희소 행렬을 다룰 때 유용합니다.
이 방법은 주어진 연립 방정식의 해를 점진적으로 개선하는 반복 기법입니다. 가우스 자이델 방법은 다음과 같이 작동합니다:
1. 먼저 연립 방정식을 대각 행렬 성분이 주도하는 형태로 정렬해야 합니다.
일반적으로 행렬 A가 대각 우세한 행렬이거나 적어도 대각 성분이 중요한 경우에 가우스 자이델 방법이 잘 동작합니다.
2. 가우스 자이델은 이전 단계에서 구한 값을 바로 다음 계산에 사용합니다.
이로 인해 매 반복마다 새로운 값으로 업데이트되며, 이를 통해 더 빠르게 수렴하는 경향이 있습니다.
3. 연립 방정식의 각 변수를 반복해서 계산하며, 이전 단계에서 구한 값을 현재 단계에서 사용하는 것이 특징입니다.
가우스 자이델 방법을 수식으로 표현하면 다음과 같습니다. 주어진 연립 방정식 Ax = b에서, 각각의 변수 \( x_i \)는 다음과 같이 업데이트됩니다:
\[
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{A_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1}^{i-1} A_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} A_{ij} x_j^{(k)} \right)
\]
여기서:
- \( x_i^{(k+1)} \)는 \( k+1 \)번째 반복에서의 \( i \)번째 변수입니다.
- \( A_{ij} \)는 행렬 A의 성분입니다.
- \( b_i \)는 벡터 b의 성분입니다.
- 이전에 구한 \( x_j^{(k+1)} \)값을 바로 사용하고, 그 외의 \( x_j^{(k)} \)는 이전 반복에서 구한 값을 사용합니다.
가우스 자이델 방법은 때로는 야코비 방법보다 빠르게 수렴할 수 있지만, 수렴이 보장되려면 행렬이 대각 우세하거나 적절한 조건을 만족해야 합니다.
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세상의모든계산기
대각 우세(diagonally dominant) 행렬
행렬의 대각 성분이 나머지 성분들에 비해 지배적이라는 의미입니다.
대각 우세(diagonally dominant) 행렬의 정의:
행렬 A가 대각 우세하다고 할 수 있는 조건은 다음과 같습니다:
- 행렬 A의 각 행에서, 대각 성분의 절댓값이 그 행의 나머지 성분들의 절댓값의 합보다 크거나 같아야 합니다.
즉, 행렬 A의 \(i\)번째 행에 대해:
\[
|A_{ii}| \geq \sum_{j \neq i} |A_{ij}|
\]여기서:
- \(A_{ii}\)는 \(i\)번째 행의 대각 성분,
- \(A_{ij}\)는 \(i\)번째 행의 나머지 성분들입니다.예를 들어:
\[
A = \begin{pmatrix}
10 & 1 & 2 \\
2 & 20 & 1 \\
3 & 4 & 30
\end{pmatrix}
\]위의 행렬에서 대각 성분은 10, 20, 30이고, 각각의 행에서 나머지 성분들은 다음과 같습니다:
- 첫 번째 행: 10 (대각 성분) ≥ |1| + |2| = 3
- 두 번째 행: 20 (대각 성분) ≥ |2| + |1| = 3
- 세 번째 행: 30 (대각 성분) ≥ |3| + |4| = 7따라서 이 행렬은 대각 우세입니다.
대각 우세의 의미:
대각 우세한 행렬은 수치 해법, 특히 반복적인 해법(야코비, 가우스 자이델 등)에서 중요한 역할을 합니다.
대각 성분이 나머지 성분들보다 크다는 것은, 해당 변수(대각 성분과 연관된 변수)가 방정식에서 더 큰 영향을 미친다는 의미입니다.
이는 수렴 속도를 빠르게 하고, 해를 안정적으로 찾는 데 도움을 줍니다.
왜 중요한가?
대각 우세한 행렬은 수렴을 보장할 가능성이 높습니다.
수치 해법에서 반복 계산을 할 때, 각 변수의 새로운 값이 빠르게 수렴하려면 해당 변수가 방정식에서 "주요한 역할"을 해야 합니다.
대각 성분이 크다는 것은 방정식에서 그 변수의 영향력이 크다는 의미이므로, 더 빠르고 안정적으로 해를 찾을 수 있습니다.
정리하자면:
- 대각 우세는 각 변수의 대각 성분이 해당 행의 나머지 값들의 합보다 크거나 같다는 뜻입니다.
- 이는 수치 해법에서 반복적인 계산의 수렴 속도를 높이고, 안정성을 확보하는 데 중요한 역할을 합니다. -
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세상의모든계산기
모든 행에서 대각우세를 만족시킬 수 없는 경우
대각 우세를 만족시키지 않는 행렬이 있을 때, 단순히 행을 바꾸는 것만으로 대각 우세한 행렬을 만들 수 없는 경우가 종종 발생합니다.
이때는 몇 가지 다른 접근법을 고려해야 합니다. 이러한 상황에서 해결 방법은 다음과 같습니다.
1. 행렬 재구성 (Scaling)
행렬의 각 행이나 열의 크기를 조정(스케일링)하여 대각 우세 조건을 만족시키도록 변환할 수 있습니다.행렬의 값들이 매우 크거나 작은 경우, 대각 성분을 더 강조하기 위해 행 전체를 적절한 상수로 곱하거나 나눌 수 있습니다.
이 방법은 방정식의 해를 변경하지 않으면서도, 계산에서 수렴 조건을 더 잘 만족하도록 조정할 수 있습니다.
2. 사전 조건화 (Preconditioning)
사전 조건화는 연립방정식을 보다 해결하기 쉬운 형태로 변환하는 방법입니다.대각 우세 조건을 만족시키지 않는 행렬에 대해, 행렬을 변형(변환 행렬을 곱하거나 분해)하여 보다 수렴 가능한 형태로 만들어 줍니다.
사전 조건 행렬(Preconditioning matrix)을 통해 행렬의 성질을 바꿔 대각 우세 조건을 만족하게 할 수 있습니다.
- 대표적인 방법으로는 Jacobi preconditioner 또는 ILU(불완전 LU 분해) 등이 있습니다.
3. 직접 해법
대각 우세를 만족시키지 않는 행렬에서는 야코비 방법이나 가우스-자이델 방법 같은 반복적 수치 해법의 수렴이 보장되지 않을 수 있습니다.이 경우, 직접 해법을 사용해 연립방정식을 푸는 것이 더 나은 방법일 수 있습니다.
- 가우스 소거법이나 LU 분해는 반복적인 계산이 아니라 행렬을 직접 분해하거나 조작하여 해를 구하는 방법입니다.
이러한 방법은 수렴에 의존하지 않기 때문에 대각 우세 조건이 없어도 문제 없이 작동할 수 있습니다.
4. 다른 수렴 조건을 만족하는 반복적 방법 사용
대각 우세는 반복적인 방법에서 해가 수렴할 수 있는 충분 조건 중 하나일 뿐입니다.야코비 방법이나 가우스-자이델 방법이 대각 우세를 요구하는 이유는 수렴 속도와 안정성 때문이지만, 다른 방법들은 대각 우세를 요구하지 않고도 사용할 수 있습니다.
예를 들어:
- SOR(Over-Relaxation Method): 가우스-자이델 방법을 확장한 방법으로, 특정 완화 파라미터 \(\omega\)를 사용하여 수렴을 촉진할 수 있습니다.
- GMRES(Generalized Minimal Residual Method): 대형 비대칭 행렬이나 대각 우세 조건이 없는 경우에도 사용할 수 있는 방법입니다.
이러한 방법들은 대각 우세 조건을 충족하지 않는 경우에도 사용할 수 있으며, 수렴을 촉진할 수 있습니다.5. 근사 해법 사용
특정 문제에서 매우 높은 정확도가 필요하지 않은 경우, 대각 우세 조건을 강제로 만족시키기 위한 근사적인 해법을 사용할 수도 있습니다.대각 성분을 강화하거나 다른 성분을 조정해 수렴을 보장하도록 문제를 변형한 후, 근사적인 해를 구하는 방법입니다.
결론
대각 우세 조건을 행 순서 변경으로 만들 수 없을 때는:
- 행렬을 재구성하거나 사전 조건화를 적용하여 계산의 안정성을 높이거나,
- 직접 해법을 통해 문제를 해결하거나,
- 다른 수렴 조건을 만족하는 반복적 방법을 선택하는 것이 좋습니다.각 방법은 문제의 성질과 요구되는 정확도에 따라 적절히 선택됩니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
3×3 이상인 행렬의 행렬식 determinant https://allcalc.org/50536 2025 12.30 답에 이상한 숫자 14.2857142857가 들어간 것은 조건식에 소숫점(.) 이 들어가 있기 때문에 발생한 현상이구요. 100÷7 = 14.285714285714285714285714285714 소숫점 없이 분수로 식이 주어졌을 때와 결과적으로는 동일합니다. 2025 12.30 그럼 해가 무한히 많은지 아닌지 어떻게 아느냐? 고등학교 수학 교과과정에 나오는 행렬의 판별식(d, determinant)을 이용하면 알 수 있습니다. ㄴ 고교과정에서는 2x2 행렬만 다루던가요? 연립방정식의 계수들로 행렬을 만들고 그 행렬식(determinant)을 계산하여야 합니다. 행렬식이 d≠0 이면 유일한 해가 존재하고, d=0 이면 해가 없거나 무수히 많습니다. * 정상적인 경우 (`2y + 8z = 115`)의 계수 행렬: 1 | 1 1 0 | 2 | 1 0 -3.5 | 3 | 0 2 8 | 행렬식 값 = 1(0 - (-7)) - 1(8 - 0) = 7 - 8 = -1 (0이 아니므로 유일한 해 존재) * 문제가 된 경우 (`2y + 7z = 100`)의 계수 행렬: 1 | 1 1 0 | 2 | 1 0 -3.5 | 3 | 0 2 7 | 행렬식 값 = 1(0 - (-7)) - 1(7 - 0) = 7 - 7 = 0 (0이므로 유일한 해가 존재하지 않음) 2025 12.30 좀 더 수학적으로 말씀드리면 (AI Gemini 참고) 수학적 핵심 원리: 선형 독립성(Linear Independence) 3원 1차 연립방정식에서 미지수 x, y, z에 대한 단 하나의 해(a unique solution)가 존재하기 위한 필수 조건은 '주어진 세 개의 방정식이 서로 선형 독립(linearly independent) 관계에 있어야 한다'는 것입니다. * 선형 독립 (Linearly Independent): 어떤 방정식도 다른 방정식들의 조합(상수배를 더하거나 빼는 등)으로 만들어질 수 없는 상태입니다. 기하학적으로 이는 3개의 평면(각 방정식은 3D 공간의 평면을 나타냄)이 단 한 개의 점(해)에서 만나는 것을 의미합니다. * 선형 종속 (Linearly Dependent): 하나 이상의 방정식이 다른 방정식들의 조합으로 표현될 수 있는 상태입니다. 이 경우, 새로운 정보를 제공하지 못하는 '잉여' 방정식이 존재하는 것입니다. 기하학적으로 이는 3개의 평면이 하나의 선에서 만나거나(무수히 많은 해), 완전히 겹치거나, 혹은 평행하여 만나지 않는(해가 없음) 상태를 의미합니다. 질문자님의 사례는 '선형 종속'이 되어 무수히 많은 해가 발생하는 경우입니다. 2025 12.30 질문하신 연립 방정식은 미지수가 3개이고 모두 1차인 3원 1차 연립방정식입니다. 이상적으로 문제가 없다면 {x,y,z} 에 대한 좌표가 하나 나오게 됩니다. 원하는 답 {52.5, -2.5, 15} 그런데 '두개 조건(식)을 그대로 두고 나머지 하나를 변형하다 보니, 원하는 답이 나오지 않는 상황이 발생하였다.'고 질문하신 상황입니다. 3개의 조건식이 주어진 3원 1차 연립방정식은 조건을 변형해서 하나의 변수를 제거할 수 있습니다. 그러면 2개의 조건식으로 주어지는 2원 1차 연립방정식으로 변형이 됩니다. ㄴ 꼭 변형해야하는 것은 아니지만, 이것이 알아보기 쉽기 때문에 변형시키는 것입니다. 변경하지 않은 2개 조건의 식(con1) 을 이용해 위와 같이 하나의 y & z 1차 방정식을 유도할 수 있는데요. 변경하는 나머지 1개의 방정식이 con1에서 유도된 방정식과 동일하다면 하나의 답이 구해지지 않는 상황이 발생하는 것입니다. 계산기(ti-nspire)는 {x,y,z} 의 답이 하나가 아니고 무수히 많음을 c1 을 이용해서 표현해 준 것입니다. linear_independence_cond12.tns 2025 12.30