(복잡한 다항식 수식에서) 계산기 내부 유효 자릿수에 따른 approx() 오차
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- 2025.10.27 - 13:28 2025.10.22 - 12:05 492 6
TI-nspire 기종에 대한 solve 질문글에 대해 답변을 하던 중 이상한 점을 발견하였습니다.
평소에는
방정식의 해를 numeric 한 방식으로 solve 를 이용해 찾는 것보다,
vs
(소숫점을 없애서) exact 방식으로 참 값을 먼저 구하고 → 그 값에 대한 근사값 approx(참 값)
을 구하는 것이 더 정확했습니다.
그런데 이번에는 반대로 오차가 커지는 겁니다. 이 궁금증을 해결하기 위해 직접 분석을 진행해 보았습니다.
1. 분석 대상 수식
분석에 사용된 수식은 다음과 같습니다. cos, sin의 단위는 모두 degree입니다.
$$ \dfrac{120 \left( 150000 \left( \cos\left(\dfrac{7001}{5000}\right) \sqrt{2} - 2 \sin\left(\dfrac{217999}{5000}\right) \right) \cos\left(\dfrac{217999}{5000}\right) - 136342 \sin\left(\dfrac{217999}{5000}\right) \cos\left(\dfrac{7001}{5000}\right) - \left( 150000 \sin\left(\dfrac{7001}{5000}\right) \sin\left(\dfrac{217999}{5000}\right) - 68171 \right) \sqrt{2} \right)}{\sin\left(\dfrac{7001}{5000}\right) \left( 150000 \cos\left(\dfrac{7001}{5000}\right) \cos\left(\dfrac{217999}{5000}\right) - 150000 \sin\left(\dfrac{7001}{5000}\right) \sin\left(\dfrac{217999}{5000}\right) + 68171 \right)} $$
((120*(150000*(cos(((7001)/(5000)))*√(2)-2*sin(((217999)/(5000))))*cos(((217999)/(5000)))-136342*sin(((217999)/(5000)))*cos(((7001)/(5000)))-(150000*sin(((7001)/(5000)))*sin(((217999)/(5000)))-68171)*√(2)))/(sin(((7001)/(5000)))*(150000*cos(((7001)/(5000)))*cos(((217999)/(5000)))-150000*sin(((7001)/(5000)))*sin(((217999)/(5000)))+68171)))
2. 가장 정확한 기준값은? (고정밀도 계산)
오차를 측정하려면 가장 정확한 '참값'이 필요합니다. 일반적인 PC 계산 환경(64비트 float)의 한계를 넘어서기 위해, 파이썬의 mpmath 라이브러리를 사용하여 100자리의 정밀도로 기준값을 계산했습니다.
73.04950705847862934420128091048894148771096960598761210206551516481655390211661403804814403351531886
3. 최종 정밀도 분석표
위 100자리 고정밀도 기준값을 바탕으로, 각기 다른 십진수 유효자릿수를 가진 가상의 계산기를 시뮬레이션하여, 오차를 측정한 결과입니다.
- 계산 결과: 73.04950705847811
- 실제 오차: 5.16135835013993051626500528352e-13
4. 왜 이런 오차가 발생할까?
컴퓨터의 숫자 저장 방식: 2진법의 한계
가장 근본적인 원인은 컴퓨터가 숫자를 2진법으로 저장하는 데 있습니다. 우리가 사용하는 10진수 소수 중 상당수는 2진수로 변환하면 무한소수가 되어, 정해진 비트(bit) 안에 완벽하게 담지 못하고 근사치로 저장됩니다. 이 작은 근사 오차가 계산 과정에서 계속 누적되어 최종 결과에 영향을 미칩니다.
누적 오차의 예시
(1 / 3) * 3 을 유효자릿수 4자리 계산기로 계산하는 상황을 가정해 봅시다.
1 / 3계산: 결과는0.333333...이지만, 4자리만 저장할 수 있으므로0.3333으로 반올림됩니다. (첫 오차 발생)0.3333 * 3계산: 결과는0.9999가 됩니다. 참값인1.0과 미세한 차이가 생깁니다.
복잡한 수식은 이런 과정이 수십, 수백 번 반복되는 것과 같으므로 작은 오차들이 모여 눈에 띄는 차이를 만들게 됩니다.
문제가 된 처음의 수식 역시 계산기 입장에서 아래와 같은 수많은 연산을 거치며 오차가 누적 및 증폭되어 최종적으로 solve의 정상 범주를 벗어난 x값이 구해진 것이라고 분석할 수 있겠습니다.
- 나눗셈 (Division): 12회
- 사인 (sin): 7회
- 코사인 (cos): 5회
- 루트 (√): 2회
- 곱셈 (Multiplication): 15회
- 뺄셈 (Subtraction): 5회
- 덧셈 (Addition): 1회
결론
일반적인 공학용 계산기(보통 10~14자리)의 정밀도는 대부분의 상황에서 충분히 신뢰할 만합니다. 하지만 이번 분석처럼 매우 복잡한 연산을 하거나, 과학/금융 분야에서 극도의 정밀도를 요구할 때는 표준 계산 환경의 한계를 인지하는 것이 중요합니다.
이러한 한계를 극복하기 위해 파이썬의 mpmath와 같은 임의 정밀도 산술 라이브러리가 존재하며, 이를 통해 우리는 하드웨어의 제약을 넘어 원하는 만큼 정밀한 값을 얻을 수 있습니다.
부록: 분석에 사용된 전체 Python 코드
이 분석을 직접 재현해보고 싶으신 분들을 위해, 최종 분석에 사용된 전체 코드를 공유합니다. (mpmath 라이브러리 설치가 필요합니다: pip install mpmath)
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댓글6
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세상의모든계산기
카시오 fx-570 ES, EX 로 계산하면?
카시오도 (십진수) 14digits 한계이므로, 비슷한 값이 나올 것으로 예상됨.다만, stack 및 길이 한계로 수식 전체를 그대로 입력할 수는 없음.
A,B,C,D 를 조합해 수식을 완성
결과에서 73.049507 을 빼면
- fx-570 ES가 구한 결과값(Ans)은
73.0495070584404 (15digits) 로 최종 확인됨.
- TI-Nspire (14-digits) 보다 오차가 작음.
- 파이썬 시뮬레이션의 15-digits 결과(73.0495070585241)와 같지는 않음. 원인은 모르겠음.
ㄴ fx-570 EX 결과
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세상의모든계산기
TI-nspire 에서 동일하게 a,b,c,d로 치환해서 계산
- 결과는 치환 없이 그냥 approx(전체식) 한 결과와 동일.
- 73.049507058547 (14-digits)
- 파이썬 시뮬레이션 14-digits 와 결과값이 같음.
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세상의모든계산기
fx-9860 및 fx-CG 의 경우
fx-9860GII SD 에서 위의 fx-570 과 같이 A,B,C,D 로 나눠서 계산하면
fx-CG에서 치환할 대상을 약간 바꿔서 분모→A, 분자→B 로 저장해 풀어보아도
- 결과는 둘 다 같음.
- 73.0495070585238 (15 digits)
- fx-570ES와 같은 15-decimal-digits 정밀도인데, 왜 값이 다를까?
- 파이썬 시뮬레이터상 15 digits 값과도 같지 않음.
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세상의모든계산기
fx-570 CW 로 계산하면?
- 최종 확인된 결과 값 = 73.049507058478629343538 (23-digits)
- 오차 = 6.632809104889414877 × 10^-19
꽤 정밀하게 나온건 맞는데, 시뮬레이션상의 22-digits 와 오차 수준이 비슷함. 왜 그런지는 모르겠음.
- 계산기중 정밀도가 높은 편인 HP Prime CAS모드와 비교해도 월등한 정밀도 값을 가짐.
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세상의모든계산기
HP Prime 에서
<Home>
73.0495070344 (12-decimal-digits) // python 시뮬레이션과 일치
<CAS>
21자리까지 나와서 이상하다 싶었는데,
Ans- 에서 자릿수를 더 늘려서 빼보니, 뒷부분 숫자가 아예 바뀌어버림. 버그인가?
(전) 73.0495070584718691243 (21-digits ????)
(후) 73.0495070584718500814401 (24-digits ????)
찾아보니 버그는 아니고,
CAS에서는 십진수가 아니라 2진수(bit) 단위로 처리한다고 함.
Giac uses 48 bits mantissa from the 53 bits from IEEE double. The reason is that Giac stores CAS data (gen type) in 64 bits and 5 bits are used for the data type (24 types are available). We therefore loose 5 bits (the 5 low bits are reset to 0 when a double is retrieved from a gen).
출처 : https://www.hpmuseum.org/cgi-bin/archv021.cgi?read=255657
일단 오차를 놓고 보면 16-decimal-digits 수준으로 보임.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
3×3 이상인 행렬의 행렬식 determinant https://allcalc.org/50536 2025 12.30 답에 이상한 숫자 14.2857142857가 들어간 것은 조건식에 소숫점(.) 이 들어가 있기 때문에 발생한 현상이구요. 100÷7 = 14.285714285714285714285714285714 소숫점 없이 분수로 식이 주어졌을 때와 결과적으로는 동일합니다. 2025 12.30 그럼 해가 무한히 많은지 아닌지 어떻게 아느냐? 고등학교 수학 교과과정에 나오는 행렬의 판별식(d, determinant)을 이용하면 알 수 있습니다. ㄴ 고교과정에서는 2x2 행렬만 다루던가요? 연립방정식의 계수들로 행렬을 만들고 그 행렬식(determinant)을 계산하여야 합니다. 행렬식이 d≠0 이면 유일한 해가 존재하고, d=0 이면 해가 없거나 무수히 많습니다. * 정상적인 경우 (`2y + 8z = 115`)의 계수 행렬: 1 | 1 1 0 | 2 | 1 0 -3.5 | 3 | 0 2 8 | 행렬식 값 = 1(0 - (-7)) - 1(8 - 0) = 7 - 8 = -1 (0이 아니므로 유일한 해 존재) * 문제가 된 경우 (`2y + 7z = 100`)의 계수 행렬: 1 | 1 1 0 | 2 | 1 0 -3.5 | 3 | 0 2 7 | 행렬식 값 = 1(0 - (-7)) - 1(7 - 0) = 7 - 7 = 0 (0이므로 유일한 해가 존재하지 않음) 2025 12.30 좀 더 수학적으로 말씀드리면 (AI Gemini 참고) 수학적 핵심 원리: 선형 독립성(Linear Independence) 3원 1차 연립방정식에서 미지수 x, y, z에 대한 단 하나의 해(a unique solution)가 존재하기 위한 필수 조건은 주어진 세 개의 방정식이 서로 선형 독립(linearly independent) 관계에 있어야 한다는 것입니다. * 선형 독립 (Linearly Independent): 어떤 방정식도 다른 방정식들의 조합(상수배를 더하거나 빼는 등)으로 만들어질 수 없는 상태입니다. 기하학적으로 이는 3개의 평면(각 방정식은 3D 공간의 평면을 나타냄)이 단 한 개의 점(해)에서 만나는 것을 의미합니다. * 선형 종속 (Linearly Dependent): 하나 이상의 방정식이 다른 방정식들의 조합으로 표현될 수 있는 상태입니다. 이 경우, 새로운 정보를 제공하지 못하는 '잉여' 방정식이 존재하는 것입니다. 기하학적으로 이는 3개의 평면이 하나의 선에서 만나거나(무수히 많은 해), 완전히 겹치거나, 혹은 평행하여 만나지 않는(해가 없음) 상태를 의미합니다. 질문자님의 사례는 '선형 종속'이 되어 무수히 많은 해가 발생하는 경우입니다. 2025 12.30 질문하신 연립 방정식은 미지수가 3개이고 모두 1차인 3원 1차 연립방정식입니다. 이상적으로 문제가 없다면 {x,y,z} 에 대한 좌표가 하나 나오게 됩니다. 원하는 답 {52.5, -2.5, 15} 그런데 두개 조건(식)을 그대로 두고 나머지 하나를 변형하다 보니 원하는 답이 나오지 않는 상황이 발생하였다고 질문하신 상황입니다. 3개의 조건식이 주어진 3원 1차 연립방정식은 조건을 변형해서 하나의 변수를 제거할 수 있습니다. 그러면 2개의 조건식으로 주어지는 2원 1차 연립방정식으로 변형할 수 있습니다. (알아보기 더 쉬워서 변형하는 겁니다) 변경하지 않은 조건의 식(con1) 을 이용해 하나의 y & z 1차 방정식을 유도할 수 있는데요. 나머지 방정식이 con1에서 유도된 방정식과 동일해지면 하나의 답이 구해지지 않는 것입니다. 계산기(ti-nspire)는 {x,y,z} 의 답이 하나가 아니고 무수히 많음을 c1 을 이용해서 표현해 준 것입니다. linear_independence_cond12.tns 2025 12.30