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유효숫자 Significant figures
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- 2024.09.22 - 21:59 2015.03.19 - 11:52 33302 5
1. 정의
- 정확도에 영향을 주는 숫자 : Wikipedia(KO)
- 오차를 고려한다 해도 신뢰할 수 있는 숫자를 자릿수로 나타낸 것 : 두산 백과
- The significant figures of a number are those digits that carry meaning contributing to its precision : WIkipddia (EN)
- Each of the digits of a number that are used to express it to the required degree of accuracy, starting from the first non-zero digit. : Oxford Dic
2. 특징
- 유효숫자의 갯수는 소숫점 위치와는 무관
- 자릿수만을 표현하기 위한 0은 유효숫자가 아니다. 0.000123 에서 1 앞의 0들
- 유효숫자 사이의 숫자는 유효숫자이다. (유효숫자는 연속으로 존재한다) 102 에서 1과 2가 유효숫자라면 0도 유효숫자
- 과학적 상수는 유효숫자가 무한대
- 수학은 오차 없는 정확한 숫자를 다루기 때문에 유효숫자 문제가 발생하지 않으나,
과학은 실험에 의한 오차가 항상 발생하기 때문에 유효숫자를 잘 파악해야 한다.
3. 구분
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숫자 |
유효숫자의 갯수 |
비고 |
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0.000123 |
1,2,3 |
앞의 0 무리는 자릿수를 표현하기 위한 것일 뿐 |
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1.234 |
1,2,3,4 |
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2.0 |
2,0 |
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0.0 |
없음 |
모든 자리가 0 |
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1.200E(-10) |
1,2,0,0 |
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4×10² |
4 |
? |
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내 손바닥 위의 사탕 1개 |
무한대 |
오차 없이 정확한 측정이 가능한 셈의 결과 |
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무한대 |
과학적 상수 |
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1980 (1의 자리 반올림) |
1,9,8 |
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1980 (소숫점 첫째자리에서 반올림) |
1,9,8,0 |
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4. 연산
- 덧셈, 뺄셈
소숫점 이하 자릿수가 짧은 것에 기준한다.
ex) 101.10 (소수이하2)+ 1.234 (소수이하3) + 3.109910 (소수이하6)
105.44 (소수이하2)
- 곱셈, 나눗셈
유효숫자의 갯수가 적은 것에 기준한다.
ex) 101.10 (유효5)× 1.234 (유효4) 124.7 (유효4)
1.2 kW (유효2) × 2 (유효무한대) 2.4 kW(유효2)
- 셋 이상의 숫자 연산시 유효 숫자 처리는 중간에 혹은 마지막에?
매 계산마다 유효숫자 처리를 하는 것이 원칙.
단, 중간 유효숫자 갯수보다 한자리 많게 계산함.(근거는 모르겠음. 곱하기에서만 한자리 많게 하는 건가?)
ex) 4.18 - 56.17 ⅹ (3.382 - 3.01)
= 4.18 - 56.17 ⅹ 0.37 ⇐ 뺄셈방법에 따라 소수점 이하 2자리로 맞춤.
= 4.18 - 20.(8) ⇐ 반올림하여 한자리를 추가한 후 유효숫자 2자리로 맞춤.
= -17 ⇐ 소수점 첫째 자리에서 반올림하여 소수점 이하 0자리로 맞춤. (4.18 - 20 = -15.82)
- 반올림? 버림?
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댓글5
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세상의모든계산기
연산 예제의 계산 (feat. TI nspire Tool - Significant Figures Calculator )
나름 계산해 과정까지 보여주긴 합니다만,
교제에서 나온 것과 결과가 다를 수 있습니다. 주의하세요.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
- claude AI는 l-c*r^2 을 1-c*r^2 으로 잘못 읽고 표시하고 있습니다. - TI-nspire CAS 계산기에 l-c*r^2 ≥0 을 조건에 추가해 계산해 보아도 결과는 바뀌지 않습니다. 2026 07.20 ⚠️ 경고가 바로 두 번째 방법이 "성공"한 이유와 정확히 연결되어 있습니다. 경고의 의미 "Domain of the result might be larger than the domain of the input"는 CAS가 절댓값(모듈러스)을 계산하는 과정에서 원래 식보다 정의역이 더 넓은 형태로 단순화했다는 뜻입니다. 구체적으로 이 계산은 내부적으로 대략 이런 과정을 거칩니다. $$\left|\frac{er}{e\cdot r}\right| = \sqrt{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)\cdot\overline{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)}}$$ 즉 원래 식(복소수)과 그 켤레복소수를 곱해서 실수부·허수부 제곱합을 만들고, 거기에 다시 제곱근을 씌우는 과정입니다. 이 과정에서 √(x²) → x 또는 √a·√b → √(ab) 같은 규칙들이 쓰이는데, 이런 규칙들은 x가 실수이고 0 이상일 때만 엄밀하게 성립합니다. CAS는 이 조건들을 일일이 다 추적하지 않고 넘어가면서, 원래는 (e≠0, r+l·ω·i ≠ 0 등) 복소수 특유의 좁은 정의역을 가진 식을, r, l, ω가 어떤 실수여도(부호 무관하게) 정의되는 1/√(r²+l²·ω²)라는 더 넓은 정의역의 식으로 바꿔버린 것입니다. CAS는 이 손실을 감지하고 경고를 띄운 것입니다. 이게 왜 조건 대입 성공과 연결되는가 정리하면, 이 경고는 사실상 이런 뜻입니다. "나는 이 결과를 만들면서 원래 식이 가지고 있던 정의역 제약 정보(부호 조건, i 관련 조건 등)를 이미 버렸다." 바로 이 "정의역 정보를 버린" 상태가 이후 con_1 대입을 매끄럽게 만드는 원인입니다. 첫 번째 시도에서는 i가 살아있는 원래 식에 조건을 대입했기 때문에, CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(정의역 조건: 1-c·r² ≥ 0) 계속 추적하려고 했고, 그 정보가 con에 없어서 더 이상 정리를 못 하고 멈췄습니다. 두 번째 시도에서는 절댓값 계산 단계에서 이미 그런 세밀한 정의역 추적을 CAS 스스로 포기(단순화)했기 때문에, 이후 ω에 무리식을 대입해도 "이게 실수가 맞나?" 하는 검증 절차 없이 그냥 대수적으로 치환·정리해 버립니다. 그래서 깔끔하게 √c/√l이 나온 겁니다. 한 줄 요약 절댓값 계산 시 뜬 "정의역이 넓어졌을 수 있다"는 경고는, CAS가 그 순간에 원래 식의 엄밀한 조건(정의역)을 놓쳤다는 신호이고, 바로 그 "조건을 놓친 상태"이기 때문에 뒤에 이어지는 조건식 대입이 막힘없이 진행된 것입니다. 다만 그 대가로, 결과인 1/√(r²+l²·ω²)이나 최종 √c/√l이 원래 회로 조건(i≠0이 되는 경계, 분모가 0이 되는 경우 등)에서는 엄밀히 성립하지 않을 수 있다는 점은 감안하셔야 합니다. 실제 물리적으로는 r, l, c > 0이고 결과도 물리적으로 타당한 형태라 문제없어 보이지만, 수학적 엄밀성 측면에서는 "정의역이 넓어진 근사적 결과"라는 꼬리표가 붙어있는 셈입니다. 2026 07.20 Claude AI 답변 TI-Nspire CAS의 | (such that / 조건대입) 연산자는 대입 시점의 수식 형태를 그대로 두고 기호만 치환하는 연산입니다. 대입 후에 처음부터 다시 "실수부/허수부 분리, 유리화" 같은 재간소화를 자동으로 수행하지 않습니다. 이 차이가 지금 보신 결과 차이의 핵심입니다. 첫 번째 경우 (|er/(e·r)| | con_1 and con → 실패) 이 시점의 식은 아직 r + l·ω·i 형태의 복소수 그대로입니다 (i가 살아있음). 여기에 con_1: ω = √(1-c·r²)/(√c·l)을 대입하면, 분모 안에 i · √(1-c·r²) 라는 항이 새로 생깁니다. 문제는 CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(즉 1-c·r² ≥ 0인지) 판단할 근거가 없다는 겁니다. 저장해 두신 con 조건은 c>0, l>0, r>0뿐이고, 1-c·r²≥0이라는 조건은 포함되어 있지 않습니다. 그래서 CAS는 i와 이 무리식을 더 정리(유리화, 실수부·허수부 재결합)하지 못하고 있는 그대로 남겨둡니다. 결과에 여전히 i가 보이는 이유입니다. 두 번째 경우 (결과값 1/√(r²+l²·ω²)에 대입 → 성공) |er/(e·r)| (절댓값/모듈러스) 연산은 그 자체로 이미 "복소수 → 실수" 변환을 완료한 결과입니다. 즉 1/√(r²+l²·ω²)에는 더 이상 i가 없고, 순수하게 r, l, ω로만 이루어진 실수식입니다. 이 식에 ω = con_1을 대입하는 것은 그냥 실수 대수식에 실수 대입하는 것이므로, i와 무리식이 뒤엉키는 문제 자체가 발생하지 않습니다. 그래서 바로 깔끔하게 √c/√l로 정리됩니다. 정리하면 절댓값(모듈러스) 계산은 "이 값들이 실수다"라는 가정을 이미 내부적으로 써서 i를 제거하는 연산입니다. 그 연산을 조건 대입 이전에 해두면, 이후 대입은 단순 실수 대입이라 문제없이 정리됩니다. 반대로 i가 남아있는 식에 무리식을 포함한 조건을 먼저 대입하면, 그 무리식의 실수성/부호에 대한 가정이 없어서 CAS가 i를 소거하는 재간소화를 못 하고 멈춰버립니다. 실용적 팁: 복소식에 조건을 대입해야 할 때는 가능하면 절댓값·실수화(유리화) 등을 먼저 끝내서 i를 없앤 뒤 조건을 대입하거나, 대입 후 결과에 다시 simplify/expand/combine 같은 명령을 한 번 더 걸어주면 (필요한 도메인 조건과 함께) 정리가 되는 경우가 많습니다. 2026 07.19 저도 어림잡아 추측할 뿐이지 정확한 이유를 알지는 못합니다. 질문하신 사진을 그대로 (Gemini 3.5 Flash / ChatGPT / Claude Sonnet 5) AI에 넣어 보니 claude AI 가 제일 합리적인 답변을 주어서 이를 붙여 넣습니다. 2026 07.19 아 그렇네요. 감사합니다. ^^ 2026 04.28