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스피드런, 모든 스테이지 클리어 시, "총 플레이타임 < 최소 시간 기록" 일 확률은?
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- 2024.09.04 - 21:52 2024.09.04 - 08:59 3843 7
게임 설정
총 스테이지 : 60 stages
스테이지 타입 : 3 中 1 랜덤 확률로 등장
- A타입 = 52% 확률, 클리어 타임 20초
- B타입 = 25% 확률, 클리어 타임 100초
- C타입 = 23% 확률, 클리어 타임 60초
총 스테이지 60개를 모두 끝냈을 때,
최소 시간 기록(36분50초=2210초) 미만일 확률은?
* 각 스테이지는 연속 플레이하는 것으로 한다.
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댓글7
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세상의모든계산기
클라우드 3.5 Sonnet 답변
이 문제를 해결하기 위해 단계별로 접근해 보겠습니다.
1. 먼저 각 타입의 평균 등장 횟수와 총 클리어 시간을 계산합니다:
A 타입: 60 * 0.52 = 31.2회, 31.2 * 20초 = 624초
B 타입: 60 * 0.25 = 15회, 15 * 100초 = 1500초
C 타입: 60 * 0.23 = 13.8회, 13.8 * 60초 = 828초2. 평균 총 클리어 시간:
624 + 1500 + 828 = 2952초 = 49분 12초3. 표준편차를 계산하기 위해 각 타입의 분산을 구합니다:
A 타입: (20 - 49.2)^2 * 0.52 = 445.536
B 타입: (100 - 49.2)^2 * 0.25 = 645.04
C 타입: (60 - 49.2)^2 * 0.23 = 26.7724. 총 분산:
(445.536 + 645.04 + 26.772) * 60 = 67040.885. 표준편차:
sqrt(67040.88) = 258.92초 ≈ 4분 19초6. 36분 50초는 2210초입니다. 이를 z-점수로 변환합니다:
z = (2210 - 2952) / 258.92 = -2.877. 이 z-점수에 해당하는 확률을 구합니다:
P(Z < -2.87) ≈ 0.0021 (0.21%)따라서 60개의 스테이지를 36분 50초 미만으로 클리어할 확률은 약 0.21%입니다.
이 계산에는 중심극한정리를 적용하여 정규분포를 가정했습니다. 실제 분포는 완벽한 정규분포가 아닐 수 있으므로, 이 결과는 근사치임을 유의해야 합니다.
추가 설명이 필요하거나 다른 질문이 있으시면 말씀해 주세요.
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세상의모든계산기
ChatGPT-4o 답변
우선, 각 타입의 스테이지가 등장할 확률을 기반으로, 예상되는 클리어 타임을 계산한 후, 이를 사용하여 60개 스테이지를 모두 클리어하는데 걸리는 시간을 구하고, 이를 통해 36분 50초(2,210초) 미만일 확률을 계산해야 합니다.
1. 예상되는 클리어 타임 계산
각 타입의 스테이지가 등장할 확률과 각 타입의 클리어 타임을 사용하여 예상되는 평균 클리어 타임을 계산합니다.- A 타입: 20초 (52% 확률)
- B 타입: 100초 (1분 40초) (25% 확률)
- C 타입: 60초 (1분) (23% 확률)평균 클리어 타임은 다음과 같이 계산됩니다.
\[
E(\text{Time}) = 0.52 \times 20 + 0.25 \times 100 + 0.23 \times 60
\]2. 60개 스테이지의 총 클리어 타임 계산
총 클리어 타임은 위에서 계산한 평균 클리어 타임에 60을 곱한 값입니다.\[
\text{Total Expected Time} = 60 \times E(\text{Time})
\]3. 36분 50초 미만일 확률
클리어 타임이 36분 50초 미만일 확률은 정규분포를 사용하여 구할 수 있습니다. 이를 위해 필요한 것은 예상 총 클리어 타임의 분산과 표준 편차입니다.4. 계산 수행
from scipy.stats import norm # 각 타입의 확률과 클리어 타임 prob_A = 0.52 prob_B = 0.25 prob_C = 0.23 time_A = 20 # A 타입 클리어 타임 (초) time_B = 100 # B 타입 클리어 타임 (초) time_C = 60 # C 타입 클리어 타임 (초) # 예상 클리어 타임 계산 (초 단위) expected_time_per_stage = (prob_A * time_A) + (prob_B * time_B) + (prob_C * time_C) # 60개 스테이지의 예상 총 클리어 타임 total_expected_time = 60 * expected_time_per_stage # 각 타입의 분산 계산 variance_A = prob_A * (time_A - expected_time_per_stage) ** 2 variance_B = prob_B * (time_B - expected_time_per_stage) ** 2 variance_C = prob_C * (time_C - expected_time_per_stage) ** 2 # 총 분산과 표준 편차 계산 total_variance_per_stage = variance_A + variance_B + variance_C total_variance = 60 * total_variance_per_stage total_std_dev = total_variance ** 0.5 # 36분 50초 = 2210초 미만일 확률 계산 target_time = 2210 # 36분 50초 (초 단위) # 정규 분포를 사용하여 36분 50초 미만일 확률 계산 probability = norm.cdf(target_time, total_expected_time, total_std_dev) total_expected_time, total_std_dev, probability
결과
(2952.0, 258.69209497006284, 0.002063584899531624)
이제 각 단계에 대한 계산을 수행하여 최종 확률을 구하겠습니다.60개의 스테이지를 모두 클리어하는 데 예상되는 평균 시간은 2,952초(49분 12초)이며, 표준 편차는 약 258.7초입니다.
36분 50초(2,210초) 미만으로 클리어할 확률은 약 0.206%입니다. 이는 매우 낮은 확률입니다.
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세상의모든계산기
(오답이지만 위의 2개 답변에 대하여) TI-nspire 로 확인
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세상의모든계산기
네이버 지식인 답변 : cr42****
일단 어떤 상황일떄 시간 조건을 만족하나 보면
60개 중 A,B,C가 a,b,c개 등장한다고 하면 소요시간은
20a+100b+60c 초입니다. 이것이 36×60 + 50 = 2210초 미만이어야 합니다.
20a+100b+60c＜2210
2a+10b+6c＜221
a+5b+3c＜110.5
a,b,c정수이므로 결국
a+5b+3c≤110
a+b+c + 4b+2c≤110
60 + 4b+2c≤110
4b+2c≤50
2b+c≤25 를 만족하면 됩니다.
이를 만족하는 (b,c)의 쌍은 b = k일때 c는 0에서 25-2k까지 26-2k)개 가능하므로
Σ(k=0~12) (26-2k) = 26×13 - 2×12×13/2 = 26×13 - 12×13 = 14×13 = 182개 상황이 생깁니다.
각 경우마다 a = 60-b-c로 구해지므로
결국 조건을 만족하는 (a,b,c)의 쌍은 총 182개가 생깁니다.
각 경우마다 (a+b+c)!/{a!*b!*c!} × 52%^a × 25%^b × 23%^c로 확률을 구할 수 있고
그 확률 182개를 합친 것이 전체 목표한 확률이 됩니다.
저 182개를 일일이 할 생각은 없고
엑셀로 해 보니 총 확률은 약 0.162% 정도 됩니다.
600번에 한 번이 좀 안 되는 확률입니다.
엑셀로 한 것은 다음과 같습니다.
(참고로 D2의 수식은 =+FACT(60)/FACT(A2)/FACT(B2)/FACT(C2)*52%^A2*25%^B2*23%^C2 로 넣었습니다.)
전체 확률
0.1620868923%
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세상의모든계산기
파이썬 시뮬레이션 결과
import random # 스테이지 타입별 확률과 클리어 시간 prob_A = 0.52 # A 타입 등장 확률 prob_B = 0.25 # B 타입 등장 확률 prob_C = 0.23 # C 타입 등장 확률 time_A = 20 # A 타입 클리어 시간 (초) time_B = 100 # B 타입 클리어 시간 (초) time_C = 60 # C 타입 클리어 시간 (초) # 총 스테이지 수와 목표 시간 num_stages = 60 target_time = 2210 # 36분 50초 = 2210초 # 시뮬레이션 횟수 num_simulations = 100000000 # 1억 번 시뮬레이션 # 36분 50초 이하로 클리어한 횟수 successful_runs = 0 # 시뮬레이션 수행 for _ in range(num_simulations): total_time = 0 for _ in range(num_stages): rand = random.random() if rand < prob_A: total_time += time_A elif rand < prob_A + prob_B: total_time += time_B else: total_time += time_C if total_time <= target_time: successful_runs += 1 # 확률 계산 probability = successful_runs / num_simulations print(f"60개의 스테이지를 36분 50초 이하로 클리어한 확률: {probability:.6f}")실행 결과 : 1억회60개의 스테이지를 36분 50초 이하로 클리어한 확률: 0.001623 -
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세상의모든계산기
100만 시뮬레이션 분포 히스토그램
import random import matplotlib.pyplot as plt # 스테이지 타입별 확률과 클리어 시간 prob_A = 0.52 # A 타입 등장 확률 prob_B = 0.25 # B 타입 등장 확률 prob_C = 0.23 # C 타입 등장 확률 time_A = 20 # A 타입 클리어 시간 (초) time_B = 100 # B 타입 클리어 시간 (초) time_C = 60 # C 타입 클리어 시간 (초) # 총 스테이지 수와 목표 시간 num_stages = 60 target_time = 2210 # 36분 50초 = 2210초 # 시뮬레이션 횟수 num_simulations = 1000000 # 100만 번 시뮬레이션 # 각 시뮬레이션에서의 총 클리어 시간을 저장할 리스트 total_times = [] # 시뮬레이션 수행 for _ in range(num_simulations): total_time = 0 for _ in range(num_stages): rand = random.random() if rand < prob_A: total_time += time_A elif rand < prob_A + prob_B: total_time += time_B else: total_time += time_C total_times.append(total_time) # 히스토그램 그리기 plt.hist(total_times, bins=100, color='skyblue', edgecolor='black') plt.axvline(target_time, color='red', linestyle='dashed', linewidth=1) plt.title('Distribution of Total Clear Time in Simulations') plt.xlabel('Total Clear Time (seconds)') plt.ylabel('Frequency') plt.show() -
세상의모든계산기
확률 생성 함수(Probability Generating Function, PGF) 적용시
이 문제를 해결하기 위해 확률 생성 함수(Probability Generating Function, PGF)를 사용할 수 있습니다.
1. 각 스테이지의 PGF 정의:
P(s) = 0.52s^20 + 0.25s^100 + 0.23s^602. 60개 스테이지의 총 시간에 대한 PGF:
P_total(s) = [P(s)]^603. 2210초 이하의 확률 계산:
우리가 찾는 확률은 P_total(s)의 s^0부터 s^2210 미만인 계수의 합입니다.이 계산은 매우 복잡하며, 컴퓨터의 도움 없이는 수행하기 어렵습니다. 파이썬을 사용하여 이 계산을 수행하는 프로그램을 작성해 보겠습니다.
import numpy as np from scipy import stats def pgf_coefficient(n, k): return stats.binom.pmf(k, n, 0.52) * (20**k) * ((100**(n-k)) * 0.25 + (60**(n-k)) * 0.23) def calculate_exact_probability(max_time=2210, stages=60): # 동적 프로그래밍을 사용하여 PGF 계수 계산 dp = np.zeros(max_time) # 2210 대신 2209를 사용 dp[0] = 1 for _ in range(stages): new_dp = np.zeros(max_time) for i in range(max_time): for j in range(min(i + 1, 101)): # 100초가 최대 단일 스테이지 시간 if j == 20: new_dp[i] += dp[i - j] * 0.52 elif j == 60: new_dp[i] += dp[i - j] * 0.23 elif j == 100: new_dp[i] += dp[i - j] * 0.25 dp = new_dp return np.sum(dp) if __name__ == "__main__": exact_prob = calculate_exact_probability() print(f"정확한 확률 (2210초 미만): {exact_prob:.6f}") print(f"백분율: {exact_prob * 100:.4f}%")실행 결과정확한 확률 (2210초 미만): 0.00162086892288
백분율: 0.162086892288%이 프로그램은 다음과 같이 작동합니다:
1. `pgf_coefficient` 함수는 각 스테이지의 PGF 계수를 계산합니다.
2. `calculate_exact_probability` 함수는 동적 프로그래밍을 사용하여 60개 스테이지의 총 시간에 대한 정확한 확률을 계산합니다.
3. 최종적으로 2210초 (36분 50초) 미만의 정확한 확률을 계산합니다.
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2) 고정기준값 41에 대한 오차 제곱합 계산방법 이건 통계메뉴에서는 딱히 방법이 떠오르지 않네요. 질문하신 것과 같이 적은 갯수의 data라면 직접 입력하시는게 최선입니다. 하지만 DATA 갯수가 수십개 이상이라면? ㄴ 스프레드시트 기능을 이용하시는게 좋겠습니다. 【MENU】【8】 A열에 DATA 입력하고 B로 이동한 후 OPTN 【1】 Fill Formula 【ALPHA】키 방향키 숫자키 등을 이용해 수식 완성 C로 이동후 Formula 수식 입력 D의 빈공간으로 이동 후 OPTN 방향키 아래 누르다보면 Sum 보임 ALPHA 키 이용해서 수식 완성. : 기호는 MENU 버튼 바로 아래 있음 (ALPHA키로 입력) 【=】입력하면 최종결과 확인 * 주의 (B열, C열과 달리) D1 셀은 계산 결과인 951이 직접 입력된 상태이므로 DATA 수정후 recalculation 하여도 자동계산되지 않음. 자동계산을 위해서는 formula 형식으로 입력해야 함. 2026 10.27 1) 통계적 편차제곱합(평균 50.25기준) 입력 방법 【MENU】 【6】 【1】 로 1-var Stat 모드로 진입하여 【48】 【=】 【66】 【=】 【32】 【=】 【55】【=】 DATA 입력 【OPTN】 【3】 【▼】 【▼】 fx-570EX 기종에도 편차제곱합을 바로 보여주진 않습니다. 본문에 나온 것처럼 앞서 계산되어 저장된 각종 변수를 이용해 계산합니다. 【AC】【OPTN】【4】Statistics Calc 이 화면에서 다시 OPTN 하고 (메뉴가 3개로 줄어 있죠?) 여기서 방향키로 【▼】 아래를 내려보면 추가 메뉴가 있습니다. 4개 메뉴에는 각각 아래 하위 메뉴가 있습니다. 이 중에서 필요로 하는 것을 골라 계산하시면 되겠습니다. Variable 에 있는 값을 이용하면 다른 공식을 쓰셔도 됩니다. 2026 10.27 질문자님, 48,66,32,55 네 개 DATA 의 평균은 50.25라서 41은 평균이 아닙니다. 그래서 식을 두 가지로 나눠서 봐야 합니다. 1) 통계적 편차제곱합(평균 50.25기준)이면 답은 608.75 입니다. 2) 만약 41이라는 고정 기준값에 대한 제곱합을 구하시는 거면 식은 (48-41)²+... 이고 답은 951입니다. 원문에 +로 쓰신 건 -의 오타로 보입니다. 2026 10.27 본문의 변환 위젯에 사용된 전서체 폰트는 대만의 최고 학술 연구 기관인 중앙연구원(Academia Sinica)에서 제공하는 ‘숭희전체(崇羲篆體)’로 전통 한자 서체인 소전(小篆)을 현대 컴퓨터 폰트(글꼴)로 구축한 오픈소스 프로젝트로 개발되었습니다. https://xiaoxue.iis.sinica.edu.tw/chongxi/download.htm 2026 10.20 예제1) 예제2) 예제3) 추가옵션 2026 10.18