- 세상의 모든 계산기 수학, 과학, 공학 이야기 확률통계 ()
[확률] - 6/45 로또를 5게임을 선택 했을 때, 당첨 번호 6개가 5게임의 모든 숫자들의 집합에 포함될 확률은?
-
- 2024.07.31 - 08:03 2024.07.28 - 10:21 4106 11
로또 확률 - 6/45 로또를 5게임을 선택 했을 때, 당첨 번호 6개가 5게임의 모든 숫자들의 집합에 포함될 확률은?
1) 5set 모두 숫자가 안겹치는 경우
: 최상의 경우 1게임이 1등에 당첨 & 나머지 모두 꽝
45개중에 30개 숫자를 선택하고 - > 5게임으로 숫자들을 분배하는 걸로 보면 되니까
- 총 경우의 수: 45개의 숫자 중 30개를 뽑는 경우의 수는 45C30입니다.
- 바람직한 경우의 수: 6개의 당첨 번호를 이미 뽑았다고 가정하면, 나머지 24개 숫자를 45-6=39개의 숫자 중에서 뽑는 경우의 수와 같습니다. 즉, 39C24입니다.
- 확률: 바람직한 경우의 수 / 총 경우의 수 = 39C24 / 45C30
-
통계적 검증
from scipy.special import comb import random # Simulate lottery draws (number of simulations) simulations = 100000 # Winning numbers (replace with actual winning numbers if desired) winning_numbers = random.sample(range(1, 46), 6) # Favorable cases count favorable_cases = 0 for _ in range(simulations): # Pick 30 numbers from 45 chosen_numbers = random.sample(range(1, 46), 30) # Check if all winning numbers are included in chosen numbers if set(winning_numbers).issubset(set(chosen_numbers)): favorable_cases += 1 # Probability estimation probability = favorable_cases / simulations # Print result (formatted for readability) print(f"Estimated probability of winning lotto with 30 chosen numbers (all winning numbers included after {simulations} simulations): {probability:.10f}")실행 결과 : Estimated probability of winning lotto with 30 chosen numbers (all winning numbers included after 100000 simulations): 0.0718200000
Estimated probability of winning lotto with 30 chosen numbers (all winning numbers included after 100000 simulations): 0.0733000000
2) 5set 숫자가 서로 겹치는 걸 허용하는 경우
: 최상의 경우 : 5게임을 동일하게 선택하여, 모두 1등 당첨!
- 통계적 검증
from scipy.special import comb import random # Simulate lottery draws (number of simulations) simulations = 100000 favorable_cases = 0 # Initialize inside the loop # Initialize min and max length trackers min_length = float('inf') max_length = float('-inf') for _ in range(simulations): # Winning numbers (replace with actual winning numbers if desired) winning_numbers = set(random.sample(range(1, 46), 6)) # Generate 5 sets of 6 random numbers chosen_numbers = [random.sample(range(1, 46), 6) for _ in range(5)] # Flatten the list and remove duplicates all_numbers = list(set([num for sublist in chosen_numbers for num in sublist])) # Update min and max length current_length = len(all_numbers) if current_length < min_length: min_length = current_length if current_length > max_length: max_length = current_length # Check if all winning numbers are included in chosen all numbers if set(winning_numbers).issubset(set(all_numbers)): favorable_cases += 1 # Probability estimation probability = favorable_cases / simulations # Print results print(f"Minimum length of all_numbers across simulations: {min_length}") print(f"Maximum length of all_numbers across simulations: {max_length}") print(f"Estimated probability of winning lotto with 5 sets of 6 numbers (all winning numbers included after {simulations} simulations): {probability:.10f}")실행 결과 :
횟수 1억회 시도시
Minimum length of all_numbers across simulations: 13
Maximum length of all_numbers across simulations: 30
Estimated probability of winning lotto with 5 sets of 6 numbers (all winning numbers included after 100000000 simulations): 0.0137585900
수학적 해결 방법
문제 정의
- 전체 숫자: 1부터 45까지 (N = 45)
- 각 게임에서 선택하는 숫자: 6개 (k = 6)
- 게임 수: 5 (m = 5)
- 목표: 5게임에서 선택한 숫자들이 1등 번호 6개를 모두 포함할 확률 계산
수학적 접근
1. 한 게임에서 특정 숫자를 선택할 확률:
P(선택) = 6/45 = 2/152. 한 게임에서 특정 숫자를 선택하지 않을 확률:
P(선택하지 않음) = 1 - 2/15 = 13/153. 5게임 모두에서 특정 숫자를 선택하지 않을 확률:
P(5게임 모두 선택하지 않음) = (13/15)^54. 5게임 중 적어도 한 번 특정 숫자를 선택할 확률:
P(적어도 한 번 선택) = 1 - P(5게임 모두 선택하지 않음)
= 1 - (13/15)^55. 6개의 당첨 번호 모두가 5게임 중 적어도 한 번씩 선택될 확률:
P(모든 당첨 번호 포함) = (1 - (13/15)^5)^6
반대의 경우 :
1등 번호가 5게임의 숫자에 아무것도 들어기지 않는 경우
https://allcalc.org/45299
-
25
댓글11
-
세상의모든계산기
포함-배제 원리를 사용하여 1등 번호 6개가 5개의 게임에서 모두 포함될 확률을 구하는 방법
1. 포함-배제 원리 개요
포함-배제 원리를 사용하여 "적어도 하나의 숫자가 포함되지 않는 경우"의 확률을 구한 후, 이를 통해 "모든 숫자가 포함되는 경우"의 확률을 구합니다.
문제 정의:
- 전체 숫자 집합: 45개
- 게임에서 선택하는 숫자: 6개
- 게임 수: 5개
- 1등 번호: 6개 (이 숫자들이 5게임 모두에 포함되기를 원함)2. 포함-배제 원리를 적용한 확률 계산
1. 단일 숫자가 포함되지 않을 확률:
단일 숫자가 한 게임에서 선택되지 않을 확률은:
\[
p(\text{특정 숫자를 포함하지 않음}) = \frac{\binom{44}{6}}{\binom{45}{6}} = \frac{13}{15}
\]2. 적어도 하나의 1등 번호가 포함되지 않을 확률:
포함-배제 원리를 사용하여, 적어도 하나의 1등 번호가 5개의 게임 중 적어도 하나의 게임에서 포함되지 않는 확률을 구합니다.
- \( A_i \): 1등 번호의 \( i \)-번째 숫자가 포함되지 않은 경우의 사건.
\[
P(\text{적어도 하나의 숫자가 포함되지 않음}) = \sum_{i=1}^{6} (-1)^{i+1} \left[ P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \cdots \cap A_{ii}) \right]
\]여기서 \( A_{ij} \)는 \( i \)개의 특정 숫자가 게임에서 모두 선택되지 않는 사건입니다.
- 한 숫자가 포함되지 않는 확률:
\[
P(A_{i}) = \left(\frac{13}{15}\right)^5
\]- 두 숫자가 포함되지 않는 확률:
두 숫자가 모두 포함되지 않을 확률은 43개의 숫자 중 6개를 선택하는 경우로 계산할 수 있습니다.
\[
P(A_{i1} \cap A_{i2}) = \left(\frac{\binom{43}{6}}{\binom{45}{6}}\right)^5 = \left(\frac{3}{5}\right)^5
\]- 일반화:
i개의 숫자가 모두 포함되지 않을 확률은:
\[
P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \cdots \cap A_{ii}) = \left(\frac{\binom{45-i}{6}}{\binom{45}{6}}\right)^5
\]이 값을 포함-배제 원리에 따라 합산하여 적어도 하나의 1등 번호가 포함되지 않을 확률을 구합니다.
3. 최종 확률 계산
모든 1등 번호가 5개의 게임에 모두 포함될 확률은:
\[
P(\text{모든 1등 번호를 포함할 확률}) = 1 - P(\text{적어도 하나의 숫자가 포함되지 않음})
\]포함-배제 원리를 사용한 수식 예시:
예를 들어, 1등 번호의 6개 중 하나라도 포함되지 않을 확률을 계산하는 과정은 다음과 같습니다:
\[
P(\text{적어도 하나의 숫자가 포함되지 않음}) = \sum_{i=1}^{6} (-1)^{i+1} \left[ \left(\frac{\binom{45-i}{6}}{\binom{45}{6}}\right)^5 \right]
\]이 경우, 실제 계산은 다음과 같습니다:
- \( i = 1 \):
\[
\text{단일 숫자가 포함되지 않을 확률} = \left(\frac{13}{15}\right)^5
\]- \( i = 2 \):
\[
\text{두 숫자가 모두 포함되지 않을 확률} = \left(\frac{3}{5}\right)^5
\]- 계속하여 i = 3, 4, 5, 6에 대해서도 계산을 수행합니다.
이러한 계산들을 포함-배제 원리에 따라 합산하여 최종 확률을 구합니다.
위 수식들을 계산하여 결과를 도출할 수 있습니다. 컴퓨터를 사용하여 이 계산을 자동화하면 더 효율적으로 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.
-
세상의모든계산기
제시된 문제: (중복 포함시)
로또 6/45에서 5세트의 번호를 조합하여 하나의 큰 집합을 만들고, 이 집합 안에 당첨 번호 6개가 모두 포함될 확률을 구하는 문제입니다. 조합된 집합의 총 숫자는 6개(모두 중복)에서 30개(하나도 중복되지 않음) 사이가 될 수 있습니다.
해결 방안:
- 표본 공간: 1부터 45까지의 숫자 중 6개를 선택하는 모든 경우의 수 (45C6)
- 사건: 조합된 집합 안에 당첨 번호 6개가 모두 포함되는 경우
- 확률: 위 사건이 발생할 확률
문제점:
- 조합된 집합의 크기가 가변적: 조합된 집합의 크기가 6개에서 30개까지 다양하기 때문에 단순한 조합 계산으로는 해결하기 어렵습니다.
- 중복 고려: 조합된 집합 내에 숫자가 중복될 수 있는 경우를 고려해야 합니다.
해결을 위한 접근 방식:
-
보수 사건 계산(=여집합 계산):
- 조합된 집합에 당첨 번호가 하나라도 빠지는 경우를 계산하는 것이 더 효율적입니다.
- 각 당첨 번호가 조합된 집합에 포함될 확률을 구하고, 이들의 보수를 취합니다.
-
포함-배제의 원리:
- 여러 사건이 동시에 발생할 확률을 계산하는 데 유용한 방법입니다.
- 각 당첨 번호가 조합된 집합에 포함될 확률과, 두 개의 당첨 번호가 동시에 포함될 확률, 세 개의 당첨 번호가 동시에 포함될 확률 등을 계산하여 포함-배제의 원리를 적용합니다.
-
세상의모든계산기
TI-Nspire 시뮬레이션
Define lotto5(n,un)= Prgm :Local i,j,k,l,match,favor,f_case :0→f_case :If un=0 Then : un=0 :Else : un=1 :EndIf : :For k,1,n :randSamp(l45,6,1)→l6 :{}→l30 : :If un=1 Then : randSamp(l45,30,un)→l30 :Else : For l,1,5 : augment(l30,randSamp(l45,6,1))→l30 : EndFor :EndIf : 1→favor : : :For i,1,dim(l6) : 0→match : : For j,1,dim(l30) : If l6[i]=l30[j] Then : 1→match : Exit : EndIf : EndFor : : If match=0 Then : 0→favor : Exit : EndIf :EndFor : : :If favor=1 Then : f_case+1→f_case : :EndIf : :EndFor :Disp "f_case/total=",approx(((f_case)/(n)))*100,"(%)" : :EndPrgm - 1
- 1
-
세상의모든계산기
binomPdf(6,(13/15)^(5))
{0.017815713785677,0.10226987830344,0.24461383112924,0.31204196776788,0.22390692882904,0.085688153870291,0.01366352631444}
binomPdf(6,1-(13/15)^(5))
{0.01366352631444,0.085688153870289,0.22390692882904,0.31204196776788,0.24461383112924,0.10226987830344,0.017815713785677}
이항 분포를 이용한 로또 확률 계산 가능한가?
binomPdf 함수 설명binomPdf(n, p)는 이항 분포의 확률 분포 함수(PDF)를 계산합니다.
- n: 시행 횟수
- p: 각 시행에서의 성공 확률
로또 문제에 적용- n = 6 (당첨 번호의 개수)
- p = (13/15)^5 (5게임 모두에서 특정 번호가 포함되지 않을 확률)
결과 해석 (필요)binomPdf(6, (13/15)^5,0) = 0.017815713785677 // AI가 잘 못 알려준 이론적인 확률과 같음.
binomPdf(6, 1-(13/15)^5,0) = 0.01366352631444 // 시뮬레이션 결과와 유사한데, 단지 우연일 뿐. 찾고자 하는 답이 아님.
포함-배제 원리와의 비교
- 이 방법은 포함-배제 원리를 사용한 복잡한 계산을 피하고, 직접적으로 원하는 확률을 계산합니다.
결론binomPdf 함수를 사용하는 이 방법이 주어진 로또 문제를 해결할 수 없습니다.
-
세상의모든계산기
네, 맞습니다. 이제 이론적 확률과 시뮬레이션 결과가 매우 근접합니다. 이론적 확률 계산 알고리즘을 설명해 드리겠습니다.
이 알고리즘은 포함-배제의 원리를 사용하여 정확한 확률을 계산합니다. 주요 단계는 다음과 같습니다:
1. 전체 경우의 수 계산:
- 45개 숫자 중 6개를 선택하는 방법의 수를 5번 곱합니다.
- `total_ways = math.comb(total_numbers, numbers_per_set) ** num_sets`2. 유리하지 않은 경우의 수 계산:
- 6개의 당첨 번호 중 1개에서 6개까지 빠지는 모든 경우를 고려합니다.
- 각 경우에 대해 포함-배제의 원리를 적용합니다.3. 포함-배제의 원리 적용:
- 1개 숫자가 빠진 경우를 더하고,
- 2개 숫자가 빠진 경우를 빼고,
- 3개 숫자가 빠진 경우를 더하고,
- ...
- 이를 6개 숫자가 빠진 경우까지 반복합니다.4. 최종 확률 계산:
- 1에서 (유리하지 않은 경우의 수 / 전체 경우의 수)를 뺍니다.코드의 핵심 부분을 자세히 설명하면:
def theoretical_probability(): total_numbers = 45 numbers_per_set = 6 num_sets = 5 # Total number of ways to choose 5 sets of 6 numbers total_ways = math.comb(total_numbers, numbers_per_set) ** num_sets # Number of ways to choose 5 sets that don't include all winning numbers unfavorable_ways = 0 for i in range(1, 7): # 1 to 6 missing numbers for missing_combo in combinations(range(6), i): ways_without_missing = math.comb(total_numbers - i, numbers_per_set) ** num_sets unfavorable_ways += (-1)**(i+1) * ways_without_missing # Probability of including all winning numbers return 1 - (unfavorable_ways / total_ways)- `i`는 빠진 당첨 번호의 개수입니다.
- `missing_combo`는 빠진 당첨 번호의 조합입니다.
- `ways_without_missing`는 특정 숫자들이 빠진 상태에서 5세트를 선택하는 방법의 수입니다.
- `(-1)**(i+1)`은 포함-배제 원리에 따라 더하거나 빼는 역할을 합니다.최종적으로, 이 알고리즘은 모든 가능한 경우를 정확히 고려하면서도 계산을 효율적으로 수행합니다. 이는 직접적인 열거 방식보다 훨씬 빠르고 정확한 결과를 제공합니다.
이 방법의 장점은 다음과 같습니다:
1. 정확성: 모든 가능한 경우를 빠짐없이 고려합니다.
2. 효율성: 직접적인 열거 대신 조합론적 접근을 사용하여 계산 속도를 높입니다.
3. 일반성: 숫자나 세트의 수를 쉽게 변경할 수 있어 다양한 상황에 적용 가능합니다.이 알고리즘을 통해 우리는 로또 6/45에서 5세트의 번호를 선택할 때, 6개의 당첨 번호가 모두 포함될 확률이 약 1.37585%임을 정확히 계산할 수 있었습니다.
- 1
-
1
세상의모든계산기
수학적 수식으로 나타내면?
6/45 로또에서 5개 세트를 선택할 때 6개의 당첨 번호를 모두 포함할 확률 P는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
$$P = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{6} (-1)^{i+1} \binom{6}{i} \binom{45-i}{6}^5}{\binom{45}{6}^5}$$
여기서:
- $\binom{45}{6}^5$는 45개의 숫자 중에서 6개의 숫자를 선택하는 5개 세트의 총 가짓수를 나타냅니다.
- $\sum_{i=1}^{6} (-1)^{i+1} \binom{6}{i} \binom{45-i}{6}^5$는 모든 당첨 번호를 포함하지 않는 5개 세트를 선택하는 가짓수로, 포함-배제 원리를 사용하여 계산됩니다.
용어 설명:
- $i$는 빠진 당첨 번호의 개수(1에서 6까지)를 나타냅니다.
- $\binom{6}{i}$는 6개의 당첨 번호 중에서 i개의 빠진 번호를 선택하는 가짓수입니다.
- $\binom{45-i}{6}^5$는 나머지 (45-i)개의 숫자 중에서 6개의 숫자를 선택하는 5개 세트의 가짓수입니다.
- $(-1)^{i+1}$은 포함-배제 원리에 따라 덧셈과 뺄셈을 번갈아 가며 적용합니다
-
-
세상의모든계산기
등위별 당첨 확률
등위 당첨방법 당첨확률 당첨금의 배분 비율 1등 6개 번호 일치.
ncr(6,6)=1
1 / 8,145,060
=0.00001228%
총 당첨금 중 4등, 5등 금액을 제외한 금액의 75% 2등 5개 번호 일치
+ 보너스 번호일치nCr(6,5)*nCr(1,1)=6
1 / 1,357,510
=0.00007366%총 당첨금 중 4등, 5등 금액을 제외한 금액의 12.5% 3등 5개 번호 일치
nCr(6,5)*nCr(45-6-1,1)=228
19 / 678755
=0.00279924%
총 당첨금 중 4등, 5등 금액을 제외한 금액의 12.5% 4등 4개 번호 일치
nCr(6,4)*nCr(45-6,2)=11115
741 / 543004
=0.136463083%
50,000원 5등 3개 번호 일치
nCr(6,3)*nCr(45-6,3)=182780
9139 / 407253
=2.244059589%
5,000원 * 참고 :
https://dhlottery.co.kr/gameInfo.do?method=buyLotto
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
2) 고정기준값 41에 대한 오차 제곱합 계산방법 이건 통계메뉴에서는 딱히 방법이 떠오르지 않네요. 질문하신 것과 같이 적은 갯수의 data라면 직접 입력하시는게 최선입니다. 하지만 DATA 갯수가 수십개 이상이라면? ㄴ 스프레드시트 기능을 이용하시는게 좋겠습니다. 【MENU】【8】 A열에 DATA 입력하고 B로 이동한 후 OPTN 【1】 Fill Formula 【ALPHA】키 방향키 숫자키 등을 이용해 수식 완성 C로 이동후 Formula 수식 입력 D의 빈공간으로 이동 후 OPTN 방향키 아래 누르다보면 Sum 보임 ALPHA 키 이용해서 수식 완성. : 기호는 MENU 버튼 바로 아래 있음 (ALPHA키로 입력) 【=】입력하면 최종결과 확인 * 주의 (B열, C열과 달리) D1 셀은 계산 결과인 951이 직접 입력된 상태이므로 DATA 수정후 recalculation 하여도 자동계산되지 않음. 자동계산을 위해서는 formula 형식으로 입력해야 함. 2026 10.27 1) 통계적 편차제곱합(평균 50.25기준) 입력 방법 【MENU】 【6】 【1】 로 1-var Stat 모드로 진입하여 【48】 【=】 【66】 【=】 【32】 【=】 【55】【=】 DATA 입력 【OPTN】 【3】 【▼】 【▼】 fx-570EX 기종에도 편차제곱합을 바로 보여주진 않습니다. 본문에 나온 것처럼 앞서 계산되어 저장된 각종 변수를 이용해 계산합니다. 【AC】【OPTN】【4】Statistics Calc 이 화면에서 다시 OPTN 하고 (메뉴가 3개로 줄어 있죠?) 여기서 방향키로 【▼】 아래를 내려보면 추가 메뉴가 있습니다. 4개 메뉴에는 각각 아래 하위 메뉴가 있습니다. 이 중에서 필요로 하는 것을 골라 계산하시면 되겠습니다. Variable 에 있는 값을 이용하면 다른 공식을 쓰셔도 됩니다. 2026 10.27 질문자님, 48,66,32,55 네 개 DATA 의 평균은 50.25라서 41은 평균이 아닙니다. 그래서 식을 두 가지로 나눠서 봐야 합니다. 1) 통계적 편차제곱합(평균 50.25기준)이면 답은 608.75 입니다. 2) 만약 41이라는 고정 기준값에 대한 제곱합을 구하시는 거면 식은 (48-41)²+... 이고 답은 951입니다. 원문에 +로 쓰신 건 -의 오타로 보입니다. 2026 10.27 본문의 변환 위젯에 사용된 전서체 폰트는 대만의 최고 학술 연구 기관인 중앙연구원(Academia Sinica)에서 제공하는 ‘숭희전체(崇羲篆體)’로 전통 한자 서체인 소전(小篆)을 현대 컴퓨터 폰트(글꼴)로 구축한 오픈소스 프로젝트로 개발되었습니다. https://xiaoxue.iis.sinica.edu.tw/chongxi/download.htm 2026 10.20 예제1) 예제2) 예제3) 추가옵션 2026 10.18