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norm, 노름? (feat. ChatGTP-4o)

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- 2024.07.19 - 17:46 2024.07.08 - 16:56 457 1

수학에서 '노름'이라는 개념은 벡터, 행렬, 함수 등의 크기 또는 '강도'를 측정하는 데 사용되는 중요한 도구입니다. 다양한 노름의 정의와 특성은 다르지만, 공통적으로 몇 가지 핵심 특징을 가지고 있습니다.

### 노름의 공통 특징

1. **크기 측정**: 노름은 벡터, 행렬, 함수 등의 크기를 나타내는 비음수 값으로 정의됩니다.
2. **양의 성질**: 노름은 항상 0 이상의 값을 가지며, 해당 객체가 0인 경우에만 노름 값이 0이 됩니다.
3. **삼각 부등식**: 노름은 삼각 부등식 성질을 만족합니다. 즉, 임의의 두 벡터 \( u \)와 \( v \)에 대해 \( ||u + v|| \leq ||u|| + ||v|| \)가 성립합니다.
4. **스칼라 곱 규칙**: 노름은 스칼라 곱에 대해 \( ||\alpha u|| = |\alpha| ||u|| \)의 성질을 가집니다. 여기서 \( \alpha \)는 임의의 스칼라 값입니다.

### 다양한 종류의 노름

1. **벡터 노름 (Vector Norm)**:
- **유클리드 노름 (Euclidean Norm)**: 벡터의 각 성분 제곱의 합의 제곱근으로 계산됩니다. (L2)
- **맨하탄 노름 (Manhattan Norm)**: 벡터의 각 성분 절댓값의 합으로 계산됩니다. (L1)
- **p-노름 (p-Norm)**: 벡터의 각 성분 \( p \)제곱의 합의 \( 1/p \)제곱으로 계산됩니다. (Lp)

- **∞-노름 (L-infinity-Norm, 최대값 노름)**: 2차원에서 이는 정사각형 형태로 표현됩니다. 단위원은 각 변의 길이가 2인 정사각형입니다. (L∞)

- **0-노름 (0-Norm)**: 0이 아닌 원소의 개수. 따라서 연속적인 형태로 나타내기 힘듭니다.(L0)

2. **행렬 노름 (Matrix Norm)**:
- **프로베니우스 노름 (Frobenius Norm)**: 행렬의 각 성분 제곱의 합의 제곱근으로 계산됩니다.
- **연산자 노름 (Operator Norm)**: 행렬을 벡터로 변환했을 때의 벡터 노름으로 계산됩니다.
- **유도 노름 (Induced Norm)**: 다른 행렬 노름을 이용하여 정의됩니다.

3. **함수 공간 노름 (Function Space Norm)**:
- **L1 노름**: 함수의 각 지점에서의 절대값의 합으로 계산됩니다.
- **L2 노름**: 함수 제곱의 적분값의 제곱근으로 계산됩니다.
- **최대 노름 (Sup Norm)**: 함수의 최대 절대값으로 계산됩니다.

### 노름의 활용

- **벡터 공간의 구조**: 노름은 벡터 공간의 완비성, 연속성 등을 판단하는 데 사용됩니다.
- **오차 분석**: 수치 계산 과정에서 발생하는 오차를 분석하는 데 사용됩니다.
- **최적화 문제**: 최적화 문제를 풀 때 해의 후보들을 비교하고 선택하는 데 사용됩니다.
- **기계 학습**: 머신 러닝 알고리즘에서 모델의 복잡도를 제어하거나 특징들을 선택하는 데 사용됩니다.

### 통합적인 이해

'노름'은 벡터, 행렬, 함수 등의 크기 또는 '강도'를 측정하고 비교하는 데 사용되는 중요한 수학적 도구입니다. 각 노름의 정의와 특성은 다르므로, 맥락에 맞게 적절한 노름을 선택하고 활용하는 것이 중요합니다. 노름에 대한 깊은 이해는 벡터 공간, 함수 분석, 수치 해석, 기계 학습 등 다양한 수학 분야 및 응용 분야에서 유용합니다.

'노름(norm)'의 어원은 라틴어 "norma"에서 유래했습니다. "norma"는 원래 목수들이 사용하는 직각자를 의미하며, 어떤 것이 올바른지, 규범적인지 판단하는 기준을 뜻했습니다. 이 단어는 이후 프랑스어 "norme"를 거쳐 영어 "norm"으로 변형되었습니다.

수학에서 '노름'이라는 용어는 이러한 어원적 의미를 반영하여, 벡터, 행렬, 함수 등의 크기나 '표준'을 측정하는 기준 또는 척도를 나타내는 데 사용됩니다. 노름은 주어진 수학적 객체의 길이, 크기 또는 강도를 측정하여, 이를 통해 다양한 수학적 분석과 계산을 가능하게 합니다.

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2024.07.19 - 17:46 #44551

그래프로 알아본 벡터 노름

스크린샷 2024-07-19 174553.png

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def unit_circle(p, num_points=1000):
    t = np.linspace(0, 2*np.pi, num_points)
    x = np.sign(np.cos(t)) * np.abs(np.cos(t))**(2/p)
    y = np.sign(np.sin(t)) * np.abs(np.sin(t))**(2/p)
    return x, y

plt.figure(figsize=(10, 10))

# L1 Norm (Manhattan)
x1, y1 = unit_circle(1)
plt.plot(x1, y1, label='L1 Norm')

# L2 Norm (Euclidean)
x2, y2 = unit_circle(2)
plt.plot(x2, y2, label='L2 Norm')

# L4 Norm
x4, y4 = unit_circle(4)
plt.plot(x4, y4, label='L4 Norm')

# L∞ Norm (Maximum)
xinf, yinf = unit_circle(np.inf)
plt.plot(xinf, yinf, label='L∞ Norm')

plt.xlim(-1.1, 1.1)
plt.ylim(-1.1, 1.1)
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='--')
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='--')
plt.title('Unit Circles for Different Norms')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.show()

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