손으로 세제곱근 계산하기? 도대체 왜 그러시는 건데요??

 

딱 떨어지지 않는 세제곱근의 근사값으로 계산하는 것은 그렇게 어렵지는 않습니다. 

다음 과정만 잘 따라오시면 됩니다. 

 

1. 정확한 해를 손으로 계산하는 것은 매우 어렵다.

    - 고차방정식을 풀 때는 특히 손 계산으로는 해를 정확히 얻기 어렵다.

 

2. 손으로 계산할 때는 근사값으로 만족해야 한다.

    - 근사 방법으로 빠르게 해를 구하고, 일정한 오차 범위를 허용하는 것이 현실적이다.

 

3. 이항 전개를 활용한 근사 계산

    - \( (1 + r)^3 = 1^3 + 3r + 3r^2 + r^3 \)에서 \( +3r^2 +r^3 \) 는 \( r \)이 0에 가까울 때 무시할 수 있다.

    - \( 3r^2 \)까지 포함하고, \( r^3 \) 만 버린다면, 오차는 줄어들겠지만, 제곱근을 손으로 또 구해야 하는 불상사가 생긴다. 

    - 어쩔 수 없이 2차항 3차항은 버려야만 한다. 
    - 따라서, \( 1 + 3r = 1.392274 \)를 풀어 간단한 근사 해 \(r = 0.130758 \)를 구해볼 수는 있다. 
    - 그런데, r=0.130758 이 0에 가깝다고 볼 수 있나?

 

4. 핵심은 \( r \)이 0에 가까워야만 이 논리에 의미가 있다는 것이다. 

    - \( r \)이 너무 크면 오차가 커져 근사 결과에 의미가 없어지므로, 매우 작은 \( r \)일 때 이 방법이 유효하다.

    - 어떻게 r을 0에 가깝게 만들 것인가? 우리는 그 방법을 찾을 것이다. 늘 그랬듯이...

 

5. 이자율과 현실적 문제에서의 활용

    - 이자율은 보통 5% 내외로 현실적으로 작은 값이기 때문에, 이를 바탕으로 사전 지식을 활용할 수 있다.
    - \( 1.392274 \)는 \( 1.1^3 \)보다 크고 \( 1.2^3 \)보다 작다는 것을 (경험적으로) 감각적으로 알 수 있다. 

    - 아니면 최소한 앞선 과정3.에서 찾은 답이 r=0.130758 이니 제일 앞자리 0.1을 없애면 r이 0에 더 가까워지는 것 아니겠는가?

 

6. 더 정밀한 근사를 위해 수식을 변형해 사용

    - \( 1.1 + r' \)을 기준으로 다시 전개하여 오차를 줄일 수 있다.
    - \( (1.1 + r')^3 \approx 1.331 + 3.63r' \)로 고차항을 무시하여 전개 후, \( 1.331 + 3.63r' = 1.392274 \)을 계산하면, 훨씬 작은 오차로 근사값을 얻을 수 있다.

    - 그렇게 찾은 r'=0.016879889807163 이고, 0.1 을 더해주면 더욱 더 근사해진 근사값 r = 0.116879889807163 을 얻는다. 

 

 

이 방법은 계산량이 상대적으로 적고, 1차식으로 계산이 끝나기 때문에

직관적으로 \( r \) 값을 점점 더 작은 값으로 조정하면서 빠르게 근사값을 구할 수 있습니다. 

 

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더 정밀하게 다음 값을 구한다면 

직전에 찾은 결과값에서 한자리 더 정확한 값을 선택해 0.12 또는 0.11을 빼고 r'' 를 계산해 볼 수 있겠습니다.