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원통형 파이프에 종이를 감을때, 전체 원통의 두께는?
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- 2024.11.01 - 15:03 2024.10.22 - 18:27 9114 4 1
ㄴ 이미지 생성 : Gemini 1.5 Flash
직경 d_cm 인 원통형 파이프에, 두께 t_mm 인 종이를, L_meter 감으면
롤(원통)의 중심에서 몇 cm 까지 두꺼워질까요?
방법A) 감긴 단면의 면적으로 풀기
단면을 잘라 보았을 때, 전체 원통의 면적 = 종이의 면적 + 파이프의 면적이 됩니다.
(가정 : ⓐ 완전 밀착 ⓑ 압력에 의한 종이 길이나 두께의 변성 없음)
따라서 $\pi R^2-\pi r_0^2=t_{mm} \cdot L_m$ 가 성립합니다.
이 식을 이용해 solve 로 풀거나,
변수를 다른 변수로 정리해 풀면 답이 나옵니다.
문제1) 파이프 지름(d)이 6 inch, 종이 두께가 0.1mm, 종이 길이가 500m 일 때, 원통 중심에서 종이 끝까지의 길이(전체 반지름)는?
문제2) 파이프 지름(d)이 8.8cm, 종이 두께가 0.5mm, 종이 길이가 150m 일 때는?
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댓글4
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세상의모든계산기
TI-nspire 에서 단위를 수식에 미리 넣으면?
자동으로 approx 로 변형되어 버리네요. 보기가 조금 더 힘든 듯...
그냥 변수만 대입해 넣고, 숫자 대입할 때 한가지 단위(meter)로 통일하는 편이 좋겠습니다.
이 편이 단위 때문에 발생할 수 있는 오해 소지도 적을 것 같구요.
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세상의모든계산기
최고 종이를 많이 감았을 때 허용 지름(2r)을 파이프 포함하여 42cm이라고 하면, 총 종이의길이는 몇 미터까지 감을 수 있나?
파이프 지름(d)은 17.5cm 이고 종이 두께(t)는 0.1mm입니다.
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세상의모든계산기
방법B) 감긴 횟수로 계산
1. 첫 바퀴에 감긴 종이의 길이는 \( l_1 = \pi (d+t) \) (여기서 \( d \)는 원통 파이프의 직경)이다.
ㄴ 종이의 안쪽 원을 기준으로 길이를 재거나, 바깥쪽 원을 기준으로 길이를 잴 수도 있는데, 종이의 중심을 기준으로 재는 것이 가장 합리적이겠죠?ㄴ 안쪽 원보다는 길고, 바깥쪽 원보다는 짧아야 하니...
2. 두번째 바퀴에 감긴 종이의 길이는 \( l_2 = 2\pi\times r_1 = l_1 + 2\pi t \) 입니다.3. 세번째 바퀴에 감긴 종이의 길이는 \( l_3 = 2\pi\times r_2 = l_1 + 4\pi t \) 입니다.
따라서, 매 바퀴마다 둘레는 \( 2\pi t \)씩 더해집니다.
n바퀴째에 감긴 종이의 길이는 \( l_n = l_1 + n\cdot 2\pi t \) 가 됩니다.
종이를 \( n \) 바퀴 감았을 때의 총 길이와 반지름:
1. 반지름 증가:
- 첫 번째 감기 전의 반지름: \( r_0 = \frac{d}{2} \)
- 종이를 \( n \) 바퀴 감은 후의 반지름 \( r_n \)은:
\[
r_n = r_0 + n \times t = \frac{d}{2} + n \times t
\]2. 감은 종이의 총 길이:
- 종이를 \( n \) 바퀴 감았을 때의 총 종이 길이 \( L_n \)은:
\[
L_n = l_1 + l_2 + l_3 + \dots + l_n
\]
- 각 바퀴마다 길이는 \( l_n = d\pi + n\cdot 2\pi t \)이므로, 총 길이를 구하려면 이를 합산합니다:
\[
L_n = \sum_{k=1}^{n} \left( d\pi + k \cdot 2\pi t \right)
= nd\pi + \left( \pi t \cdot (n(n+1)) \right)
\]
여기서 \( \dfrac{n(n+1)}{2} \)는 1부터 \( n \)까지의 정수들의 합입니다.
n(감은 횟수)을 먼저 구하고, n을 $ r_n $ 공식에 대입하면 값이 찾아집니다.
본문방법 r=0.147383629719*_m
댓글방법 r=0.14735948683579
본문과 약~~~간의 오차가 있긴 한데... 무시해도 될 것 같습니다.
그런데 왜 차이가 났을까요?
"본문의 방식은 부피가 직사각형 기준이라서 문제가 없지만,
댓글의 방식은 매 바퀴마다 안쪽은 부피가 겹치고, 바깥쪽은 부피가 모자르는 기하학적 구조라서 발생하는 오차가 아닐까?" 추정해 봅니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
2) 고정기준값 41에 대한 오차 제곱합 계산방법 이건 통계메뉴에서는 딱히 방법이 떠오르지 않네요. 질문하신 것과 같이 적은 갯수의 data라면 직접 입력하시는게 최선입니다. 하지만 DATA 갯수가 수십개 이상이라면? ㄴ 스프레드시트 기능을 이용하시는게 좋겠습니다. 【MENU】【8】 A열에 DATA 입력하고 B로 이동한 후 OPTN 【1】 Fill Formula 【ALPHA】키 방향키 숫자키 등을 이용해 수식 완성 C로 이동후 Formula 수식 입력 D의 빈공간으로 이동 후 OPTN 방향키 아래 누르다보면 Sum 보임 ALPHA 키 이용해서 수식 완성. : 기호는 MENU 버튼 바로 아래 있음 (ALPHA키로 입력) 【=】입력하면 최종결과 확인 * 주의 (B열, C열과 달리) D1 셀은 계산 결과인 951이 직접 입력된 상태이므로 DATA 수정후 recalculation 하여도 자동계산되지 않음. 자동계산을 위해서는 formula 형식으로 입력해야 함. 2026 10.27 1) 통계적 편차제곱합(평균 50.25기준) 입력 방법 【MENU】 【6】 【1】 로 1-var Stat 모드로 진입하여 【48】 【=】 【66】 【=】 【32】 【=】 【55】【=】 DATA 입력 【OPTN】 【3】 【▼】 【▼】 fx-570EX 기종에도 편차제곱합을 바로 보여주진 않습니다. 본문에 나온 것처럼 앞서 계산되어 저장된 각종 변수를 이용해 계산합니다. 【AC】【OPTN】【4】Statistics Calc 이 화면에서 다시 OPTN 하고 (메뉴가 3개로 줄어 있죠?) 여기서 화살표 아래를 내려보면 추가 메뉴가 있습니다. 4개 메뉴에는 각각 아래 하위 메뉴가 있습니다. 이 중에서 필요로 하는 것을 골라 계산하시면 되겠습니다. Variable 에 있는 값을 이용하면 다른 공식을 쓰셔도 됩니다. 2026 10.27 질문자님, 48,66,32,55 네 개 DATA 의 평균은 50.25라서 41은 평균이 아닙니다. 그래서 식을 두 가지로 나눠서 봐야 합니다. 1) 통계적 편차제곱합(평균 50.25기준)이면 답은 608.75 입니다. 2) 만약 41이라는 고정 기준값에 대한 제곱합을 구하시는 거면 식은 (48-41)²+... 이고 답은 951입니다. 원문에 +로 쓰신 건 -의 오타로 보입니다. 2026 10.27 본문의 변환 위젯에 사용된 전서체 폰트는 대만의 최고 학술 연구 기관인 중앙연구원(Academia Sinica)에서 제공하는 ‘숭희전체(崇羲篆體)’로 전통 한자 서체인 소전(小篆)을 현대 컴퓨터 폰트(글꼴)로 구축한 오픈소스 프로젝트로 개발되었습니다. https://xiaoxue.iis.sinica.edu.tw/chongxi/download.htm 2026 10.20 예제1) 예제2) 예제3) 추가옵션 2026 10.18