Tetration, Power Tower Function 을 이용한 프렉탈 패턴 찾기 #mytetration

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Tetration, Power Tower Function 을 이용한 프렉탈 패턴 찾기 #mytetration

- 세상의모든계산기
- 2025.07.09 - 03:13 2024.05.25 - 18:33 3763 7

1. 테트레이션 Tetration

거듭제곱을 거듭하여 만들어지는 연산

--> 0차? 연산, 다음수, a' = a+1

--> 1차 연산, 덧셈, a+n = a+1+1+1+1+......+1

--> 2차 연산, 곱셈=덧셈을 거듭, a*n = a+a+a+a+......+a

--> 3차 연산, 거듭제곱=곱셈을 거듭, $a^n$ = a*a*a*a*......*a

--> 4차 연산, 거듭제곱을 거듭, $^n a$ = a^a^a^a^...^a
(왼쪽에서 오른쪽 연산? 오른쪽에서 왼쪽 연산? right-to-left 라고 위키에 적혀 있네요.)

2. (Infinite) Power Tower Function, PTF

f(x) = x^x^x^x^x^x^...... 무한대의 함수입니다.

그걸 프로그램으로 적당히 계산시켜 볼 수 있습니다. (무한대면 계산에 끝이 없겠죠?)
특히 x가 복소수일때를 컴퓨터로 발산하는지 수렴하는지를 좌표평면상에 표시해 보면
아주 재밌는 모양(Fractal) 이 그려집니다.

스크린샷 2024-05-25 190127.png

대충 이런 식인데, 일부분을 확대해 보면 신기한 패턴이 또 나오고
그 일부분을 또 확대해 보면

스크린샷 2024-05-25 190358.png

또 신기한 패턴이 또 나오고...

스크린샷 2024-05-25 190333.png

반복

스크린샷 2024-05-25 190234.png

반복

스크린샷 2024-05-25 190204.png

반복

스크린샷 2024-05-25 190148.png

반복하면

스크린샷 2024-05-25 185309.png

재밌는 패턴을 발견할 수도 있습니다.

스크린샷 2024-05-25 173500.png

왼쪽은 나비같기도 하고, 하나은행 로고 같기도 하고.
오른쪽은 빼박 하트죠?

좌표

x(Re) = -4.086058278688595

y(Im) = -9.740283918520907e-10

eps = 3.6188788410385087e-08

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##mytetration

TI NSPIRE CX CAS에서 복소수 표현 문의 드립니다.조니

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세상의모든계산기
계산기는 거들 뿐
혹은
계산기를 거들 뿐

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세상의모든계산기
2024.05.25 - 19:43 2024.05.25 - 19:43 #41139

PTF 함수는 이론상 무한번 계산해야 하지만,
리소스 한계 때문에 일정한 수준까지만 계산합니다.

그래도 계산량이 어마무시한 수준이기 때문에
휴대용 계산기로는 프렉탈의 아름다움을 확인하긴 어려울겁니다.

PC로 해도 금방 결과가 나오진 않고 한참 시간이 걸리고,
성능 적당한 GPU가 있으면 그래도 화딱지 나지 않게 바로 확인할 수는 있습니다.

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세상의모든계산기
2024.05.26 - 08:43 #41144

[공학용 계산기] 한줄입력시 지수(^) 계산 우선순위. 2^2^3 = ?

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세상의모든계산기
2024.05.27 - 14:45 #41201

하트는 여기저기 많네요.

x=-4.086116197959489, y=-3.7133520786286338e-09, eps=1.7997372303568682e-07

Attached file
스크린샷 2024-05-27 144524.png 49.5KB 63

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세상의모든계산기
2024.06.09 - 14:45 #41344

수렴/발산으로 판별하면, 앞선 사진처럼 경계가 확실하게 구분되어 보이지만,
원래의 magnitude(=abs(z)) 를 확인해 보면 저렇게 화려한 그라데이션을 확인할 수 있습니다.

여기서 iteration 을 딱 1회만 더하면
화려한 그라데이션 부분에 새로운 프렉탈이 자라납니다.

Attached file
스크린샷 2024-06-09 144242.png 151.5KB 53

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jkw
2025.05.17 - 01:52 #54891

interation = 1000 결과는 이렇게 나오네요.

Attached file
output.png 384.9KB 20

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레몬백작
2025.07.09 - 00:47 #55237

이거 보통 컴퓨터가 계산하는데 몇분 정도 걸리나요?? 주말에 한번 해보고 싶긴한데 시간이 얼마나 걸릴지 예측이 안되니

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0

세상의모든계산기
2025.07.09 - 03:13 2025.07.09 - 03:13 #55243

https://blog.woojinkim.org/mytetration-1/
그런데 풀리퀘스트를 살펴보니 감사하게도 누군가 멀티 프로세싱을 사용한 계산 속도 향상 코드를 올려주셔서 저는 이 코드를 사용해 이전에 비해 훨씬 빠르게 결과를 얻을 수 있었습니다. 이 코드를 사용하면 제 인텔 12700KF CPU 기준으로 3840 x 2160 해상도의 이미지를 뽑는데 기존 약 20분 정도에서 7분 정도로 연산 시간을 줄일 수 있었습니다.

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