[공학용 계산기] (루트 안에 복소수,허수)를 계산하는 방법
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- 2024.09.17 - 12:53 2015.10.04 - 20:49 23093 8
1. 내 계산기는 복소수(허수)의 제곱근을 구할 수 있나?
'n제곱'해서 복소수가 나오는 복소수는 수학적으로 충분히 가능한 일이기 때문에, n√(복소수)도 구해볼법 합니다. 그렇다면 과연 계산기에서 그것을 그대로 입력해 계산할 수 있을까요?
늘 하는 얘깁니다만, 계산기마다 다릅니다.
우선 계산기 기능으로 복소수를 다룰 수 있어야 하는 것은 당연한 일이겠구요.
위와 같이 식을 입력했을 때 에러가 나오지 않아야 하겠지요.
- 에러가 나는 모델 : [fx-570]
- 계산이 되는 모델 : [fx-9860G]
계산 불능으로 에러가 난다면 우선 공식을 유도해서 답을 구해볼 수 있습니다.
2. 제곱수를 이용한 방법
를 만족하는 a+bi (단, a와 b는 실수)를 찾아보겠습니다.
- 양변을 제곱해 변형하면, (a+bi)2 = 5 + 7i 가 됩니다.
이것은 변형한 식이지, 문제와 같은, 동치의 식은 아닙니다.
- 이 식을 풀면
a, b에 대한 2차 방정식이 생기고, {a,b} 에 대한 2쌍의 해를 구할 수 있습니다. (답도 2쌍)
두 쌍의 해 모두 제곱해 보면 5+7i 를 만족함을 알 수 있습니다.
- 그런데 이 해는 처음 식(=문제)의 해가 아니라, 변형한 식(=양변을 제곱한 식)의 해라는 것에 주의해야 합니다.
그럼 이 중에서 무엇이 진짜 근이고, 무엇이 가짜 근일까요?
2.6079+1.34207i 가 진짜근이고 -2.6079-1.34207i 는 가짜근(무연근이라고 하던가요?)이라고 합니다.
실수의 제곱근에 양의 제곱근과 음의 제곱근이 있는 것과 같다고 보시면 될 듯 합니다.
자세한 내용은 "네이버 케스트"(링크) 글을 읽어보시면 도움이 되실 것 같습니다.
위 풀이를 공식으로 정리하면 다음과 같습니다.
3. 페이저(극 좌표)를 이용한 계산법
복소수(complex number)는 극좌표로도 나타낼 수 있는데, 극좌표는 곱하기/나누기 계산에 강점이 있습니다. 이를 이용해서 복소수근을 찾아볼 수 있습니다. 위의 공식을 이용한 계산보다 더 간단하며, 세제곱근, 네제곱근도 찾을 수 있는 장점이 있습니다.
방법은 간단합니다.
- 직교좌표를 극좌표(r, θ) 형식으로 변환합니다.
- r'=√(r), θ'=θ÷2
- (필요하면) 2에서 계산된 값을 직교좌표(a+bi)로 다시 변환합니다.
└ 각도 설정은 Degree / Radian 어느 것이나 상관이 없습니다.
* 극좌표 ↔ 직교좌표를 변환하는 함수는 페이저 계산이 불가능한 최저가형 계산기(fx-350급, EL-509W급)에도 다 있는 기능입니다.
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댓글8
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세상의모든계산기
두 근을 잇는 직선과 실수(x)축 사이의 각도가 0이면, 실수의 두근(양의 근/음의 근)을 의미?
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세상의모든계산기
세제곱근
일반해를 찾는 공식이 조금 복잡해집니다. 울프람 알파를 참고해야겠네요.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28c%3Da*%28a%5E%282%29-3*b%5E%282%29%29+and+d%3D%283*a%5E%282%29-b%5E%282%29%29*b%2C+%7Ba%2Cb%7D%29
r, θ 를 이용한 방법을 쓰는 것이 훨씬 유리해집니다.
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세상의모든계산기
http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=113111&docId=287596646
[fx-570ES] COMP 모드 이용
- 【SHIFT】【+】로 Pol 함수를 불러내 입력
└ Degree 모드나 Radian 모드나 상관은 없습니다.
- 결과값을 종이에 적어두거나 머리로 암기할 필요 X
r은 X, θ는 Y에 자동 저장됩니다.
- 【SHIFT】【-】 로 Rec 함수를 불러내 입력
r 값은 루트를 씌워주고, θ 값은 ÷2 를 합니다.
CMPLX 모드에서는 Pol, Rec 함수를 이용할 수 없으므로 직접 수식에 대입시키는 방법 뿐입니다. arg 함수를 이용해 θ값을 찾을 수 있어서, 계산을 2단계로 나눠 할 필요는 없습니다.
r값은 위에서 보시는 것처럼 sqrt(3^2+4^2) 로 구할 수도 있고, Abs(3+4i) 로 구할 수도 있습니다.
【SHIFT】【hyp】 - 【SHIFT】【+】로 Pol 함수를 불러내 입력
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세상의모든계산기
계산 예시 (fx-570 ES)
http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1131&docId=288850520
- 우선 복소수 계산과정이 필요하므로 CMPLX 모드를 사용해야만 합니다.
- 루트 안을 따로 계산하고 결과를 변수(A)에 저장합니다.
- A의 극좌표(r∠θ) 꼴에서, r=Abs(A)은 변수(B)에 θ=arg(A)는 변수(C)에 저장합니다.
- √B∠(C÷2) 값을 구합니다.
한 줄 입력시에는 괄호를 빼고 √B∠C÷2 로 입력하면 안됩니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
500! 의 십진수 근사값 확인 500! = 1.22013682599111006870123878542304692625357434280319284219241358838 × 10^(1134) (참값, 울프람 알파) 2025 10.29 관련 라이브러리 https://allcalc.org/56263 sgn(x) 내장된 부호 함수(signum function)와 달리, 이 함수의 sgn(0)은 0을 반환합니다. 2025 10.29 라이브러리로 사용할 수 있습니다. (제작자 추천) 1. mylib 폴더에 넣기 2. Actions ➡️ library ➡️ refresh libraries 실행 하기 2025 10.29 ChatGPT-5 기호(÷, /, :) 자체는 의미적으로 같은 “나눗셈”을 뜻하지만, 문맥(사람이 쓰는 수학 vs 컴퓨터/프로그래밍)에 따라 해석 우선순위가 달라질 수 있습니다. 🔹 1️⃣ 전통 수학 표기 — ÷, /, : 수학 교과서, 논문, 일반 문서 등에서는 셋 다 의미적으로 “나누기”로 간주됩니다. 즉, 48÷2(9+3), 48/2(9+3), 48:2(9+3) 은 같은 의미로 받아들여야 합니다. 모두 사람의 수학 관행적 해석이 적용되어 48 ÷ 2 × (9+3) = 288 로 처리되죠. 즉, 기호가 바뀌어도 결과는 바뀌지 않습니다. 🔹 2️⃣ 컴퓨터·프로그래밍 문맥에서 / 사용 시 컴퓨터는 “생략된 곱셈(implicit multiplication)”을 따로 구분하지 못합니다. 따라서 다음 두 식은 완전히 다르게 인식됩니다. 표현 파이썬 등에서 해석 결과 48 / 2*(9+3) ((48 / 2) * (9+3)) 288 48 / 2(9+3) ❌ 문법 오류 (생략된 곱셈 인식 불가) — 즉, 컴퓨터 언어에서는 생략된 곱셈이 허용되지 않기 때문에, /는 반드시 명시적 *와 함께 써야 합니다. 🔹 3️⃣ “:” 기호의 경우 현대 수학에서는 “비율”을 나타내는 기호로 쓰입니다. a:b = \frac{a}{b} 따라서 (27 : 3(1+2)3) 같은 표현은 모호하거나 비표준적으로 간주됩니다. 대부분의 경우 계산기로는 입력 자체가 불가능합니다. ✅ 정리 기호 의미 결과 변화 주로 쓰이는 문맥 ÷ 나누기 없음 초중등 수학, 일반 표기 / 나누기 없음 (단, 프로그래밍에서는 생략 곱 불허) 수학/컴퓨터 : 비율 (또는 나누기 의미로 혼용) 보통 계산식에서는 사용 안 함 비, 비율 표기 🔹 결론 48 ÷ 2(9+3), 48/2(9+3), 48:2(9+3) 는 “수학적 의미”로는 동일하게 81로 해석됩니다. 하지만 프로그래밍이나 수식 파서(context) 에서는 /만 유효하고, 생략된 곱은 허용되지 않으며, :는 아예 다른 의미(비율)로 인식됩니다. 2025 10.28 ChatGPT-5 💯 네, 정확히 그 지점을 짚으셨어요. 요약하면 이렇게 말할 수 있습니다: “생략된 곱하기(implicit multiplication)”는 문자에서는 강한 결합력을 인정하지만, 숫자나 괄호 사이에서는 일반 곱셈(×)과 동일한 우선순위로 취급된다. 즉, 문자에서는 더 강하게 결합, 숫자·괄호 사이에서는 그냥 ‘보통 곱셈’ 으로 본다는 것이 현대 수학 표기와 계산기의 관행적 규칙입니다. 🔹 두 경우의 구조적 차이 식 형태 실제 해석 결과 결합력 특징 ab ÷ ab 문자 붙음 ((a×b) ÷ (a×b)) 1 문자 간 결합이 강함 → 한 항으로 인식 3(1+2)3 숫자·괄호 혼합 (3 × (1+2) × 3) 27 생략된 ×는 보통 곱셈 → 좌→우 규칙 적용 🔹 왜 문자식은 결합력이 더 강한가? 기호적 표현의 안정성 (ab), (xy), (2x) 같은 표기는 수백 년 동안 “하나의 곱셈 항(term)”으로 인식되어 왔습니다. 그래서 수학자들은 이걸 암묵적으로 “괄호로 묶인 덩어리”로 봅니다. ab ÷ ab = (ab) ÷ (ab) 함수 표기와 구분 필요 예: (sinx ÷ x) 에서 sinx는 sin(x)로 묶여야 의미가 있습니다. 이런 이유로 “문자 옆에 붙은 기호나 문자”는 항상 먼저 결합되도록 하는 관행이 굳어졌습니다. 🔹 반면 숫자·괄호에서는 (3(1+2)) 는 단순히 “3 × (1+2)”의 약식 표현이고, 여기서 “생략된 곱셈”은 “명시적 곱셈”과 동일한 연산자로 간주됩니다. 따라서 27 ÷ 3(1+2)3 = 27 ÷ 3 × 3 × 3 = 81 처럼 좌→우 순서로 처리합니다. 🔹 결론 생략된 곱하기(implicit multiplication)의 결합력은 표기 맥락에 따라 다르다. 문자/기호와 함께 쓰일 때 → 강하게 결합 (하나의 항으로 인식) 숫자와 괄호 사이 → 일반 곱셈과 동일한 우선순위 (좌→우 계산) 이건 “규칙이 바뀐 것”이 아니라, 표기 문법(context) 이 달라서 ‘결합 단위(token)’이 달라진 결과라고 보는 게 가장 정확합니다. 2025 10.28