[공학용 계산기] 한줄입력시 지수(^) 계산 우선순위. 2^2^3 = ?
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- 2024.10.04 - 18:56 2015.08.22 - 20:55 2082 8
1. 문제
Q : 2 ^ 2 ^ 3 을 공학용 계산기에 한 줄 입력(Linear IO) 했을 때 그 결과는?
답_a : (2^2)^3 = 4^3 = 2^6 = 64
답_b : 2^(2^(3)) = 2^8 = 256
2. 수학적 정답
어떻게 계산되는게 옳은 걸까요? 일단 수학적으로는 'b'가 옳습니다.
'예전에 이슈가 됐었던 48÷2(9+3) = ? 때와 달리 2^2^3 을 수학적으로 표현했을 때 가 될 것이 분명하기(=오해의 소지가 없기) 때문입니다. 그리고 에 대한 수학적 답은 256 뿐입니다.
참고
- https://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_operations
ㄴ Serial exponentiation : If exponentiation is indicated by stacked symbols using superscript notation, the usual rule is to work from the top down: - https://en.wikipedia.org/wiki/Operator_associativity
ㄴ A detailed example :^is taken to be a right-associative exponentiation operator.
3. 계산기의 결과
그렇다면 계산기를 통해서도 같은 결과를 얻을 수 있을까요? 일단 한줄입력을 직접 해 보고 계산 결과를 확인해 보겠습니다.
(대상 계산기는 처음 문제처럼 지수를 한줄로(Line IO) 표기할 수 있는 계산기로 한정하겠습니다.)
결과 a (64) : fx-9860G, 윈도우10 기본 공학용 계산기, fx-570MS, 모닝글로리 ECS-101 // 제보 감사합니다.
결과 b (256) : TI-89T, 구글 Web, 구글 스프레드시트, Wolfram Alpha, HP Prime
[TI-nspire]의 guidebook에 보면 아래의 내용이 나옵니다.
EOS™ (Equation Operating System) Hierarchy
Exponentiation
Exponentiation (^) and element-by-element exponentiation (.^) are evaluated from right to left. For example, the expression 2^3^2 is evaluated the same as 2^(3^2) to produce 512.
This is different from (2^3)^2, which is 64.
그리고 [fx-570 EX] 와 [fx-570 ES] 계산기에서는
^를 '한줄입력'방식으로 입력하면 하나의 문자인 것처럼 '^(' 가 입력됩니다. 여는 괄호 '('만 따로 지울 수가 없습니다. 따라서 2^2^3 꼴로 입력해볼 수가 없습니다.
개인적인 결론
1. 계산기는 도구일 뿐이므로, 이 문제도 계산기를 만든 사람과 사용자가 약속하기 나름이다.
2. 하지만 둘 중 하나를 선택할 수 있는 문제라면, 수학적 표기와 일치하는 순서인 역순(=오른쪽부터)으로 처리하는 것이 바람직하며, 반대의 경우라면 왜 그런 선택을 해야 했는지에 대한 설명이 있어야 한다.
3. 한줄 입력의 경우 오해가 생기지 않도록 '자동으로 괄호가 생기도록 하는 방식'은 직관적이며, 효율적이다.
참고 :
https://en.wikipedia.org/wiki/Caret
TI-NspireCAS_ReferenceGuide_EN (설명서)
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댓글8
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세상의모든계산기
곱하기기호와 지수기호의 우선순위
2×3^4 이라는 수식이 놓여 있습니다.
이 식을 ⓐ 라고 보아야 할까요? 아니면 ⓑ 으로 보아야 할까요? 이도 저도 아니라면 ⓒ "2, 3, 4 사이에 괄호가 없으니 잘못된 수식"이라고 말해야 할까요?
설문조사를 해 본 것은 아니지만 수학 또는 공학을 아는 대부분의 사람은 ⓐ 를 선택할 것입니다. 그 말은 괄호 없이 × 와 ^ 기호가 양쪽에 있을 때, 우선순위는 ^ 에 있다는 것을 의미하고, 괄호를 이용해 표현하면 (2×(3^4)) 가 되는 것입니다.
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세상의모든계산기
$7^{3^{2}} ÷ 7^{2^{3}}$ = ?
울프람 알파
https://www.wolframalpha.com/input?i=7%5E3%5E2%C3%B77%5E2%5E3
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세상의모든계산기
ChatGPT-4o
문제는 다음과 같습니다:
\[
\frac{7^{3^2}}{7^{2^3}}
\]우선 지수를 계산합니다.
1. \(3^2 = 9\)이므로, \(7^{3^2} = 7^9\).
2. \(2^3 = 8\)이므로, \(7^{2^3} = 7^8\).이제 식은 다음과 같이 변합니다.
\[
\frac{7^9}{7^8}
\]같은 밑을 가진 거듭제곱의 나눗셈에서는 지수를 빼줍니다:
\[
7^{9-8} = 7^1 = 7
\]따라서, 최종 답은 7입니다.
지수의 지수가 있는 꼴, 즉 \((a^{b^c})\)와 같은 표현에서 계산의 우선순위는 지수의 지수를 먼저 계산하는 것이 원칙입니다. 이것을 오른쪽에서 왼쪽으로 계산한다고 표현하기도 합니다. 수학적으로 이는 상위 지수부터 차례대로 계산하는 방식으로 진행됩니다.
이를 근거로 설명하면:
1. 지수법칙과 괄호의 생략: 지수법칙에 따르면, \(a^{(b^c)}\)와 \(a^{b^c}\)는 동일하게 해석됩니다. 괄호를 생략한 표현이라도 암묵적으로 지수의 지수를 먼저 계산하는 것으로 간주됩니다.
예를 들어, \(a^{b^c}\)에서 먼저 \(b^c\)를 계산한 후, 이를 다시 \(a\)의 지수로 사용하는 것이 일반적인 해석입니다.2. 우선순위 규칙: 수학에서 계산 우선순위 규칙은 다음과 같습니다:
- 괄호
- 지수
- 곱셈 및 나눗셈
- 덧셈 및 뺄셈이 중 지수의 우선순위는 괄호보다 아래지만, 곱셈/나눗셈보다는 우선이므로 지수의 지수는 먼저 계산됩니다.
3. 예시: \( 2^{3^2} \)를 계산할 때, 먼저 \(3^2 = 9\)를 계산한 후 \(2^9\)을 구하는 것이 맞습니다. \( (2^3)^2 \)처럼 괄호가 다르게 있다면, 그에 맞는 순서를 따르겠지만, 일반적으로는 지수의 지수를 먼저 계산하는 방식이 사용됩니다.
따라서 지수의 지수를 먼저 계산하는 것이 수학적 관례이자 지수법칙에 따른 원칙입니다.
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세상의모든계산기
Claude 3.5 Sonnet
Let's approach this step-by-step:
1) First, let's understand what 7^3^2 means:
This is interpreted as 7^(3^2), not (7^3)^2
So, 7^3^2 = 7^(3^2) = 7^92) Similarly, 7^2^3 is interpreted as 7^(2^3):
7^2^3 = 7^(2^3) = 7^83) Now our expression looks like this:
7^9 ÷ 7^84) When dividing exponential expressions with the same base, we subtract the exponents:
7^9 ÷ 7^8 = 7^(9-8) = 7^1 = 7Therefore, 7^3^2 ÷ 7^2^3 = 7.
지수의 지수가 있는 꼴에서 계산 우선순위에 대해 한글로 설명드리겠습니다.
1. 계산 우선순위:
a^b^c 형태의 식에서는 오른쪽에서 왼쪽으로 계산합니다. 즉, (a^(b^c))로 해석됩니다.2. 근거:
1) 수학적 관례: 이는 수학계에서 널리 받아들여지는 관례입니다. 대부분의 수학 교과서와 참고 자료에서 이 규칙을 따릅니다.2) 의미의 일관성: 이 규칙을 따르면 수식의 의미가 일관되게 유지됩니다. 예를 들어, 2^3^4는 2^(3^4)로 해석되며, 이는 2^81입니다. 만약 (2^3)^4로 해석한다면 결과는 4096이 되어 큰 차이가 생깁니다.
3) 표기법의 간결성: 이 규칙을 통해 복잡한 괄호 없이도 의미를 명확하게 전달할 수 있습니다. a^(b^c)를 간단히 a^b^c로 쓸 수 있게 됩니다.
4) 함수적 해석: 지수를 함수로 볼 때, f(x) = a^x라면, a^b^c는 f(f(c))로 해석될 수 있습니다. 이는 함수의 합성 개념과 일치합니다.
3. 주의사항:
- 이 규칙은 지수 연산에만 적용됩니다. 다른 연산자들과 혼합될 경우 일반적인 연산 우선순위 규칙을 따릅니다.
- 명확성이 필요한 경우, 괄호를 사용하여 의도를 명확히 표현하는 것이 좋습니다.이러한 규칙은 수학적 표현의 일관성과 효율성을 위해 중요합니다. 복잡한 수식을 다룰 때 이 규칙을 이해하고 적용하면 계산 오류를 줄이고 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
fx-570 CW 는 아래 링크에서 https://allcalc.org/56026 2025 10.24 불러오기 할 때 변수값을 먼저 확인하고 싶을 때는 VARIABLE 버튼 【⇄[x]】목록에서 확인하고 Recall 하시면 되고, 변수값을 이미 알고 있을 때는 바로 【⬆️SHIFT】【4】로 (A)를 바로 입력할 수 있습니다. 2025 10.24 fx-570 CW 로 계산하면? - 최종 확인된 결과 값 = 73.049507058478629343538 (23-digits) - 오차 = 6.632809104889414877 × 10^-19 꽤 정밀하게 나온건 맞는데, 시뮬레이션상의 22-digits 와 오차 수준이 비슷함. 왜 그런지는 모르겠음. - 계산기중 정밀도가 높은 편인 HP Prime CAS모드와 비교해도 월등한 정밀도 값을 가짐. 2025 10.24 HP Prime 에서 <Home> 73.0495070344 (12-decimal-digits) // python 시뮬레이션과 일치 <CAS> 21자리까지 나와서 이상하다 싶었는데, Ans- 에서 자릿수를 더 늘려서 빼보니, 뒷부분 숫자가 아예 바뀌어버림. 버그인가? (전) 73.0495070584718691243 (21-digits ????) (후) 73.0495070584718500814401 (24-digits ????) 찾아보니 버그는 아니고, CAS에서는 십진수가 아니라 2진수(bit) 단위로 처리한다고 함. Giac uses 48 bits mantissa from the 53 bits from IEEE double. The reason is that Giac stores CAS data (gen type) in 64 bits and 5 bits are used for the data type (24 types are available). We therefore loose 5 bits (the 5 low bits are reset to 0 when a double is retrieved from a gen). 출처 : https://www.hpmuseum.org/cgi-bin/archv021.cgi?read=255657 일단 오차를 놓고 보면 16-decimal-digits 수준으로 보임. 2025 10.23 khiCAS 에서 HP 39gII 에 올린 khiCAS는 254! 까지 계산 가능, 255! 부터는 ∞ fx-9750GIII 에 올린 khiCAS는 factorial(533) => 425760136423128437▷ // 정답, 10진수 1224자리 factorial(534) => Object too large 2025 10.23