역삼각함수 (inverse trigonometric function)
-
- 2024.07.20 - 14:16 2015.02.27 - 19:07 38220 12
1. 역삼각함수란?
역삼각함수(inverse trigonometric function)는 삼각함수의 역함수를 말한다.
2. 역삼각함수의 특징
삼각함수는 단사함수가 아니기 때문에 이의 역함수를 정의하려면 정의역과 치역을 제한하는 것이 필요하다.
아래는 역삼각함수들의 정의와 표기법, 정의역과 치역들을 나타낸 표이다.
| 이름 | 표기법 | 정의 | 정의역 | 치역 |
|---|---|---|---|---|
| 아크사인 | y = arcsin x 또는 y = sin-1 x | x = sin y | −1부터 +1 | −π/2 ≤ y ≤ π/2 |
| 아크코사인 | y = arccos x 또는 y = cos-1 x | x = cos y | −1부터 +1 | 0 ≤ y ≤ π |
| 아크탄젠트 | y = arctan x 또는 y = tan-1 x | x = tan y | 모든 실수 | −π/2 < y < π/2 |
| 아크코탄젠트 | y = arccot x 또는 y = cot-1 x | x = cot y | 모든 실수 | 0 < y < π |
| 아크시컨트 | y = arcsec x 또는 y = sec-1 x | x = sec y | −∞부터 −1과 1부터 ∞ | 0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π |
| 아크코시컨트 | y = arccsc x 또는 y = csc-1 x | x = csc y | −∞부터 −1과 1부터 ∞ | −π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2 |
정의역을 복소수로 두게되면 위에서 치역의 범위는 실수부의 범위가 된다.
출처 : http://ko.wikipedia.org/wiki/역삼각함수
영문판 : https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions
3. 주의 사항
- y = sin-1 x 의 -1을 를 지수로 해석해서, 곱하기 역수인 y = {sin(x)}-1 = (1 ÷ ((sin(x))) 로 계산하면 안된다.
- 삼각함수 및 역삼각함수를 손으로 정확하게 구하는 방법은 없다. 따라서 삼각함수표나 공학용 계산기를 이용해야만 한다.
(특수한 경우 테일러 급수 등을 이용해 근사값을 빠르게 구하는 방법은 있습니다만...
참고 : http://jjycjnmath.tistory.com/32 ) - 역삼각함수의 치역 범위(=결과값의 범위)를 잘 따져야 한다.
-
25
댓글12
-
세상의모든계산기
키 입력 방법
역삼각함수는 대부분의 공학용 계산기에 기본으로 내장되어 있습니다.
컴퓨터에서 쌍시옷 누르려면 【SHIFT】+【ㅅ】 누르는 것처럼 키의 조합으로 입력할 수 있습니다.
다만, 【SHIFT】에 해당하는 키를 누른 채로 유지할 필요는 없고, 순서대로만 누르시면 됩니다.
ArcSin
ArcCos
ArcTanSHIFT 에 해당하는 버튼은 보통 좌측 최상단에 위치하고 있고, 계산기마다 이름이 다른데 【SHIFT】, 【2nd F】, 【Ctrl】등으로 사용합니다.
-
세상의모든계산기
삼각함수표
( 출처 : http://netp.tistory.com/6)
-
세상의모든계산기
윈도우 공학용 계산기
버튼을 누르면 역삼각함수가 나옵니다.
ex) arctan(10) 의 계산
-
세상의모든계산기
울프람 알파(Web)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=arccos%280.8615%29
-
세상의모든계산기
각도 설정
역삼각함수는 출력 결과값이 각도 단위이기 때문에,
계산기의 Setting - Angle(각도) 사전 설정값에 따라 결과가 radian / degree 로 선택되어 출력됩니다.
http://www.allcalc.org/4217 -
세상의모든계산기2016.03.07 - 23:26 #15666Knowledge Base
Home > Product Usage > TI-73 Explorer™ Family > > Solution 11693
Solution 11693: Algorithm for Solving Trigonometric Functions (Sine, Cosine and Tangent) on Texas Instruments' Graphing Calculators.
Type Question and Answer
Last Updated 07-DEC-2007 09:01:14
How does TI graphing calculators compute values for sine, cosine and tangent?
Texas Instruments uses the CORDIC algorithm method to compute trigonometric and other transcendental functions. A recent thread on Graph-TI asks about the internal methods used to compute trigonometric and other transcendental functions.
Most practical algorithms in use for transcendental functions are either polynomial approximations or the CORDIC method. TI calculators have almost always used CORDIC, the exceptions being the CC-40, TI-74 and TI-95 which used polynomial approximations.
In the PC world, the popular Intel math co-processors like the 8087 use CORDIC methods, while the Cyrix 83D87 uses polynomial methods. There are pros and cons to both methods. References 1 and 2 give some information on these devices but not down to the detailed algorithm level.
The polynomial approximations, however, are not usually familiar ones like a Taylor's series, but more related to Chebyshev polynomials. Early work on this topic was done by Hastings (ref 3) which is a fascinating book that represents a lot of tedious work in an age when "computers" were still likely to be people!
A more recent standard reference for constructing these polynomials is Hart (ref 4). A thorough treatment of the minor details one has to deal with in implementing the full algorithms for elementary functions (like binary versus decimal number representations and ranging for general arguments) is in Cody(ref 5).
The CORDIC algorithm is a super example of an approach that is quite different from traditional math and which is very efficient. One often sees a very specialized problem solution like this in many areas of engineering and science, which makes exposure to ideas of this type valuable in education, at least for advanced students.
CORDIC is an acronym for COrdinate Rotation DIgital Computer and was developed by J.E. Volder in 1959 (ref 6). Additional articles and one book chapter covering the technique are given in references 7 - 10. All these articles are complete enough to give the essentials of the method but each one reveals interesting variations. To give you a flavor for the idea and some material to work with without tracking down these references, we will give a worked example and a general description of the principle.
The concept of CORDIC is to take an angle theta and "rotate" a vector over this angle towards zero in a series of steps such that the sum of all the steps taken equals theta and we can accumulate corresponding X and Y increments for each step such that when we complete the process, Y/X = tan(theta). Variations of this basic concept can result in all the forward and inverse trigs as well as square root, hyperbolic trigs, and the exponential and logarithm functions.
Please see the graphing calculator guidebooks for more information and examples on using the sine, cosine and tangent functions. -
세상의모든계산기
atan2(y,x)
atan() 함수의 치역이 -pi/2 ~ pi/2 이기 때문에, 이 결과만으로는 좌표평면상 두 점의 위치관계를 정확하게 알기 어렵다.
이를 해결하기 위해 atan2(y,x) 가 필요함. 이 함수의 치역은 -pi ~ pi 로 정확한 방향을 특정할 수 있다.https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2
https://www.medcalc.org/manual/atan2_function.php
복소수 취급이 불가능한 계산기는 arg() 함수가 없습니다. 대신 pol(x,y) 함수를 이용해 각도값을 찾을 수 있습니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
500! 의 십진수 근사값 확인 500! = 1.22013682599111006870123878542304692625357434280319284219241358838 × 10^(1134) (참값, 울프람 알파) 2025 10.29 관련 라이브러리 https://allcalc.org/56263 sgn(x) 내장된 부호 함수(signum function)와 달리, 이 함수의 sgn(0)은 0을 반환합니다. 2025 10.29 라이브러리로 사용할 수 있습니다. (제작자 추천) 1. mylib 폴더에 넣기 2. Actions ➡️ library ➡️ refresh libraries 실행 하기 2025 10.29 ChatGPT-5 기호(÷, /, :) 자체는 의미적으로 같은 “나눗셈”을 뜻하지만, 문맥(사람이 쓰는 수학 vs 컴퓨터/프로그래밍)에 따라 해석 우선순위가 달라질 수 있습니다. 🔹 1️⃣ 전통 수학 표기 — ÷, /, : 수학 교과서, 논문, 일반 문서 등에서는 셋 다 의미적으로 “나누기”로 간주됩니다. 즉, 48÷2(9+3), 48/2(9+3), 48:2(9+3) 은 같은 의미로 받아들여야 합니다. 모두 사람의 수학 관행적 해석이 적용되어 48 ÷ 2 × (9+3) = 288 로 처리되죠. 즉, 기호가 바뀌어도 결과는 바뀌지 않습니다. 🔹 2️⃣ 컴퓨터·프로그래밍 문맥에서 / 사용 시 컴퓨터는 “생략된 곱셈(implicit multiplication)”을 따로 구분하지 못합니다. 따라서 다음 두 식은 완전히 다르게 인식됩니다. 표현 파이썬 등에서 해석 결과 48 / 2*(9+3) ((48 / 2) * (9+3)) 288 48 / 2(9+3) ❌ 문법 오류 (생략된 곱셈 인식 불가) — 즉, 컴퓨터 언어에서는 생략된 곱셈이 허용되지 않기 때문에, /는 반드시 명시적 *와 함께 써야 합니다. 🔹 3️⃣ “:” 기호의 경우 현대 수학에서는 “비율”을 나타내는 기호로 쓰입니다. a:b = \frac{a}{b} 따라서 (27 : 3(1+2)3) 같은 표현은 모호하거나 비표준적으로 간주됩니다. 대부분의 경우 계산기로는 입력 자체가 불가능합니다. ✅ 정리 기호 의미 결과 변화 주로 쓰이는 문맥 ÷ 나누기 없음 초중등 수학, 일반 표기 / 나누기 없음 (단, 프로그래밍에서는 생략 곱 불허) 수학/컴퓨터 : 비율 (또는 나누기 의미로 혼용) 보통 계산식에서는 사용 안 함 비, 비율 표기 🔹 결론 48 ÷ 2(9+3), 48/2(9+3), 48:2(9+3) 는 “수학적 의미”로는 동일하게 81로 해석됩니다. 하지만 프로그래밍이나 수식 파서(context) 에서는 /만 유효하고, 생략된 곱은 허용되지 않으며, :는 아예 다른 의미(비율)로 인식됩니다. 2025 10.28 ChatGPT-5 💯 네, 정확히 그 지점을 짚으셨어요. 요약하면 이렇게 말할 수 있습니다: “생략된 곱하기(implicit multiplication)”는 문자에서는 강한 결합력을 인정하지만, 숫자나 괄호 사이에서는 일반 곱셈(×)과 동일한 우선순위로 취급된다. 즉, 문자에서는 더 강하게 결합, 숫자·괄호 사이에서는 그냥 ‘보통 곱셈’ 으로 본다는 것이 현대 수학 표기와 계산기의 관행적 규칙입니다. 🔹 두 경우의 구조적 차이 식 형태 실제 해석 결과 결합력 특징 ab ÷ ab 문자 붙음 ((a×b) ÷ (a×b)) 1 문자 간 결합이 강함 → 한 항으로 인식 3(1+2)3 숫자·괄호 혼합 (3 × (1+2) × 3) 27 생략된 ×는 보통 곱셈 → 좌→우 규칙 적용 🔹 왜 문자식은 결합력이 더 강한가? 기호적 표현의 안정성 (ab), (xy), (2x) 같은 표기는 수백 년 동안 “하나의 곱셈 항(term)”으로 인식되어 왔습니다. 그래서 수학자들은 이걸 암묵적으로 “괄호로 묶인 덩어리”로 봅니다. ab ÷ ab = (ab) ÷ (ab) 함수 표기와 구분 필요 예: (sinx ÷ x) 에서 sinx는 sin(x)로 묶여야 의미가 있습니다. 이런 이유로 “문자 옆에 붙은 기호나 문자”는 항상 먼저 결합되도록 하는 관행이 굳어졌습니다. 🔹 반면 숫자·괄호에서는 (3(1+2)) 는 단순히 “3 × (1+2)”의 약식 표현이고, 여기서 “생략된 곱셈”은 “명시적 곱셈”과 동일한 연산자로 간주됩니다. 따라서 27 ÷ 3(1+2)3 = 27 ÷ 3 × 3 × 3 = 81 처럼 좌→우 순서로 처리합니다. 🔹 결론 생략된 곱하기(implicit multiplication)의 결합력은 표기 맥락에 따라 다르다. 문자/기호와 함께 쓰일 때 → 강하게 결합 (하나의 항으로 인식) 숫자와 괄호 사이 → 일반 곱셈과 동일한 우선순위 (좌→우 계산) 이건 “규칙이 바뀐 것”이 아니라, 표기 문법(context) 이 달라서 ‘결합 단위(token)’이 달라진 결과라고 보는 게 가장 정확합니다. 2025 10.28