3×3 이상인 행렬의 행렬식 determinant

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  세상의모든계산기

  2024.10.19 - 14:25 2024.10.19 - 14:05 #50541

  소행렬식 전개, 여인수 전개 (cofactor expansion)

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  \(3 \times 3\) 행렬에서 소행렬식(cofactor expansion)을 계산할 때, 특정 행이나 열을 선택하여 계산할 수 있으며, 특정한 행(가로)이나 열(세로)에 제한은 없습니다. 즉, 소행렬식을 확장할 때 반드시 첫 번째 행(a, b, c)만을 선택할 필요는 없으며, 다른 행이나 열을 기준으로 선택할 수도 있습니다. 
   

  예를 들어, 행렬이 다음과 같다고 가정합시다:

  \[
  A = \begin{pmatrix} 
  a & b & c \\ 
  d & e & f \\ 
  g & h & i 
  \end{pmatrix}
  \]

   

  소행렬식 확장법은 특정 행이나 열을 선택한 후, 그 요소에 대응하는 소행렬식을 계산하고 부호를 맞추어 더하는 방식입니다.

  따라서 첫 번째 열(a, d, g)을 기준으로 확장할 수도 있습니다.

   

  1. 첫 번째 열(a, d, g)을 기준으로 확장

  
  첫 번째 열의 값 \(a\), \(d\), \(g\)를 기준으로 확장하면 다음과 같습니다:

  \[
  \text{det}(A) = a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - d \begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} + g \begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix}
  \]

  여기서 소행렬식은 \(2 \times 2\) 행렬식으로 계산되며, 각각 다음과 같습니다:
  + \(a \cdot (ei - fh)\)
  － \(d \cdot (bi - ch)\)
  + \(g \cdot (bf - ce)\)

  따라서:

  \[
  \text{det}(A) = a(ei - fh) - d(bi - ch) + g(bf - ce)
  \]

  이와 같이 첫 번째 열(a, d, g)을 기준으로 소행렬식을 확장할 수 있습니다.

   

  * TIP : 어떤 행 / 어떤 열을 잡아도 되기 때문에, 가급적 0 이 많은 것을 선택하는 것이 좋습니다. 
  위 식에서 만약 d=g=0 이라면 3개 항중에서 뒤에 2개는 계산할 필요도 없이 0 이 되니까요. 

   

   

  2. 주의점: 부호 규칙

  
  소행렬식 확장에서는 항상 부호 규칙에 주의해야 합니다. 부호 규칙은 선택한 행이나 열의 각 원소에 교대 부호(\(+, -, +\))를 적용하는 것입니다. 이 교대 부호는 다음과 같은 패턴을 따릅니다:

  \[
  \begin{pmatrix} 
  + & - & + \\ 
  - & + & - \\ 
  + & - & + 
  \end{pmatrix}
  \]

  따라서 첫 번째 열을 기준으로 확장할 때:
  - \(a\)는 양의 부호를 가지며, \(a \cdot \text{det}(\text{소행렬})\),
  - \(d\)는 음의 부호를 가지며, \(- d \cdot \text{det}(\text{소행렬})\),
  - \(g\)는 양의 부호를 가집니다.

  다른 행이나 열을 선택하더라도 부호 규칙에 맞게 소행렬식 확장을 적용해야 합니다.

   

  3. 다른 행이나 열을 기준으로 확장 가능

   

  다른 행이나 열을 기준으로도 소행렬식을 확장할 수 있습니다. 예를 들어:
  - 두 번째 행(d, e, f)를 기준으로 확장할 수 있습니다.
  - 세 번째 열(c, f, i)를 기준으로도 확장할 수 있습니다.

  모든 경우 소행렬식의 값은 같지만, 계산 과정에서 사용하는 소행렬들이 달라지며, 부호 규칙을 반드시 고려해야 합니다.

   

  결론

   

  \(3 \times 3\) 행렬에서 행렬식을 계산할 때, 특정 행이나 열에 국한되지 않고 어떤 행이나 열을 기준으로 잡을 수 있습니다. 다만, 부호 규칙에 주의하며 소행렬식을 확장해야 합니다.

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  세상의모든계산기

  2024.10.19 - 14:28 2024.10.19 - 14:21 #50546

  소행렬, 여인수 Cofactor 의 의미

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  원소 \(a_{ij}\)의 소행렬식 \(C_{ij}\) 는 다음과 같이 표현됩니다.
    \[
    C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \text{det}(M_{ij})
    \]
    여기서 \(M_{ij}\)는 원소 \(a_{ij}\)를 제외한 나머지 원소들로 이루어진 \((n-1) \times (n-1)\) 행렬입니다. 

   

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  여인수(余因數)라는 용어는 한자어로 구성되어 있으며, 각 한자의 의미를 통해 이해할 수 있습니다.

   

  한자 해석
  1. 여(余): '여'는 '남다', '남겨두다', '여분의'라는 의미를 가집니다. 즉, 본래의 것에서 남겨진 것을 의미합니다.
  2. 인(因): '인'은 '원인', '원인으로 하다'라는 뜻을 가지고 있습니다. 이 경우, 어떤 결과나 현상의 원인이 되는 것을 의미합니다.
  3. 수(數): '수'는 '수치', '수량', '계산'의 의미를 가지고 있습니다. 즉, 수학적 개념이나 수량을 나타내는 것입니다.

   

  전체 의미
  따라서 여인수라는 용어는 다음과 같은 의미를 지닙니다:
  - "남겨진 원인" 또는 "남겨진 수치": 행렬의 특정 원소를 제외한 나머지 원소들로 구성된 소행렬의 행렬식에 대한 값으로, 전체 행렬식에 기여하는 요소를 의미합니다.

   

  비유적 이해
  - 여인수는 전체 행렬에서 어떤 특정한 원소를 제거했을 때, 그 제거된 원소가 행렬식에 기여하는 방식으로 이해할 수 있습니다. 그래서 '여분의', 즉 남겨진 부분이 전체의 계산에 중요한 역할을 한다는 것을 내포하고 있습니다.

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