고정점 반복법, Fixed Point Iteration (비선형 방정식의 해를 찾는 방법)

시행착오법을 통해 비선형 방정식의 해를 찾는 방법은 여러 가지가 있으며,

그 중 하나가 "고정점 반복법" (Fixed Point Iteration)입니다. 

고정점 반복법 (Fixed Point Iteration)

 

- 정의: 함수 \( f(D) = 0 \)의 해를 구하기 위해, 반복적으로 특정 형식의 함수 \( g(D) \)를 설정하여 \( D_{\text{new}} = g(D) \)의 형태로 업데이트하는 방법입니다.
- 용도: 비선형 방정식, 유체 유동 해석, 공학적 문제 등 다양한 분야에서 해를 찾기 위해 사용됩니다.

 

기타 관련 방법

 

- 뉴턴-랩슨 방법 (Newton-Raphson Method):

  - 기울기를 이용하여 해를 찾아가는 방법으로, 일반적으로 더 빠른 수렴 속도를 제공합니다. 하지만 초기값에 대한 의존성이 큽니다.

- 바이섹션 방법 (Bisection Method):

  - 함수의 값을 이용하여 중간값을 반복적으로 좁혀가는 방법입니다. 안정적이지만 수렴 속도는 상대적으로 느립니다.

- 이분법 (Secant Method):

  - 두 점의 기울기를 이용해 해를 찾는 방법으로, 뉴턴-랩슨 방법의 대안으로 사용할 수 있습니다.

 

각 방법은 특정 상황에서의 장단점이 있으므로 문제에 맞는 방법을 선택하는 것이 중요합니다.

 

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고정점 반복법의 예시 (2차방정식)

 

 

2차 방정식 예제로 주어진 방정식이 다음과 같다고 가정하겠습니다:

\[
x^2 - 3x - 4 = 0
\]

이 방정식을 고정점 형태로 변형하여 해결해 보겠습니다.

 

1. 방정식 변형

 

방정식을 고정점 형태로 변형하려면 \( x \)에 대해 다시 정리해야 합니다. 예를 들어, 위의 방정식에서 \( x \)에 대한 식으로 바꿉니다:

\[
x = \frac{3x + 4}{x} = 3 + \frac{4}{x}
\]

 

이제 고정점 함수 \( g(x) \)를 정의할 수 있습니다:

\[
g(x) = 3 + \frac{4}{x}
\]

 

2. 초기값 설정

 

고정점 반복법을 시작하기 위해 초기값을 설정합니다. 예를 들어, \( x_0 = 5 \)로 시작하겠습니다.

 

3. 반복 계산

 

이제 반복적으로 \( x \) 값을 업데이트합니다:

\[
x_{\text{new}} = g(x)
\]

1. 첫 번째 반복:
   \[
   x_1 = g(x_0) = 3 + \frac{4}{5} = 3 + 0.8 = 3.8
   \]

2. 두 번째 반복:
   \[
   x_2 = g(x_1) = 3 + \frac{4}{3.8} \approx 3 + 1.0526 \approx 4.0526
   \]

3. 세 번째 반복:
   \[
   x_3 = g(x_2) = 3 + \frac{4}{4.0526} \approx 3 + 0.9875 \approx 3.9875
   \]

4. 네 번째 반복:
   \[
   x_4 = g(x_3) = 3 + \frac{4}{3.9875} \approx 3 + 1.0031 \approx 4.0031
   \]

이런 식으로 계속 반복하여 \( x_n \)이 수렴할 때까지 진행합니다.

 

4. 수렴 확인

 

반복을 계속 진행하다 보면, \( x \) 값이 안정화되어 수렴하게 됩니다.

예를 들어, 수렴 조건으로 \( |x_{\text{new}} - x_{\text{old}}| < \epsilon \) (여기서 \( \epsilon \)은 설정한 허용 오차) 를 사용할 수 있습니다.

 

* g(x) 함수에 따라 수렴하지 않고 발산할 수도 있습니다. 

수렴 조건:

• |g'(x)| < 1 인 구간에서 수렴이 보장됩니다.
• 이는 연속 반복에서 점들이 서로 가까워짐을 의미합니다.