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가우스 자이델 방법 (Gauss-Seidel Method)
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- 2024.10.09 - 11:59 2024.10.09 - 11:37 610 2
네, 가우스 자이델(Gauss-Seidel) 방법은 연립 방정식을 푸는 수치 해법 중 하나로, 특히 대형 희소 행렬을 다룰 때 유용합니다.
이 방법은 주어진 연립 방정식의 해를 점진적으로 개선하는 반복 기법입니다. 가우스 자이델 방법은 다음과 같이 작동합니다:
1. 먼저 연립 방정식을 대각 행렬 성분이 주도하는 형태로 정렬해야 합니다.
일반적으로 행렬 A가 대각 우세한 행렬이거나 적어도 대각 성분이 중요한 경우에 가우스 자이델 방법이 잘 동작합니다.
2. 가우스 자이델은 이전 단계에서 구한 값을 바로 다음 계산에 사용합니다.
이로 인해 매 반복마다 새로운 값으로 업데이트되며, 이를 통해 더 빠르게 수렴하는 경향이 있습니다.
3. 연립 방정식의 각 변수를 반복해서 계산하며, 이전 단계에서 구한 값을 현재 단계에서 사용하는 것이 특징입니다.
가우스 자이델 방법을 수식으로 표현하면 다음과 같습니다. 주어진 연립 방정식 Ax = b에서, 각각의 변수 \( x_i \)는 다음과 같이 업데이트됩니다:
\[
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{A_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1}^{i-1} A_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} A_{ij} x_j^{(k)} \right)
\]
여기서:
- \( x_i^{(k+1)} \)는 \( k+1 \)번째 반복에서의 \( i \)번째 변수입니다.
- \( A_{ij} \)는 행렬 A의 성분입니다.
- \( b_i \)는 벡터 b의 성분입니다.
- 이전에 구한 \( x_j^{(k+1)} \)값을 바로 사용하고, 그 외의 \( x_j^{(k)} \)는 이전 반복에서 구한 값을 사용합니다.
가우스 자이델 방법은 때로는 야코비 방법보다 빠르게 수렴할 수 있지만, 수렴이 보장되려면 행렬이 대각 우세하거나 적절한 조건을 만족해야 합니다.
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세상의모든계산기
대각 우세(diagonally dominant) 행렬
행렬의 대각 성분이 나머지 성분들에 비해 지배적이라는 의미입니다.
대각 우세(diagonally dominant) 행렬의 정의:
행렬 A가 대각 우세하다고 할 수 있는 조건은 다음과 같습니다:
- 행렬 A의 각 행에서, 대각 성분의 절댓값이 그 행의 나머지 성분들의 절댓값의 합보다 크거나 같아야 합니다.
즉, 행렬 A의 \(i\)번째 행에 대해:
\[
|A_{ii}| \geq \sum_{j \neq i} |A_{ij}|
\]여기서:
- \(A_{ii}\)는 \(i\)번째 행의 대각 성분,
- \(A_{ij}\)는 \(i\)번째 행의 나머지 성분들입니다.예를 들어:
\[
A = \begin{pmatrix}
10 & 1 & 2 \\
2 & 20 & 1 \\
3 & 4 & 30
\end{pmatrix}
\]위의 행렬에서 대각 성분은 10, 20, 30이고, 각각의 행에서 나머지 성분들은 다음과 같습니다:
- 첫 번째 행: 10 (대각 성분) ≥ |1| + |2| = 3
- 두 번째 행: 20 (대각 성분) ≥ |2| + |1| = 3
- 세 번째 행: 30 (대각 성분) ≥ |3| + |4| = 7따라서 이 행렬은 대각 우세입니다.
대각 우세의 의미:
대각 우세한 행렬은 수치 해법, 특히 반복적인 해법(야코비, 가우스 자이델 등)에서 중요한 역할을 합니다.
대각 성분이 나머지 성분들보다 크다는 것은, 해당 변수(대각 성분과 연관된 변수)가 방정식에서 더 큰 영향을 미친다는 의미입니다.
이는 수렴 속도를 빠르게 하고, 해를 안정적으로 찾는 데 도움을 줍니다.
왜 중요한가?
대각 우세한 행렬은 수렴을 보장할 가능성이 높습니다.
수치 해법에서 반복 계산을 할 때, 각 변수의 새로운 값이 빠르게 수렴하려면 해당 변수가 방정식에서 "주요한 역할"을 해야 합니다.
대각 성분이 크다는 것은 방정식에서 그 변수의 영향력이 크다는 의미이므로, 더 빠르고 안정적으로 해를 찾을 수 있습니다.
정리하자면:
- 대각 우세는 각 변수의 대각 성분이 해당 행의 나머지 값들의 합보다 크거나 같다는 뜻입니다.
- 이는 수치 해법에서 반복적인 계산의 수렴 속도를 높이고, 안정성을 확보하는 데 중요한 역할을 합니다. -
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세상의모든계산기
모든 행에서 대각우세를 만족시킬 수 없는 경우
대각 우세를 만족시키지 않는 행렬이 있을 때, 단순히 행을 바꾸는 것만으로 대각 우세한 행렬을 만들 수 없는 경우가 종종 발생합니다.
이때는 몇 가지 다른 접근법을 고려해야 합니다. 이러한 상황에서 해결 방법은 다음과 같습니다.
1. 행렬 재구성 (Scaling)
행렬의 각 행이나 열의 크기를 조정(스케일링)하여 대각 우세 조건을 만족시키도록 변환할 수 있습니다.행렬의 값들이 매우 크거나 작은 경우, 대각 성분을 더 강조하기 위해 행 전체를 적절한 상수로 곱하거나 나눌 수 있습니다.
이 방법은 방정식의 해를 변경하지 않으면서도, 계산에서 수렴 조건을 더 잘 만족하도록 조정할 수 있습니다.
2. 사전 조건화 (Preconditioning)
사전 조건화는 연립방정식을 보다 해결하기 쉬운 형태로 변환하는 방법입니다.대각 우세 조건을 만족시키지 않는 행렬에 대해, 행렬을 변형(변환 행렬을 곱하거나 분해)하여 보다 수렴 가능한 형태로 만들어 줍니다.
사전 조건 행렬(Preconditioning matrix)을 통해 행렬의 성질을 바꿔 대각 우세 조건을 만족하게 할 수 있습니다.
- 대표적인 방법으로는 Jacobi preconditioner 또는 ILU(불완전 LU 분해) 등이 있습니다.
3. 직접 해법
대각 우세를 만족시키지 않는 행렬에서는 야코비 방법이나 가우스-자이델 방법 같은 반복적 수치 해법의 수렴이 보장되지 않을 수 있습니다.이 경우, 직접 해법을 사용해 연립방정식을 푸는 것이 더 나은 방법일 수 있습니다.
- 가우스 소거법이나 LU 분해는 반복적인 계산이 아니라 행렬을 직접 분해하거나 조작하여 해를 구하는 방법입니다.
이러한 방법은 수렴에 의존하지 않기 때문에 대각 우세 조건이 없어도 문제 없이 작동할 수 있습니다.
4. 다른 수렴 조건을 만족하는 반복적 방법 사용
대각 우세는 반복적인 방법에서 해가 수렴할 수 있는 충분 조건 중 하나일 뿐입니다.야코비 방법이나 가우스-자이델 방법이 대각 우세를 요구하는 이유는 수렴 속도와 안정성 때문이지만, 다른 방법들은 대각 우세를 요구하지 않고도 사용할 수 있습니다.
예를 들어:
- SOR(Over-Relaxation Method): 가우스-자이델 방법을 확장한 방법으로, 특정 완화 파라미터 \(\omega\)를 사용하여 수렴을 촉진할 수 있습니다.
- GMRES(Generalized Minimal Residual Method): 대형 비대칭 행렬이나 대각 우세 조건이 없는 경우에도 사용할 수 있는 방법입니다.
이러한 방법들은 대각 우세 조건을 충족하지 않는 경우에도 사용할 수 있으며, 수렴을 촉진할 수 있습니다.5. 근사 해법 사용
특정 문제에서 매우 높은 정확도가 필요하지 않은 경우, 대각 우세 조건을 강제로 만족시키기 위한 근사적인 해법을 사용할 수도 있습니다.대각 성분을 강화하거나 다른 성분을 조정해 수렴을 보장하도록 문제를 변형한 후, 근사적인 해를 구하는 방법입니다.
결론
대각 우세 조건을 행 순서 변경으로 만들 수 없을 때는:
- 행렬을 재구성하거나 사전 조건화를 적용하여 계산의 안정성을 높이거나,
- 직접 해법을 통해 문제를 해결하거나,
- 다른 수렴 조건을 만족하는 반복적 방법을 선택하는 것이 좋습니다.각 방법은 문제의 성질과 요구되는 정확도에 따라 적절히 선택됩니다.
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ES 나 EX 와 비교해 'CW 입력 방식이 변화가 큰 편'이어서 지금까지 추천하지는 않았는데, - EX 모델이 완전 단종 & 그로 인해 짝퉁문제가 앞으로 더 심각해질 듯 보임 - 그렇다고 지금 ES 추천하기는 강호의 도리상 고개가 저어지고... 이제 모두 CW로 넘어갈 타이밍이 되지 않았나 싶네요. 그런데 왜 또 4자리로 나와서... ㅋㅋ 미치겠네 2025 12.28 버튼 갯수 = 동일 버튼 배치 = 동일 버튼 음각이 없어지고, 마킹. 가독성 선택 태양광 패널 삭제. (그러면 5700CW 라고 해야 맞는 거 아닌가?) 그 외에 메뉴가 살짝 변경된 듯 함. (욕먹던 거 수정한 듯 보이기도) 배터리 1.5V LR44 -> 1.5V AAA https://www.reddit.com/r/calculators/comments/1o7kj7f/casio_fx9910cw_review_a_much_needed_improvement/ 2025 12.28 fx-570 CW 는 정밀도가 올라갔음. 여기까지 매우 정밀한 값 = 1.7887597505251 Math ERROR 는 아니고 Time Out 이 발생함. 아쉽게도... 2025 12.28 에러는 피했지만 오차는 피할 수 없음. 매우 정밀한 값 = 1.7887597505251 fx-570 ES 나 EX 는 여기까지가 한계 더 이상 작은 값이 대입되면 실질적으로 분모가 0으로 처리되어 ERROR (수식마다 한계가 다름) 2025 12.28 진짜 색약 안경은 비싸서 살 생각은 없고, 알리에서 싸구려 구매해서 테스트 해 봤습니다. 프로그램과 비슷한 효과가 있고, (프로그램과 비교해서) 알리 싸구려 렌즈가 - 숫자 구분이 아주 약간 더 잘 되고 - 붉은 색상이 더 밝습니다. 채도가 높다고 해야하는 것 같네요. 주의할 점은 알리 색약 안경은 일상용으로는 절대 사용 불가입니다. - 내부 빛반사 방지 코팅이 없어서 내 눈알이 렌즈에 비치고, 그래서 실제로 보여야 할 것과 섞여 보입니다. - 필터 코팅도 최악이라서 중심부(=마젠타) 주변부(=노랑)으로 서로 다르게 색이 들어옵니다. 전반적으로 그라데이션 발생. - 외부에서 봤을 때 렌즈색이 튀기 때문에, 티가 많이 납니다. - 색 구분 면에서는 도움이 될 수도 있지만, 녹색(특정 파장)이 차단되어 LED 신호등의 녹색이 잘 안보일 수 있습니다. 2025 12.24