nSpire로 편미분하기

https://allcalc.org/53622 에 대한 답글을 써볼까 하다가 한달이나 지나버렸네요

결론부터 이야기 하면 저는 엔스파이어에서 편미분을 다음과 같은 방식으로 합니다

1. 전미분 하기

2. 전미분을 미분하려는 미분변수로 나누어서 편미분 구하기

 

예를 들면

z=a*x^(2)+b*x*y+c*y^(2) 식을 ex1로 하고 여기서 a, b, c는 상수, z, x, y를 변수로 전미분을 해보면

식이 원하는 방식으로 안보여서 factor, expand 식을 쓰느라 좀 복잡해졌는데, 전체식을 전미분 하고 dz를 구해서

(위 식은 이미 z=...꼴이라 그럴 필요가 없어졌지만)

dx로 나눠주면 편미분 dz/dx를 구할 수 있습니다. 그런데 dy/dx항이 있네요?

우리는 이미 dz/dx가 2a*x+b*y라는 걸 알고 있습니다. 이 사실에 맞으려면 dy/dx항이 0이 되어야 합니다.

즉 독립변수끼리 미분비는 0,

이말은 또, 편미분을 할 때 다른 독립변수는 상수 취급한다는 말과 같은 것이 되겠습니다.

편미분이 그런 거죠.

 

같은 방법으로 이차 편미분을 해봅시다

위에선 전미분부터 설명하느라 y미분도 포함했는데 이미 설명이 끝났으니 생략했습니다

2차 편미분에 변수 dz, dx, x에 대해 전미분 해주고 dx^2로 나눠줍니다

1차때와 마찬가지로 우리는 이미 d2z/dx^2이 2*a란 걸 알고 있습니다.

이 결과에 맞으려면 d2x/dx^2=0이 되어야 합니다. d2x/dx^2=d/dx(dx/dx)=d/dx(1)=0이 되니까 0이 되는 게 맞지요

 

과정을 이해하고 있으면 다음과 같이 생략할 것은 생략해서 계산할 수 있겠습니다.

 

처음에 썼던 결론을 다시 말하면 편미분을 하려면

1. 식에서 독립변수와 종속변수를 구한다

일반적으로 독립변수는 편미분할 변수, 그 외 독립변수는 상수취급, 복잡한 식에서 종속변수는 둘 이상이 될 수도 있다

2. 독립변수와 종속변수를 합해서 미분하려고 하는 변수를 구하여 전미분한다

3. 전미분한 결과를 편미분변수로 나누고 편미분값을 구한다

 

또 고차 편미분을 하려면 위의 1항의 종속변수를 미분한 것이 추가됩니다. 

예시에서 1차때는 종속변수가 z였는데 2차때는 거기에 dz가 추가가 됩니다.

예시의 식은 간단한 식이라 z가 사라지고 dz만 나타났는데 복잡한 식이면 z와 dz가 같이 나타나게 되죠

또 종속변수가 둘 이상, 예를 들어 r, s라 할 때 2차 편미분에서는 종속 변수 집합이 {r, dr, s, ds} 이렇게 늘어나게 되겠죠