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원통형 파이프에 종이를 감을때, 전체 원통의 두께는?
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- 2024.11.01 - 15:03 2024.10.22 - 18:27 1213 4 1
ㄴ 이미지 생성 : Gemini 1.5 Flash
직경 d_cm 인 원통형 파이프에, 두께 t_mm 인 종이를, L_meter 감으면
롤(원통)의 중심에서 몇 cm 까지 두꺼워질까요?
방법A) 감긴 단면의 면적으로 풀기
단면을 잘라 보았을 때, 전체 원통의 면적 = 종이의 면적 + 파이프의 면적이 됩니다.
(가정 : ⓐ 완전 밀착 ⓑ 압력에 의한 종이 길이나 두께의 변성 없음)
따라서 $\pi R^2-\pi r_0^2=t_{mm} \cdot L_m$ 가 성립합니다.
이 식을 이용해 solve 로 풀거나,
변수를 다른 변수로 정리해 풀면 답이 나옵니다.
문제1) 파이프 지름(d)이 6 inch, 종이 두께가 0.1mm, 종이 길이가 500m 일 때, 원통 중심에서 종이 끝까지의 길이(전체 반지름)는?
문제2) 파이프 지름(d)이 8.8cm, 종이 두께가 0.5mm, 종이 길이가 150m 일 때는?
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댓글4
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세상의모든계산기
TI-nspire 에서 단위를 수식에 미리 넣으면?
자동으로 approx 로 변형되어 버리네요. 보기가 조금 더 힘든 듯...
그냥 변수만 대입해 넣고, 숫자 대입할 때 한가지 단위(meter)로 통일하는 편이 좋겠습니다.
이 편이 단위 때문에 발생할 수 있는 오해 소지도 적을 것 같구요.
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세상의모든계산기
최고 종이를 많이 감았을 때 허용 지름(2r)을 파이프 포함하여 42cm이라고 하면, 총 종이의길이는 몇 미터까지 감을 수 있나?
파이프 지름(d)은 17.5cm 이고 종이 두께(t)는 0.1mm입니다.
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세상의모든계산기
방법B) 감긴 횟수로 계산
1. 첫 바퀴에 감긴 종이의 길이는 \( l_1 = \pi (d+t) \) (여기서 \( d \)는 원통 파이프의 직경)이다.
ㄴ 종이의 안쪽 원을 기준으로 길이를 재거나, 바깥쪽 원을 기준으로 길이를 잴 수도 있는데, 종이의 중심을 기준으로 재는 것이 가장 합리적이겠죠?ㄴ 안쪽 원보다는 길고, 바깥쪽 원보다는 짧아야 하니...
2. 두번째 바퀴에 감긴 종이의 길이는 \( l_2 = 2\pi\times r_1 = l_1 + 2\pi t \) 입니다.3. 세번째 바퀴에 감긴 종이의 길이는 \( l_3 = 2\pi\times r_2 = l_1 + 4\pi t \) 입니다.
따라서, 매 바퀴마다 둘레는 \( 2\pi t \)씩 더해집니다.
n바퀴째에 감긴 종이의 길이는 \( l_n = l_1 + n\cdot 2\pi t \) 가 됩니다.
종이를 \( n \) 바퀴 감았을 때의 총 길이와 반지름:
1. 반지름 증가:
- 첫 번째 감기 전의 반지름: \( r_0 = \frac{d}{2} \)
- 종이를 \( n \) 바퀴 감은 후의 반지름 \( r_n \)은:
\[
r_n = r_0 + n \times t = \frac{d}{2} + n \times t
\]2. 감은 종이의 총 길이:
- 종이를 \( n \) 바퀴 감았을 때의 총 종이 길이 \( L_n \)은:
\[
L_n = l_1 + l_2 + l_3 + \dots + l_n
\]
- 각 바퀴마다 길이는 \( l_n = d\pi + n\cdot 2\pi t \)이므로, 총 길이를 구하려면 이를 합산합니다:
\[
L_n = \sum_{k=1}^{n} \left( d\pi + k \cdot 2\pi t \right)
= nd\pi + \left( \pi t \cdot (n(n+1)) \right)
\]
여기서 \( \dfrac{n(n+1)}{2} \)는 1부터 \( n \)까지의 정수들의 합입니다.
n(감은 횟수)을 먼저 구하고, n을 $ r_n $ 공식에 대입하면 값이 찾아집니다.
본문방법 r=0.147383629719*_m
댓글방법 r=0.14735948683579
본문과 약~~~간의 오차가 있긴 한데... 무시해도 될 것 같습니다.
그런데 왜 차이가 났을까요?
"본문의 방식은 부피가 직사각형 기준이라서 문제가 없지만,
댓글의 방식은 매 바퀴마다 안쪽은 부피가 겹치고, 바깥쪽은 부피가 모자르는 기하학적 구조라서 발생하는 오차가 아닐까?" 추정해 봅니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
원래 식이 풀어진 상태에서는 두번째 인수 v가 분모, 분자에 섞여 있어서 계산기가 처리하지 못하는 듯 합니다. 이 때는 위에서와 반대로 분모 부분만 다른 문자(w)로 치환한 다음 completesquare(,v^2) 처리를 하면 일부분은 묶이는 듯 합니다. 하지만 여기서 처음 모양으로 더 이상 진행되진 않네요. 2025 10.08 전체 식에서 일부분(분모, 루트 내부)만 적용할 수는 없습니다. 번거롭더라도 해당 부분만 따로 끄집어 내서 적용하셔야 합니다. https://allcalc.org/30694#comment_30704 2025 10.08 분수의 분모 아닌 v만 w로 치환해 놓고, 결과를 completesquare 돌리면 앞부분은 묶이는 듯 합니다. 2025 10.08 [TI-nspire] Error: Domain Error https://allcalc.org/52070 Degree -> Radian 2025 10.07 참고 https://allcalc.org/52065 TI NSPIRE CX CAS 복소수 관련 문제 문의 드립니다. 2025 09.28