[공학용 계산기] 괄호( ) 를 마스터하라! (부제: 공학용 계산기 결과가 틀리는 가장 흔한 예)
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- 2024.10.26 - 17:59 2015.11.24 - 20:45 11790 10
이 글은 수식을 계산기에 입체적으로 입력하는 상황에는 적용되지 않습니다.
구형 계산기를 사용중이거나 수식을 한줄로만 입력하는 경우라면 반드시 알아야 하는 내용입니다.
1. 공학용 계산기 결과가 틀렸다구요?
을 계산기에 입력해 보세요. 【1】【÷】【2】【×】【3】 를 눌러서 = 3/2 = 1.5 로 나오나요? 좋습니다.
그럼 다른 식인 을 계산기에 입력해 보겠습니다. 이번에도 【1】【÷】【2】【×】【3】 으로 입력하셨나요?
어랏? 앞의 입력과 똑같네요? 당연히 결과도 1.5 로 같구요.
대체 뭘 빼먹은 걸까요? 계산기는 왜 내 마음을 몰라주는 걸까요?
[괄호를 빼먹어서 틀리는 가장 흔한 예]
- 원하는 계산 결과
└ 예시 - [fx-570ES]
- 문자를 포함한 수식일 때
결과 ⇒ 
※ 곱하기가 생략된 계수*문자의 꼴로 나눌 때는 계산기마다 처리 방식이 다를 수 있습니다.
2. 계산기가 괄호를 원하는 이유
일반 계산기는 사치연산의 순서를 무시하고 앞에서부터 계산을 합니다. 반면 공학용 계산기는 사칙연산을 수학적 순서에 맞게 그럭저럭 잘 수행해 냅니다. 기특하긴 하지만, 그렇다고 사용자가 원하는 내심을 알아채는 기능은 없습니다. 사람이 기계에 맞춰 주어야 하는 이유가 여기에 있습니다.
종이 위에 표현되는 수학식에는 숫자나 기호의 "크기", "두께", "기울기", "공간 간격", "높고낮음" 과 같은 입체적인 정보들이 포함되어 있습니다. 사람이 읽을 것을 가정하고 적은 수학식에는 이러한 입체적인 정보들이 있어서, 많은 것이 생략되더라도 사전에 동의된 약속에 맞게 해석하면 오해없이 의미를 전달할 수 있습니다.
하지만, 공학용 계산기로 수식을 전달할 때는 "(한정된 갯수의) 키 버튼"과 "(버튼의) 입력 순서"라는 아주 평면적인 조합만으로만 메시지를 만들어야 하기 때문에, 생략된 정보를 추가하지 않고서는 그대로 계산기에 입력할 수가 없습니다. // (계산기의 발전에 따라 종이 위에 수식을 적는 것과 같은 입체적인 수식입력이 가능해지는 추세입니다)
수학적 수식에서 생략된 정보를 계산기에 추가입력할 때 가장 중요한 것이 바로 괄호 묶음의 추가입니다.
괄호의 지정이 없을 때, 계산기는 미리 설정되어 있는 계산순서(= Order of Evaluation)에 따라 계산을 진행하게 되는데, 그 진행을 바꾸고 싶다거나, (익숙하지 않아서) 계산기의 계산순서가 확실하지 않다고 판단될 때에는 괄호를 추가해서 원하는 순서대로 계산을 진행할 수 있도록 계산기를 거들어 주어야 하는 것입니다.
3. 계산기에서의 괄호 원칙
- (입력순서 지정기호로서) 괄호는 모두 소괄호 ( ) 로 통일합니다.
중괄호{ }와 대괄호[ ]는 공학용 계산기에서 다른 기호로 사용되기 때문에 순서지정 기호로 사용할 수 없습니다.
- 분모, 분자, 지수, 밑(base), 인수 등 한줄입력과 친하지 않는 경우에는 가급적 괄호를 쳐주는 것이 좋습니다.
- 수학적으로 허용되는 표현인 sin2θ 는 (일반적으로) 계산기에서는 입력이 허용되지 않습니다. 따라서 그 대신에 (sin(θ))2 꼴로 입력해야만 합니다.
일부 계산기는 이러한 오류를 사전에 막기 위해 삼각함수 뒤에 여는 괄호를 강제로 붙여서 출력하기도 합니다.
ㄴ 이런 계산기에서 괄호는 삼각함수와 한 덩어리라서 괄호만 따로 삭제(del)할 수 없습니다.
3. 괄호의 생략 가능성
괄호가 많으면 많을수록 계산 순서가 명확해지므로, 순서와 관련된 계산오류가 줄어들 수 있습니다. 계산기에게는 괄호가 많을수록 좋지만, 사람은 꼭 그렇지만은 않아서 괄호 때문에 입력하는데 시간도 오래 걸리게 되고, 괄호갯수가 맞는지 괄호들을 이리저리 짝지어보느라 시간이 배로 걸리는 경우도 생깁니다.
그래서 생략 가능한 괄호의 경우 생략하는 것이 사람 입장에서는 유리합니다. 계산기 내부의 계산순서(= Order of Evaluation)를 완전하게 파악하면 생략 가능한 괄호를 쉽게 파악할 수 있습니다. 이것은 시행착오를 통해 알게 되는 부분인데, 계산기 입문 초반에는 가급적 괄호를 많이 쳐 보다가, 조금씩 생략해보시는게 좋겠습니다.
계산 우선순위는 대부분의 경우 계산기별 차이가 없습니다만, 그렇다고 모든 계산기가 같은 계산순서를 따르지는 않습니다. 한 회사의 계산기에서도 서로 다른 결과값을 보여주는 사례가 있으니, 오류를 줄이기 위해서는 미리 계산기 특성을 파악해 두시는게 좋습니다.
(계산기 사용설명서에 이런 내용이 분명하게 나와 있습니다)
계산기 입력시 생략 가능한 괄호
- 괄호 뒤에 숫자등 수식이 없을 때 ▶ 식의 마지막 닫는 괄호(들)
- 괄호 안 숫자가 단독 ▶ 예를 들면 (1.234) 의 괄호
괄호의 효율적인 입력은 계산기 마스터로 가는 첫번째 관문입니다.
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세상의모든계산기
수식입력 템플릿
최신 계산기들은 입체적인 정보를 받아들일 수 있는 수학적 template 들을 갖춰가는 추세입니다.
하지만 template 을 이용한 입력은 입력 속도의 저하로 이어져 장단점이 모두 있다고 할 수 있습니다.
└ TI-nspire 수식 입력 템플릿
└ HP Prime 수식입력 템플릿 -
세상의모든계산기
위에 식이 3가지 있습니다. 각각의 식을 질문하신 수식처럼 한줄로 표현해 보세요.
3개의 수식이 모두 다르게 표현되시나요?
다시 질문으로 돌아가서, 질문하신 식(2×10^-6/8.855×10^-12×2.5)을 위에 예시한 식1~식3 중에서 어떤 것으로 해석해야 옳은 걸까요?
계산기가 본문 한줄수식을 입력받았을 때, 식1~식3 중 어느 한가지로만 해석하도록 설계되어있습니다. 그 답이 본인이 원하는 답이 아니라면, 식을 설계에 맞게 입력하지 못한 것입니다.
계산기가 내가 원하는 대로 정하게 식을 이해하도록 식을 정확하게 입력해 주어야 합니다. 핵심은 계산의 우선순위이고, 문제를 해결할 열쇠는 괄호에 있습니다.
((2*10^(−6))/(8.855*10^(−12)*2.5)) = 90344.438170525
여기서 몇개의 괄호(쌍)은 계산기에서 생략해도 계산 결과를 얻는데 문제가 없습니다. 최적(최소)의 괄호입력으로 계산기에 입력하는 방법을 터득하시길 바랍니다.
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세상의모든계산기
- △H = 2.3 × (괄호안)^(1/3)
- 괄호안=(분자)÷(분모) 이므로
- 두개를 결합하면 최종 식이 됩니다.
△H = 2.3 × ((109.06)÷(5*5.19*10^(-4)))^(1/3)
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세상의모든계산기
어지간한 공학용 계산기라면 위 수식 그대로 입력하면 답이 나올텐데요.
단, 0.12 앞에 생략한 곱하기는 넣으시는게 좋겠습니다.
원하는 답이 아니라면 아래 글을 읽어보시고 조금 더 정확한 질문을 해보시는게 좋습니다.
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세상의모든계산기
괄호와 Syntax Error
구형 한줄 계산식의 경우 괄호를 잘못 사용하면 두가지 에러중 하나가 발생합니다.
1. 원치 않는 (잘못된) 결과값
괄호 순서가 잘못되는 경우, 계산 우선순위가 달라져 결과값이 엉망이 될 수 있습니다.2. Syntax 에러
괄호 쌍이 맞지 않는 경우, Syntax Error 가 발생할 수 있습니다.
입체적 입력이 가능한 계산기에서의 Syntax Error
ㄴ 여는 괄호는 1 앞부터 시작하지만, 닫는 괄호는 e의 지수승 부분에서 끝나버림 --> syntax error
ㄴ
방향키를 한번 더 누르고 괄호를 닫아야 정상적으로 괄호쌍 완성됨.- 닫는 괄호는 (경우에 따라) 일부 생략될 수도 있으므로, 간혹 쌍이 맞지 않더라도 에러가 발생하지 않을 수도 있습니다.
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세상의모든계산기
삼각함수 뒤에 괄호를 어떻게 없애죠?
sin, cos, tan 함수를 입력하면
sin(, cos(, tan( 와 같이
그 뒤에 자동으로 괄호가 따라붙는 공학용 계산기가 있습니다.
이런 계산기에서 괄호를 지우려고 하시는 분이 계시는데요,
괄호를 지우려고 하시는 건 아마도
ⓐ 역함수 $ sin^{-1}() $ 이거나 ⓑ n제곱 $ sin^{2}() $ 두가지 이유에서일 것 같습니다.
두 경우 모두 괄호를 지워야 할 이유는 없습니다.
ⓐ 역함수의 경우 sin 함수와 다른 arcsin 함수를 불러서 써야 하고 : https://allcalc.org/5308
ⓑ n제곱의 경우 괄호를 없애서 해결하는 것이 아니고, 오히려 (sin())^2 처럼 괄호를 하나 더 쳐서 해결하셔야 합니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
ChatGPT-5 기호(÷, /, :) 자체는 의미적으로 같은 “나눗셈”을 뜻하지만, 문맥(사람이 쓰는 수학 vs 컴퓨터/프로그래밍)에 따라 해석 우선순위가 달라질 수 있습니다. 🔹 1️⃣ 전통 수학 표기 — ÷, /, : 수학 교과서, 논문, 일반 문서 등에서는 셋 다 의미적으로 “나누기”로 간주됩니다. 즉, 48÷2(9+3), 48/2(9+3), 48:2(9+3) 은 같은 의미로 받아들여야 합니다. 모두 사람의 수학 관행적 해석이 적용되어 48 ÷ 2 × (9+3) = 288 로 처리되죠. 즉, 기호가 바뀌어도 결과는 바뀌지 않습니다. 🔹 2️⃣ 컴퓨터·프로그래밍 문맥에서 / 사용 시 컴퓨터는 “생략된 곱셈(implicit multiplication)”을 따로 구분하지 못합니다. 따라서 다음 두 식은 완전히 다르게 인식됩니다. 표현 파이썬 등에서 해석 결과 48 / 2*(9+3) ((48 / 2) * (9+3)) 288 48 / 2(9+3) ❌ 문법 오류 (생략된 곱셈 인식 불가) — 즉, 컴퓨터 언어에서는 생략된 곱셈이 허용되지 않기 때문에, /는 반드시 명시적 *와 함께 써야 합니다. 🔹 3️⃣ “:” 기호의 경우 현대 수학에서는 “비율”을 나타내는 기호로 쓰입니다. a:b = \frac{a}{b} 따라서 (27 : 3(1+2)3) 같은 표현은 모호하거나 비표준적으로 간주됩니다. 대부분의 경우 계산기로는 입력 자체가 불가능합니다. ✅ 정리 기호 의미 결과 변화 주로 쓰이는 문맥 ÷ 나누기 없음 초중등 수학, 일반 표기 / 나누기 없음 (단, 프로그래밍에서는 생략 곱 불허) 수학/컴퓨터 : 비율 (또는 나누기 의미로 혼용) 보통 계산식에서는 사용 안 함 비, 비율 표기 🔹 결론 48 ÷ 2(9+3), 48/2(9+3), 48:2(9+3) 는 “수학적 의미”로는 동일하게 81로 해석됩니다. 하지만 프로그래밍이나 수식 파서(context) 에서는 /만 유효하고, 생략된 곱은 허용되지 않으며, :는 아예 다른 의미(비율)로 인식됩니다. 2025 10.28 ChatGPT-5 💯 네, 정확히 그 지점을 짚으셨어요. 요약하면 이렇게 말할 수 있습니다: “생략된 곱하기(implicit multiplication)”는 문자에서는 강한 결합력을 인정하지만, 숫자나 괄호 사이에서는 일반 곱셈(×)과 동일한 우선순위로 취급된다. 즉, 문자에서는 더 강하게 결합, 숫자·괄호 사이에서는 그냥 ‘보통 곱셈’ 으로 본다는 것이 현대 수학 표기와 계산기의 관행적 규칙입니다. 🔹 두 경우의 구조적 차이 식 형태 실제 해석 결과 결합력 특징 ab ÷ ab 문자 붙음 ((a×b) ÷ (a×b)) 1 문자 간 결합이 강함 → 한 항으로 인식 3(1+2)3 숫자·괄호 혼합 (3 × (1+2) × 3) 27 생략된 ×는 보통 곱셈 → 좌→우 규칙 적용 🔹 왜 문자식은 결합력이 더 강한가? 기호적 표현의 안정성 (ab), (xy), (2x) 같은 표기는 수백 년 동안 “하나의 곱셈 항(term)”으로 인식되어 왔습니다. 그래서 수학자들은 이걸 암묵적으로 “괄호로 묶인 덩어리”로 봅니다. ab ÷ ab = (ab) ÷ (ab) 함수 표기와 구분 필요 예: (sinx ÷ x) 에서 sinx는 sin(x)로 묶여야 의미가 있습니다. 이런 이유로 “문자 옆에 붙은 기호나 문자”는 항상 먼저 결합되도록 하는 관행이 굳어졌습니다. 🔹 반면 숫자·괄호에서는 (3(1+2)) 는 단순히 “3 × (1+2)”의 약식 표현이고, 여기서 “생략된 곱셈”은 “명시적 곱셈”과 동일한 연산자로 간주됩니다. 따라서 27 ÷ 3(1+2)3 = 27 ÷ 3 × 3 × 3 = 81 처럼 좌→우 순서로 처리합니다. 🔹 결론 생략된 곱하기(implicit multiplication)의 결합력은 표기 맥락에 따라 다르다. 문자/기호와 함께 쓰일 때 → 강하게 결합 (하나의 항으로 인식) 숫자와 괄호 사이 → 일반 곱셈과 동일한 우선순위 (좌→우 계산) 이건 “규칙이 바뀐 것”이 아니라, 표기 문법(context) 이 달라서 ‘결합 단위(token)’이 달라진 결과라고 보는 게 가장 정확합니다. 2025 10.28 자게로 이동조치하였습니다. 그리고 이 글의 내용을 정리하여 HP 포럼에 올려두었습니다. https://allcalc.org/55774 [HP Prime] Solve 함수 사용법 2025 10.27 수치해석 방법 method 를 강제로 선택할 수 있으면 좋을텐데... 위의 스샷을 보면 되는 듯 하면서도 아래 스샷을 보면 안되는 것 같기도 합니다. solve(Expr,[Var]) csolve(LstEq,LstVar) nSolve(Expr,Var,[Guess or Interval],[Method]) deSolve(Eq,[TimeVar],FncVar) linsolve(LstLinEq,LstVar) fsolve(Expr,Var,[Guess or Interval],[Method]) 2025 10.17 종합해서 답변을 드리면 HP Prime 에 solve 에서 변수명에 구간을 입력하면 수치해석 방식으로 bisection 을 사용함. 이 bisection 방식은 해의 좌-우 부호가 서로 바뀌어야만 해를 인식하고 해의 좌-우 부호가 같으면 해를 인식하지 못합니다. 이 때문에 본문 sin 의 예나 아래 사진의 예에서는 해를 인식하지 못하는 것으로 보입니다. 2025 10.17